例談高中物理試題的自洽

常仁飛

(南京市六合高級中學，江蘇南京 211500)

題目的自洽是指問題前后呼應、邏輯嚴謹、條件能成為問題的充分條件、符合實際、沒有矛盾的狀態.物理學是一門嚴謹的科學.雖然高中物理中有一些理想化的模型和近似處理的方法，但物理試題要在這些模型和框架的前提下自洽.現在有很多參考書甚至大型考試的物理試題都會出現不自洽的情況;我們教師在改編物理試題時有時也會忽略一些深層次的因素、出現改編出來的試題不能自洽的情況.導致題目不自洽的原因很多:有條件不足、不符合實際、違背常識、前后矛盾等等.本文主要通過例題來討論幾個比較隱蔽的不自洽問題，以警示命題者要多多考慮，命題后應用多方法、多角度審視問題，避免不自洽.

例1.(江蘇教育出版社新課標人教版高中物理創新課時訓練必修2活頁練習)一輛汽車的質量是5×103kg，發動機的額定功率為60 kW，汽車所受阻力恒為5000 N，如果汽車從靜止開始以0.5m/s2的加速度做勻加速直線運動，功率達到最大后又以額定功率運動了一段距離后汽車達到了最大速度，在整個過程中，汽車運動了125m.問在這個過程中，汽車發動機的牽引力做功多少?下面是甲、乙兩位學生的解法.

學生乙:F=ma+f=5×103×0.5 N+5000 N=7500 N.

W=Fs=7500 ×125 J=9.375 ×105J.

請對上述兩位學生的解法做出評價，若都不同意請給出你的解法.

答案的分析與解答:甲乙兩位學生的解法都不正確.

學生甲把125 m全當做勻加速直線運動的位移，求出運動時間t，這一步就錯了，然后又用公式W=Pt來求牽引力做功，而汽車在做勻加速運動的過程中功率是逐漸變大的，這一步驟又錯了.

在學生乙的做法中，第1步是正確的，但F是汽車做勻加速運動時的牽引力，當汽車以額定功率行駛時，牽引力是變力，做功不能用W=Fs來計算.

點評:本題的解答過程沒有問題，結果似乎也正確無誤.但讓我們換一個角度來看:把汽車的運動分成勻加速運動和變加速運動兩段來處理.設勻加速運動能達到的速度為v，位移為s1.最后的最大速度為vm，位移為s.則由題意:對勻加速運動的過程我們有

對變加速運動的過程，由動能定理有

顯然，結果和上面的正確解法所得結果不同.是這種解法錯了嗎?沒有，2種解法都對.但結果為什么不同呢?問題出在本題題目的不自洽上.汽車的啟動過程沒問題，問題在汽車達到的最大速度時的位移125m是出題者杜撰出來的.換句話說、如果本題把位移改成150 m，200 m，500 m，1000 m……按以上解法照樣可以做出答案.但對應本題的這種啟動過程，汽車達到最大速度時的位移一定是個特定的值.而且不是125 m.長久以來這個問題由于并不影響解題過程而被忽略了.本題可以通過修改題目中的達到最大速度時的位移使問題自洽.

注意:此類關于機車啟動的問題的改編，從啟動到達到最大速度所通過的位移是唯一的，不能任意杜撰.教師在改編時不能忽略這一點.

圖1

例2.(武漢大學出版社高考總復習學案與測評配套的考點演練題)如圖1所示，重力為G1=10 N，G2=20N的木塊懸掛在繩PC和PB的結點上，PB水平，G2在傾角為30°的斜面上，系統處于靜止.試求:

(1)木塊與斜面間的摩擦力.

(2)木塊所受斜面的支持力.

圖2

圖3

警示:此類關于摩擦力相關問題的改編，物體重力的選擇具有任意性.教師在改編時往往只注意平衡條件，從而忽略μ的取值范圍造成不自洽.

圖4

例3.如圖4所示，水平的平行線間距為d=50 cm，其間有B=1.0 T的勻強磁場.一個正方形線圈邊長為l=10 cm，線圈質量m=100 g，電阻為R=0.020 Ω.開始時，線圈的下邊緣到磁場上邊緣的距離為h=80 cm.將線圈由靜止釋放，其下邊緣剛進入磁場和剛穿出磁場時的速度相等.取g=10 m/s2，求:

(1)線圈進入磁場過程中產生的電熱為Q.

(2)線圈下邊緣穿越磁場過程中的最小速度v.

(3)線圈下邊緣穿越磁場過程中加速度的最小值a.

解析:(1)由于線圈完全處于磁場中時不產生電熱，所以線圈進入磁場過程中產生的電熱Q就是線圈從圖4中2位置到4位置產生的電熱，而2、4位置時動能相同，由能量守恒有Q=mgd=0.50 J.

(2)3位置時線圈速度一定最小，而1到2位置線圈是自由落體運動因此有v02=2gh;3到4位置有v02-v2=2g(d-l)，解得v= 2m/s.

注意:此類關于線框在磁場中下落相關問題的改編，往往會出現變加速運動的過程.通常需要用動能定理解答.但是不能因為動能定理不涉及過程的細節就一味忽視物體的實際運動而造成不自洽.

圖5

例4.如圖5所示，在質量為M=0.99 kg的小車上，固定著一個質量為m=10 g、電阻R=1Ω的矩形單匝線圈MNPQ，其中MN邊水平，NP邊豎直，高度l=0.05m.小車載著線圈在光滑水平面上一起以v0=10m/s的速度做勻速運動，隨后進入一水平有界的勻強磁場，完全穿出磁場時小車的速度v1=2m/s.磁場方向與線圈平面垂直并指向紙內、磁感應強度大小B=1.0 T.已知線圈與小車之間絕緣，小車長度與線圈MN邊長度相同.求:

(1)小車剛進入磁場時線圈中感應電流I的大小和方向;(2)小車通過磁場的過程中線圈電阻的發熱量Q;(3)小車進入磁場過程中線圈克服安培力所做的功W克.

解析:(1)線圈切割磁感線的速度v0=10 m/s，感應電動勢E=Blv0=1×0.05×10 V=0.5 V.

由楞次定律可知，線圈中感應電流方向為M→Q→P→N→M.

這顯然很荒謬，到哪里找這樣的線框(寬5 cm，長1600 m，質量只有10 g)和小車.又如何獲得如此大的勻強磁場呢?筆者認為不應該出現這種不符合實際的情景.我們不能為了給學生做題而隨便編題.只要適當修改小車質量和線框寬度就可以使線框的長度在一個合理的范圍內，從而避免題目的不自洽.

注意:在改編物理問題時要時刻考慮實際情況，不要脫離實際為了出題而出題.

1 鄭永圣.例談習題命制一定要注意所給條件的自洽［J］.物理教師，2012(1):52，55.

2 周為明.從一道模擬卷上的錯題談命題的自洽性［J］.物理教師，2004(12):35-36.

3 張友學.命制電磁感應試題應重視自洽性檢驗［J］.物理教師，2012(12):65-67.