高等數(shù)學教學中啟發(fā)式教學的認識與應用

李治飛

（西安建筑科技大學 理學院，陜西 西安 710055）

1 啟發(fā)式教學

啟發(fā)式教學不應被理解為一種具體的教學方法或教學技巧，而應是一種以啟發(fā)式為主的教學指導思想.凡是從學生的實際出發(fā)，能夠有效地調(diào)動學生學習的積極性、主動性，培養(yǎng)學生學習的興趣及求知欲，激發(fā)學生提出問題、解決問題的熱情，引導學生通過自己積極的努力去獲取知識和發(fā)展能力的任何教學方法及教學手段都應被視為啟發(fā)式教學.

其宗旨是以學生為教學活動的主體，采用能夠激發(fā)學生學習的積極性、主動性、創(chuàng)造性的教學方法，使學生學會思考、學會學習，以達到培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力以及提高學生專業(yè)素質(zhì)的教學目的.

啟發(fā)式教學認為教學過程是一種雙向活動，是在教與學兩者的互動中得以實現(xiàn)的.在其過程中教師的主要責任在于誘發(fā)、引導學生思考問題、解決問題的內(nèi)在動力以激發(fā)學生學習的興趣和求知的欲望，從而使他們能夠積極主動地投入到教學活動中去.學生作為教學活動的主體，在教師的引導、啟發(fā)下，通過自己獨立的、積極主動的思維活動來獲取知識、提高能力.因此，啟發(fā)式教學的主要特點就是：教師僅是教學過程中的組織者、指導者，學生才是教學過程中的主體，一切教學活動都是以學生的需求為出發(fā)點，學生對知識的獲取能力的提高必須通過自身積極的、主動的思維活動來得以實現(xiàn).

與之相反的是注入式的教學指導思想，它是僅從教師的主觀愿望出發(fā)，采用“填鴨式”的教學方法，簡單地使教學變成了一堆概念、知識的羅列和注入，學生只有被動地接受和記憶.這不僅使學生對所學的內(nèi)容難以理解、消化，更主要的是它壓制了學生學習的積極性和主動性，扼殺了學生學習的興趣和創(chuàng)造力，阻礙了學生的全面發(fā)展.

啟發(fā)式教學對于數(shù)學課的課堂教學尤為重要.首先，這是由數(shù)學教學內(nèi)容所決定的.數(shù)學教學內(nèi)容最主要的特點是具有高度的抽象性，這種高度抽象的教學內(nèi)容使得數(shù)學學習只能在教師的指導下，有計劃、有組織的在課堂上進行，數(shù)學課堂教學幾乎就是數(shù)學教育的唯一途徑，所以在數(shù)學課堂教學中如何采用啟發(fā)式教學直接決定著數(shù)學教學質(zhì)量的高低.其次，這是由數(shù)學教學的目的所決定的.數(shù)學教學目的中最重要的就是培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法及應用數(shù)學方法的能力，即“教學生學會思考”.只有采用啟發(fā)式教學，以多種形式激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣和求知欲，才能使學生積極地、主動地參與到數(shù)學教學活動中去，實現(xiàn)“要我學”到“我要學”的轉(zhuǎn)變，克服對教師的依賴性，培養(yǎng)學生獨立思考問題、解決問題的能力，從而使學生在學會數(shù)學知識的同時逐漸地了解、領悟、掌握數(shù)學的思想方法，提高思考問題、分析問題、解決問題的能力，實現(xiàn)數(shù)學教學的根本目標.

2 如何實施啟發(fā)式教學

實施啟發(fā)式教學的基本步驟是：根據(jù)學生的實際情況，按照思維流程設計相應的啟發(fā)式問題，依據(jù)所設計好的問題啟發(fā)學生進行思考，并逐漸過渡到讓學生自己提出問題，進行自我啟發(fā).那么，在數(shù)學課堂教學中應該如何有效地實施啟發(fā)式教學呢？即在數(shù)學課堂教學中教師應該如何進行有效的組織和有效的指導呢？筆者根據(jù)多年的教學經(jīng)驗從備課、授課、課后作業(yè)這三個教學環(huán)節(jié)來談一些自己對實施啟發(fā)式教學的體會.

