利用三角形解圓四點突破

摘 要：圓是初中數學學習的基礎和重要內容，它對學生學習平面幾何，開拓學生的邏輯思維，培養學生分析問題、解決問題的能力具有非常重要的意義.然而，有些圓類解答題通常需要很強的技巧性和靈活性，這就給解決此類問題帶來了更大的困難.本文從大量實例出發，在總結和歸納的基礎上，利用做輔助線的方法，針對圓類問題的解答，提出了四點建議.

關鍵詞：圓；三角形；輔助線

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）22-008-01

圓是中考考查的重要內容，以往的中考主要體現對知識的考查，但是近幾年來發生了明顯的變化，考察的重點開始由知識層面向能力層面轉化.這無疑對學生解決問題的能力提出了更高的要求.圓類問題通常“變化多端”，不少學生由于缺少一雙“火眼金睛”而“退避三舍”，那么怎樣才能讓學生突破這一障礙，實現游刃有余的作答呢？筆者提出了以下建議.

1、直角三角形，基本常通行

直角三角形是初中幾何中最常見的圖形，實踐表明，勾股定理、三角比等性質在解決圓類問題時通常是行之有效的.因此，在圓類問題中通過添加輔助線，成功的構造直角三角形，并利用直角三角形的性質去解決問題的確是解決圓類問題的良策.構造直角三角形可以從以下三個方面入手.

（1）見切線作半徑

例1 AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，CF⊥AF且CF=CE（如圖1）.

①求證：CF是⊙O的切線.

解 （1）連接OC，由CF=CE得AC是∠BAF的角平分線.于是∠FAC=∠CAB.又∠CAB=∠ACO.故∠FAC=∠ACO.于是OC∥AF

因為CF⊥AF，所以OC⊥CF.

即CF是⊙O的切線.

（2）見弦作弦心距

例2 （如圖2）⊙O的半徑為2，弦 ，點C在弦AB上， 求OC的長.

解 過點O作OD⊥AB，

，OD⊥AB，

.

又⊙O的半徑為2，故在RtΔBOD中有.

于是在RtΔBOD中有 ，

.

（3）見直徑作圓周角

例3 AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，K為 上一動點，AK，DC的延長線相較于點F，連接CK，KD.

①求證：∠AKD=∠CKF；

②若AB=10，CD=6求tan∠CKF的值.

.

評析：以上幾例，看起來無從下手，但是利用添加輔助線的方法構造直角三角形便可以進行簡便作答.可見，構造直角三角形的確是突破解題障礙的有效策略.

2、相似三角形，適時會使用

結合學生學習實際可知，相似三角形常用于解決長度問題.因此，在解決圓類問題時，學生要根據圓類問題的“變化多端”而“靈活多變”，適時、巧妙的利用相似三角形解答.

3、等腰三角形，頻頻現蹤影

等腰三角形也是圓類問題中常見的平面圖形.等腰三角形兩底角相等，而且“三線合一”，這些特殊性質的恰當使用常會讓原本束手無策的問題變得思路清晰起來.因此，對于圓類問題，利用半徑構造等腰三角形，常會讓問題“柳暗花明”.

4.知識善經營，解題有明鏡

解決圓類問題的第四個突破點就是善于經營知識.知識的管理就像企業的經營，不僅要做到條理分明，而且還要適時組合.中學階段，有關圓的基礎知識學生容易混淆，這就要求他們平時要善于梳理知識，將相關知識進行分類，努力實現知識在大腦中有條理的存儲.此外，在平時的學習過程中，一方面學生要注意解題經驗的積累，另一方面也要主動建構自己的解題策略.基于以上經驗，學生定能夠突破解題障礙，從而自信從容作答。.