本科生概率論教學中幾個概念的幾何性質

【摘要】本文用幾何觀點解釋本科生概率論教學中數學期望、相關系數和條件數學期望這幾個概念，旨在幫助學生去理解對這些概念。

【關鍵詞】數學期望 相關系數 條件數學期望

【中圖分類號】O211【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）12-0164-01

1.引言

在本科生的概率統計相關課程的教學中，數學期望、相關系數和條件數學期望，是非常重要的概念，具有重要的數學函數，蘊含豐富的數學思想。例如：數學期望描述一種平均，相關系數刻畫隨機變量間線性程度的大小，條件數學期望可以看作是在某些限制條件下的數學期望。但對于初次接觸的學生來說，較難理解，通常的教材[1]，[2]一般沒有這些的概念的幾何解釋。基于大多數本科生在學習概率統計時已有線性代數和高數的基礎，為此我們用幾何的語言來解釋數學期望、相關系數和條件數學期望，希望這種方式能讓同學們更容易接受。

該文是這樣安排的：第二節介紹基本概念的定義；第三節是主要內容，給出前面所述概念的幾何性質；簡短的證明在第四節給出。

2.基本概念

為方便起見，我們記隨機變量X的分布為FX（x）。

定義1：設X為一隨機變量，如果積分

注1：在上述定義中FX（x）可以用來統一表達連續、離散或奇異隨機變量的分布，對于初學的讀者可以分布看作連續型隨機變量對應的積分

其中f（x）為連續型隨機變量的密度函數，和離散型隨機變量對應的和式

其中a1，a2，…，an，…為離散型隨機變量的所有可能取值。

定義2：設X和Y為兩隨機變量，如果二者的方差Var（X）和Var（Y）存在，稱

為隨機變量X和Y的相關系數，其中

為隨機變量X和Y的協方差。

注2：上述定義中方差存在與二階矩存在是等價的，即上述的式子只對二階矩存在的隨機變量有定義。

定義3：設X和Y為兩隨機變量，稱E（X|Y）為隨機變量X在隨機變量Y下的條件數學期望，如果：

1）E（X|Y）∈K（Y）；

2）對任意的f（Y）∈K（Y），有E（f（Y）E（X|Y））=E（f（Y）X）。

注3：見命題3，上述的定義條件數學期望在幾乎處處意義下是唯一的。

3.幾何性質

命題1：記全體的隨機變量全體為K，對X，Y∈K，定義二者之間的距離：

則

注4：該結論具有直觀的幾何意義，它表明數學期望在度量（1）下為從隨機變量X到實數空間最短距離所對應的實數，如圖1。

命題2：記全體二階矩存在隨機變量構成的向量空間為L2，對X，Y∈L2，定義內積為：

（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）

如果記θ為向量X和向量Y的夾角，則二者之間的相關系數為cosθ。

注5：該結論表明，相關系數可以看作是向量X，Y的夾角的余弦值，見圖2。如果夾角為銳角，二者正相關，相關系數為正；如果夾角為90度，二者線性無關，相關系數為0；如果夾角為鈍角，二者負相關，相關系數為負。

命題3：K如命題1中所定義的，對X，Y∈K，記E（X|Y）為給定隨機變量Y下隨機變量X的條件隨機變量，則：

其中K（Y）={f（Y）：f為任意的實可測函數}。

注6：與注1類似，該結論也具有直觀的幾何意義，見圖1。

4.結論的證明

命題2的證明：由向量空間的知識，我們有

命題1和命題3的證明：我們首先證明命題1，我們只需證明數學期望E（X）是實數里面離X最近的點。為此，令b∈R，且b≠E（X），則

這樣命題1得證。

下面我們證明命題3：我們只需證明數學期望E（X|Y）是K（Y）里面離X最近的點。為此，令Z∈K（Y），且Z≠E（X|Y）（幾乎處處意義下），則

參考文獻：

[1]盛驟，謝式千， 潘承毅.《概率論與數理統計》（第四版）.高等教育出版社，2010.

[2]梁之舜等.《概率論與數理統計》（上下）（第三版）.高等教育出版社，2007.