2.1 備課

如何根據(jù)每次不同的教學內(nèi)容及學生的具體情況設計授課思路、設計相應的啟發(fā)式問題是能否有效地實施啟發(fā)式教學的關鍵所在，因此，備課就成為了整個教學過程中最重要的環(huán)節(jié).在備課的過程中應該做好以下三個方面的工作，其一，教師對所要教授的內(nèi)容以及其在本課程中的重要性等要有著非常深刻的理解和整體上的把握，這樣才能把所授內(nèi)容處理地既簡單明確、又重點突出；其二，在設計教案時要特別注重對教學內(nèi)容中的數(shù)學思想方法的挖掘、整理和講解，只有不斷地、有意識地突出數(shù)學思想方法的講解，才能使學生從中逐漸地學會應該如何思考問題、如何解決問題，進而逐漸地形成正確的數(shù)學思維方式；其三，認真做好教案的設計工作，教案的設計可分為以下幾個部分：⑴背景介紹；數(shù)學不是一些定義、定理、公式以及大量習題的羅列和堆積，而是有血、有肉的生命體，在其發(fā)展史中有許許多多令人感動的人物和故事，每一個數(shù)學概念從產(chǎn)生到成熟都經(jīng)歷了許多人的不懈努力，作為數(shù)學教師有義務和責任把這些背景資料介紹給學習數(shù)學的學生，這些名人軼事不僅有利于提高學生學習數(shù)學的興趣、調(diào)動其學習數(shù)學的積極性和主動性，而且有利于消除學生對數(shù)學學習的畏難情緒.⑵提出問題：根據(jù)不同的教學內(nèi)容，合理創(chuàng)設問題情景、激發(fā)學習動機是啟發(fā)式教學的關鍵，在設計問題時應將所授內(nèi)容盡可能用一個主要問題連接起來，而且所提問題要合理恰當、要簡明易懂，要使學生在上課開始時就明白這堂課要討論的主要問題是什么.⑶擬定解決問題的思路：對于主要問題按照數(shù)學基本思想方法，擬定解決問題最科學、最合理的方法，其內(nèi)容可包括兩個部分，其一，介紹解決問題的基本思路以及本節(jié)的主要內(nèi)容和重點所在，其二，闡述在解決問題過程中用到的主要的數(shù)學思想方法.⑷推廣與應用：對所討論問題進行推廣，給出多種不同的形式及具體的應用實例.（5）回顧總結(jié)：對本節(jié)課中所討論的主要問題、主要內(nèi)容以及用到的主要思想方法進行簡明的總結(jié)，以突出重點.

2.2 授課

在運用“啟發(fā)式”教學的授課過程中，教師應把教學的重點放在問題的引入、分析以及解決的思路上，創(chuàng)造各種問題情景，鼓勵、引導學生進行獨立思考，使學生在獨立思考的過程中獲取所學的知識同時提高分析問題、解決問題的能力，所以在授課過程中應注意到以下幾點：⑴要適當?shù)靥岢鰡栴}，鼓勵學生不斷地去思考、去判斷，使教學始終在教與學的互動中進行；⑵對于所提出的問題，不要急于給出答案，要給出時間讓學生進行思考；⑶要掌握學生的實際情況，要把自己放在學生的位置上，了解他們在學習中的困難和期望所在，這樣才能進行有效地指導；⑷注重思想方法的挖掘、整理和講解，有意識地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維方式；⑸要主次分明，對主要問題、難點一定要講透、講明白，對次要問題盡量少講，甚至不講，讓學生課后自己去看.

2.3 布置課后作業(yè)

教學是由教與學這兩個部分組成的，缺一不可，僅通過課堂上的講解是不可能使學生完全理解并掌握所學內(nèi)容的，因此要重視課后練習題、思考題的布置和批改，只有通過適當?shù)慕忸}訓練才能使學生逐漸地理解、消化吸收所學知識，才能使學生學會如何應用所學知識來解決具體問題.但布置的作業(yè)一定要適量、有針對性，并結(jié)合一些思考題，使學生每做一題都有所提高.另外，要鼓勵學生多總結(jié)、多思考.

3 實例

下面以“微分中值定理”的教學課為例，談一下筆者對實施啟發(fā)式教學的一些具體做法.

題目：微分中值定理

（一）問題的提出

1、主要討論的問題：當f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導時，f(x)所具有的特性是什么？

2、問題的引入

圖1

圖2

[問題情景]教師：在前面我們已經(jīng)討論過當f(x)在[a,b]上連續(xù)時，它具有哪些性質(zhì)呢？學生：最值定理及介值定理；教師：現(xiàn)在，當再加入“f(x)在(a,b)內(nèi)可導”的條件后，f(x)又具有哪些特性呢（做圖1）？學生：…；教師：首先，考慮函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均變化率是多少呢？學生：，即為直線AB的斜率KAB；教師：現(xiàn)在由于f(x)在(a,b)內(nèi)每一點處均可導，那么從幾何上看會有什么性質(zhì)呢？學生：f(x)在(a,b)內(nèi)每一點處均有切線；教師：因此，注意到當動點x從A移動到B時，動點x處的切線斜率——即在點x處的瞬間變化率f'(x)一定為連續(xù)變化的，這樣在(a,b)內(nèi)每一點處的f'(x)值可不可能始終大于或小于它的平均值KAB呢？學生：不可能；教師：所以在(a,b)內(nèi)一定有一些點上的f'(x)值會大于等于它的平均值KAB，而另一些點上的f'(x)值會小于等于它的平均值KAB，并且注意到f'(x)值是連續(xù)變化的，因此至少存在一點ξ∈(a,b)，使得會f'(ξ)會如何呢？（讓學生給出結(jié)論）學生：，即在該點處切線的斜率等于KAB；教師：因此我們有以下的結(jié)論（做圖2）.

