對一道高考動量計算題的分析

許敬川

(天津市耀華中學，天津 300040)

高考力學綜合題通常涉及動量、能量問題，且該類問題往往解法不唯一，這就對命題的嚴謹性提出了一定的要求，需綜合考慮各種方法，使它們結果一致.由于各種方法的難易不同，使得命題者可以用同一個模型自由控制試題的難度.

圖1

這是2008年全國高考理綜Ⅰ卷的一道動量計算題，題目如下.

圖1中滑塊和小球的質量均為m，滑塊可在水平放置的光滑固定導軌上自由滑動，小球于滑塊上的懸點為O，由一不可伸長的輕繩相連，輕繩長為l.開始時，輕繩處于水平拉直狀態，小球和滑塊均靜止.現將小球由靜止釋放，當小球到達最低點時，滑塊剛好被一表面涂有粘住物質的固定擋板粘住，在極短的時間內速度減為零，小球繼續向左擺動，當輕繩與豎直方向的夾角θ=60°時小球達到最高點.求:

(1)從滑塊與擋板接觸到速度剛好變為零的過程中，擋板阻力對滑塊的沖量;

(2)小球從釋放到第1次到達最低點的過程中，繩的拉力對小球做功的大小.

1 第(1)問的高考標準答案

(1)設小球第1次到達最低點時，滑塊和小球速度的大小分別為v1、v2，則機械能守恒定律得

小球由最低點向左擺動到最高點時，則機械能守恒定律得

聯立(1)、(2)式得

設所求的擋板阻力對滑塊的沖量為I，規定動量方向向右為正，則有I=0-mv1.解得

本題給出的60°的條件可有可無，因為我們分析在小球到達最低點之前，滑塊和小球組成的系統的水平總動量是守恒的.今另解如下:

(1)設小球第1次到達最低點時，滑塊和小球速度的大小分別為v1、v2，由機械能守恒定律得

在小球第1次到達最低點之前，滑塊和小球組成的系統的水平總動量是守恒的

聯立(1)、(2)式得

設所求的擋板阻力對滑塊的沖量為I，規定動量方向向右為正，則有I=0-mv1.

分析:本題體現了高考命題的嚴謹性，自洽得很好，給出的60°的條件是為了降低考題的難度，對系統水平動量守恒不太熟悉的學生，也可以借助60°的附加條件用機械能守恒解決，各種方法所體現的結果一致.

2 若本題給出滑塊和小球的質量分別為m1和m2，也可以分別借助2種方法

解法1:(1)設小球第1次到達最低點時，滑塊和小球速度的大小分別為v1、v2，由機械能守恒定律得

小球由最低點向左擺動到最高點時，則由機械能守恒定律得

聯立(1)、(2)式得

設所求的擋板阻力對滑塊的沖量為I，規定動量方向向右為正，則有I=0-m1v1.

解法2:(1)設小球第1次到達最低點時，滑塊和小球速度的大小分別為v1、v2，則由機械能守恒定律得

在小球第1次到達最低點之前，滑塊和小球組成的系統的水平總動量是守恒的，故有

聯立(1)、(2)式得

設所求的擋板阻力對滑塊的沖量為I，規定動量方向向右為正，則有I=0-m1v1.

評析:2種解法結果的表達式截然不同，另解為通式.然而仔細觀察不難發現若m1=m2，兩種解法的結果完全一致，且與原題相同.再次說明60°的附加條件不是隨意給的，而是只符合2者質量相同情況下的實際結果.若m1和m2取每組不同值時，都會有一個相應的最大擺動角度所對應.

3 若本題只給出滑塊的質量m1或小球的質量m2

因為已知條件不足，則只借助水平方向動量守恒不可解決，必須給出最大擺動角度θ.

4 結論

綜合全文，可以發現物理題目中給出的有些條件是可以不利用的，但是不同方法得到的結果必須一致，這就要求命題者在各種方法的衡量中尋求符合實際的真正條件，以達到統一.