應(yīng)用矢量的非常規(guī)分解簡(jiǎn)捷解題

白云朋

(安徽省合肥市第九中學(xué)，安徽合肥 230001)

解決物理問(wèn)題，既要能熟練應(yīng)用常規(guī)方法，又要能突破常規(guī)靈活求解.如分解一個(gè)矢量時(shí)，沒(méi)有必要一定采用常規(guī)的分解方法(如分解力時(shí)常用的正交分解法)，也可以采用非常規(guī)的分解方法.因?yàn)闆](méi)有特殊限制的話，一個(gè)矢量可以分解為無(wú)數(shù)對(duì)大小、方向不同的分矢量，這些分矢量共同作用的效果，都與那一個(gè)矢量單獨(dú)作用的效果相同，所以，分解矢量完全可以打破常規(guī)采用其他的方法.如對(duì)中學(xué)物理中出現(xiàn)的小船渡河、力的分解、平拋運(yùn)動(dòng)、斜上拋運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題來(lái)說(shuō)，如果善于打破常規(guī)采用非常規(guī)分解方法，會(huì)有簡(jiǎn)捷快速的效果，也會(huì)對(duì)活學(xué)物理有一定的啟發(fā).本文對(duì)所舉例題的常規(guī)分解方法將不做贅述.

1 小船過(guò)河問(wèn)題的非常規(guī)分解

處理小船渡河問(wèn)題，如果應(yīng)用分解速度的方法，常規(guī)方法是將船速平行河岸和垂直河岸分解，少有采用同時(shí)分解船速和水速的方法.下面的例題就采用這種非常規(guī)分解方法.

例1.一艘小船在靜水中的速度v=3 m/s，河水沿平直的河岸流動(dòng)，假設(shè)各處的水速都相同，均為u=5 m/s.一船夫要駕此船渡河并且要求渡河時(shí)通過(guò)的距離最短，那么船夫應(yīng)該選擇向哪個(gè)方向劃船?

圖1

圖2

2 力的非常規(guī)分解

分解力的常規(guī)方法是正交分解，即將力向兩個(gè)互相垂直的方向分解.如果具體問(wèn)題能具體分析，有時(shí)用非正交分解反而簡(jiǎn)捷.

例2.一傾角為θ的斜劈放在水平地面上，一物體沿斜劈勻速下滑.現(xiàn)給物體施加如圖3所示的力F，F(xiàn)與豎直方向的夾角為β，斜劈仍靜止，物體加速下滑，試確定此時(shí)地面對(duì)斜劈的靜摩擦力的大小和方向.

圖3

圖4

解析:如圖4，將力F分解為平行斜面的分力F1和豎直向下的分力F2，有如下分析:

(1)沒(méi)有施加力F時(shí)，物體沿斜面勻速下滑，因此物體受到的斜劈對(duì)它的支持力FN和摩擦力Ff的合力大小等于物體的重力mg，方向豎直向上(如圖5)，且由mgsinθ=umgcosθ能推導(dǎo)出物體、斜劈之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ.根據(jù)牛頓第三定律，斜劈受到的物體對(duì)它的兩個(gè)反作用力FN'、Ff'的合力的方向豎直向下(如圖6)，斜劈水平方向不受力，所以地面對(duì)靜止的斜劈沒(méi)有靜摩擦力.

圖5

圖6

圖7

(2)如果只施加力F1(如圖7)，由于F1平行斜劈，F(xiàn)1不會(huì)改變斜劈對(duì)物體的支持力FN和摩擦力Ff的大小和方向，仍有FN=mgcosθ和Ff=mgsinθ，改變不了斜劈受到的反作用力FN'、Ff'，F(xiàn)N'與Ff'的合力的方向仍豎直向下，斜劈水平方向仍然不受力，所以單獨(dú)施加力F1時(shí)，地面對(duì)斜劈沒(méi)有靜摩擦力.

(3)如果只施加力F2(如圖8)，等效于物體的重力變?yōu)閙g+F2，如圖 9.由于 μ =tanθ，mg+F2(mg+F2)sinθ=μ(mg+F2)cosθ成立，物體仍做勻速運(yùn)動(dòng)，斜劈對(duì)它的支持力和摩擦力的合力的方向還是豎直向上，它對(duì)斜劈的反作用力的合力的方向仍豎直向下，斜劈水平方向還是不受力，所以只施加力F2時(shí)，地面對(duì)斜劈沒(méi)有靜摩擦力.

圖8

圖9

綜上所述，由于力F的作用效果與分力F1、F2共同作用的效果相同，故施加如圖3所示的力F后，地面對(duì)斜劈沒(méi)有靜摩擦力.

3 平拋運(yùn)動(dòng)的非常規(guī)分解

平拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)分解方法是將其分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).但也不必過(guò)分拘泥常規(guī)，下面的例題采用另一種分解方法從而簡(jiǎn)捷求解.

例3.如圖10所示，在傾角為θ的一無(wú)限長(zhǎng)斜面上某點(diǎn)以初速度v0水平拋出一彈性小球，一段時(shí)間后小球落到斜面上的另一點(diǎn)，與斜面彈性碰撞后又落到斜面上的另外一點(diǎn)……，這種碰撞反復(fù)進(jìn)行，不計(jì)碰撞過(guò)程所用的時(shí)間，忽略空氣阻力.試分析:(1)小球相鄰落點(diǎn)之間的距離成等差數(shù)列嗎?(2)相鄰落點(diǎn)之間軌跡的頂點(diǎn)在不在同一條直線上?(3)這些頂點(diǎn)之間的距離成等差數(shù)列嗎?

圖10

圖11

解析:將小球的運(yùn)動(dòng)分解為沿斜面方向(x方向)和垂直斜面方向(y方向)的分運(yùn)動(dòng)，如圖11所示.在x方向上小球做初速為v0x=v0cosθ、加速度為gx=gsinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng).在y方向小球做初速為v0y=v0sinθ、加速度為gy=gcosθ的類豎直上拋運(yùn)動(dòng).

4 斜上拋運(yùn)動(dòng)的非常規(guī)分解

斜上拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)分解方法是分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng).斜上拋運(yùn)動(dòng)也可以采用另一種分解方法:將其分解為初速度v0方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)(在此方向上物體不受力)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)(在此方向上物體受到重力但無(wú)初速度)，如圖12所示.采用這種方法可以簡(jiǎn)捷處理用常規(guī)方法需復(fù)雜求解的問(wèn)題.

圖12

圖14

圖15

例5.如圖15所示，一足夠長(zhǎng)的斜面傾角為θ，在斜面上的某一點(diǎn)以相對(duì)于斜面的仰角β發(fā)射一發(fā)炮彈，忽略空氣阻力，試求炮彈在斜面上射程最大時(shí)的仰角β及最大射程sm．