3、問題的結(jié)論

拉格郎日中值定理：設f(x)在[a.b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=

（二）如何證明拉格郎日中值定理？

【證明思路】對于拉氏定理的證明，我們將采用“一般——特殊——一般”的思想方法，首先證明拉氏定理的特例，即拉氏定理中當f(a)=f(b)時定理成立，然后再利用“構(gòu)造輔助函數(shù)法”證明拉氏定理的結(jié)論.因此，這一節(jié)課要學習的主要內(nèi)容和思想方法為：

1、本節(jié)的主要內(nèi)容：⑴拉氏定理的特例——羅爾定理及其證明；⑵拉氏定理及其證明；⑶拉氏定理的推廣形式；⑷拉氏定理的應用.

2、本節(jié)采用的思想方法：⑴一般——特殊——一般；⑵構(gòu)造輔助函數(shù)法.

（三）拉格郎日中值定理的證明

1、羅爾中值定理及其證明

羅爾定理：設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=0.（圖3）

圖3

[問題情景]教師：為什么要先證明羅爾定理呢？即羅爾定理的證明有哪些方便之處呢？學生：…；教師：注意到在羅爾定理中要找的點ξ一定會出現(xiàn)在哪些點上呢？學生：極大、極小值點；教師：準確地說ξ一定為最大值點或最小值點，為什么？學生：…；教師：首先是否存在最大值點或最小值點，為什么？學生：當然存在，因為f(x)在[a,b]上連續(xù)；教師：其次，最值點上的導數(shù)值一定為…；學生：零；（羅爾定理的具體證明過程略）教師：注意到羅爾定理的條件是充分的，但不是必要的，試舉例說明（課后自己去做）.

2、拉格郎日中值定理的證明：

[問題情景]教師：如何用羅爾定理來證明拉氏定理呢？我們在用特殊形情來證明一般形情時，常用的方法就是“構(gòu)造輔助函數(shù)法”，在前面的課中我們已經(jīng)用過，在哪里用過呢？學生：用零點定理來證明介值定理時.

證明令輔助函數(shù)

因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則有F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，F(xiàn)(a)=F(b)=0，所以至少存在一點ξ∈(a,b)，使得F'(x)=0，即

[問題情景]教師：在證明過程中關鍵的是…；學生：如何構(gòu)造輔助函數(shù)？教師：構(gòu)造輔助函數(shù)是應用羅爾定理的關鍵，其方法為：首先將結(jié)論化為:

（四）拉格郎日中值定理的推廣及應用

1、推廣形式：

柯西中值定理：設 h(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且對(a,b)內(nèi)任一點 x有 g'(x)≠0，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使

注：當g(x)=x時，即為拉格郎日中值定理.

2、拉格郎日中值定理的應用

題型1：證明至少存在一點ξ，使f'(ξ)滿足某一等式.

例證明柯西中值定理

分析 關鍵在于如何構(gòu)造輔助函數(shù).首先將結(jié)論化為:

適當取C的值，使F(a)=F(b)=0.然后，F(xiàn)(x)在[a,b]上應用羅爾中值定理即可證明柯西中值定理.

證明略

題型2：證明不等式

例證明當x>0時，有l(wèi) n(1+x)

[問題情景]教師：如何利用中值定理證明不等式呢？學生：…；教師：中值定理討論一個在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導的函數(shù)的特性，因此，應用中值定理證明不等式的關鍵就在于找到一個函數(shù)f(x)及區(qū)間[a,b]，然后應用拉氏中值定理.

證明取f(x)=l n(1+x)(x>0).因為f(x)在[0,x]上連續(xù)、可導.所以存在 ξ∈(0，x)，使得

（五）總結(jié)

1、在證明中值定理時用到的思想方法：⑴一般——特殊——一般；⑵構(gòu)造輔助函數(shù).

2、拉格郎日中值定理的重要性.

①揭示了函數(shù)在區(qū)間兩個端點上的值與區(qū)間內(nèi)某一點上值之間的聯(lián)系.類似的定理還有牛頓—萊布尼茲定理、格林公式等.

②拉氏定理被拉格郎日本人稱為有限增量定理，這是因為當f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導時，對任一點 x∈(a,b)，f(x)在(x,x+△x)或(x+△x,x)上應用拉格郎日中值定理，可得f(x)在x處自變量的增量△x與函數(shù)的增量△y之間的一個重要的結(jié)論：

△y=f'(ξ)△x(ξ 介于 x 與 x+△x 之間).比較微分公式：△y≈f'(x)△x，從而使學生理解到格郎日中值定理的重要性.

（六）思考題、作業(yè)（略）.

在整個講課過程中問題明確、重點突出、強調(diào)解決問題的思想方法，使學生不斷地去思考，使教學在教與學的互動中進行，同時使學生認識到非常重要的定理可能往往來自于直觀的感覺，從而樹立發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的信心，培養(yǎng)科學的思維方法.

〔1〕周春荔，張景斌.數(shù)學學科教育學[M].北京：首都師范大學出版社,2001.1.

〔2〕徐利治.數(shù)學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社,1983.4.

〔3〕同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社,1996.12.