超AKNS方程族和AKNS方程族的一致性探究

牛華偉，白二彪

(1.平頂山教育學院 數學系,河南 平頂山 467000； 2.鄭州大學 數學系，河南 鄭州 450001)

在研究發展方程對稱的過程中，人們發現在物理中提煉出來的非線性發展方程及其所屬的方程族(例如KdV[1]1-7，[2]51-57和AKNS[3]，[4]方程族)都有無窮多對稱這樣的一個共性.由此，人們認為發展方程具有無窮多對稱是方程可積的一個特征.如此推來，關于發展方程對稱的研究必將推動代數幾何中發展方程可積性質的發展，也正是基于這樣的原因，對稱的研究得到了相當的重視.通過研究人們發現，可積發展方程同時具有K對稱和τ對稱，并且這些K對稱和τ對稱通常還能構成一個向量場Lie代數的Lie子代數,他們具有簡潔的統一形式.人們進一步認識到對稱與發展方程具有深層次的聯系.在孤立子發展方程蓬勃發展的過程各種研究對象及其討論的范圍得到了大力的擴充，其中超空間超變量是其中的一方面，超空間是歐式空間的一種推廣，包含兩種變量，這兩種變量分別刻畫了量子力學中的波色子和費米子的性質，這個研究方向創世于上世紀中葉，后來形成了超對稱理論.經過幾十年的發展，形成了尋找方程的對稱并構建其Lie代數結構的理論體系.理論研究中大部分只研究一般方程的對稱，或只研究超方程的性質而沒有將兩者結合起來.本文正是基于這種情形，研究了超AKNS方程族和AKNS方程族的對稱及其Lie代數結構，發現他們的一致性[1]1-7,[2]51-57,[3]15，[4]4.

考慮如下3×3的Lax對的特征值問題：

其中ξ是一個特征參數，q,r,α,β,A,B,C,ρ,δ是變量x,t的函數.其中函數q,r, A,B,C是偶的，α,β,ρ,δ是奇的.通過相容性原理，可以得到超AKNS方程族：

其中

定理2 超AKNS方程族的方程ut=φnKo，l=0,1,2,…有對稱：

(Ⅱ)φm'[τln]=[τl'n,φm]+mφm+n-1，n=0，1，2，….，m=0,1,2,…，

定理3 超AKNS方程族(2)的對稱(5)構成一個Lie代數：

[Km,Kn]=0，

[Km,τln]=mKm+n-1，

[τlm,τln]=(m-n)τlm+n-1，

l=1，2，3，…,m,n=0,1,2,…，

當取2×2的Lax對:

相應可得到AKNS方程族：

其中

l=1，2，3，…,m,n=0,1,2,…

通過上面的討論可以發現，超變量的引入沒有影響超AKNS方程族對稱及其Li代數結構的討論，從而超AKNS方程族和AKNS方程族的對稱和Lie代數結構在形式上是一致的.

[1] 王寶勤，張飛軍.源于KdV方程的延拓結構的方程與對稱[J].新疆師范大學學報(自然科學版)，1998,17(02).

[2] 斯仁道吉爾.組合KdV方程的強對稱、對稱及其Lie代數[J].內蒙古師大學報(自然科學漢文版)，1992,(s1).

[3] 陳守婷.半離散AKNS系統的對稱及代數結構[D].上海：上海大學，2011.

[4] 袁洪芬.超空間上Dirac型方程解的性質[D].石家莊：河北師范大學，2012.