完全彈性碰撞中的另一個不變量

劉 權

(蘇州市陸慕高級中學，江蘇蘇州 215131)

1 提煉完全彈性碰撞中的不變量

1.1 建立小球碰撞模型

圖1

如圖1所示，在光滑的水平面上有A、B2個小球將發生完全彈性碰撞，A球的質量為m1，B球的質量為m2，設碰撞前A球的速度為v10，B球的速度為v20，碰撞后A球的速度為v1，B球的速度為v2，小球碰撞前后的速度方向未知.

1.2 提煉模型中的不變量

(1)碰撞過程中，系統動量不變.

表達式:m1v1+m2v2=m1v10+m2v20.

(2)碰撞過程中，系統能量不變.

由(1)、(2)式可求出

碰撞前小球A相對于B的速度為v10-v20.

碰撞后小球A相對于B的速度為v1-v2=v20-v10.

由動量和能量2個不變量又提煉出另一個不變量:碰撞過程中，小球相對速度大小不變.

2 例談不變量在完全彈性碰撞中的優越性

動量定理和動能定理是在牛頓第二定律的基礎上提煉出來的，因而動量定理和動能定理在運用過程中比牛頓第二定律有明顯的優越性.同樣，在完全彈性碰撞中提煉出來的不變量，在運用過程中一定有它的優越性.

例1.A、B2個小球在光滑的水平面上沿同一直線，同一方向運動，A球速度為5 m/s，B球速度為3 m/s，當A球追上B球時發生完全彈性碰撞，則碰撞后A，B2球速度的可能值

(A)3 m/s，5 m/s. (B)3 m/s，6 m/s.

(C)2 m/s，6 m/s. (D)-2 m/s，1 m/s.

解析:小球碰撞前相對速度大小為2m/s，由于在完全彈性碰撞過程中，小球相對速度大小不變，所以只有(A)選項正確.

點評:如果此題不利用相對速度這個不變量，操作起來很麻煩.由于2個小球質量未知，學生必須結合碰撞前后速度，動量守恒表達式和能量守恒表達式來計算小球質量，如果有解，說明正確，無解說明錯誤.而有部分學生給小球A、B質量賦值，分別為1 kg、2 kg，認為(A)選項錯誤的理由是:不滿足動量守恒.殊不知在碰撞前后速度確定的情況下，兩小球質量是確定的，但不是1 kg、2 kg.

圖2

解析:小球碰撞前相對速度大小為8 m/s，由于在完全彈性碰撞過程中，小球相對速度大小不變，設A球碰撞后速度大小為v1，那么B球碰撞后速度大小為8-v1.

根據系統動量守恒定律得8m=M(8-v1)+(-mv1).(規定向右為正方向)

點評:利用相對速度這個不變量以后，可以迅速得到v1≥4 m/s這個關系式，大大減小了計算量.

圖3

例3.如圖 3所示，一具有U型凹槽的扁長木板被置于水平光滑桌面上，凹槽內另放有一小木塊，靠在左方槽邊，設木塊的質量為m，木板的質量為M，凹槽寬度L，木塊與木板間的動摩擦因素為μ，木塊的寬度遠小于L.現快速用力撥動木塊一下，使其在凹槽中滑動，由于木塊的初速足夠大，故得于在木板凹槽中來回碰撞木板槽邊.設木塊與木板槽邊的碰撞皆為完全彈性碰撞，碰撞n次后恰好停止在凹槽的中央位置，求自木塊被撥動至停止在木板中央時所經歷的時間t.

解法1:研究木塊被撥動至停止在木板中央的整個過程，設木塊初速度為v，穩定時速度為v1.根據系統動量守恒定律得

根據動量定理得

根據系統能量守恒得

點評:解法1為常規方法，但思維量很大，涉及到3大定律，很多學生望而卻步.解法2利用相對速度這個不變量，讓木塊相對于木板運動的過程變得連貫起來，最后以常見的思維方式處理了木塊相對于木板的運動，式子簡單精煉，減輕了學生的心理壓力.當然學生要運用好解法2，必須深刻理解物體在完全彈性碰撞中的相對速度大小這個不變量.