一元函數與多元函數相關概念的類比

李 娜，張艷敏，王 潔

(商丘工學院 基礎教學部，河南 商丘 476000)

1 鄰域定義

1.1 點x0的δ鄰域

設x0與δ是兩個實數，且δ>0，數集{x|x0-δ

其中x0叫該鄰域的中心，δ叫該鄰域的半徑[1]6-9.

1.2 點P0的δ鄰域

設P0(x0,y0)是xOy平面上的一定點，δ>0為一實數，以P0(x0,y0)為圓心，以δ為半徑的圓的內部

Dδ(P0)={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}稱為點P0的δ鄰域.

點x0的δ鄰域指數軸上一個數集，以x0為中心，以δ為半徑的某一開區間；點P0的δ鄰域指平面上一個點集，以P0(x0,y0)為圓心，以δ為半徑的圓的內部.

2 函數定義

2.1 一元函數的定義

設x和y是兩個變量，D是一個給定的非空數集.如果對于每個數x∈D，變量y按照一定法則總有確定的數值和它對應，則稱y是x的函數，記作y=f(x),x∈D,

其中，x稱為自變量，y稱為因變量，數集D稱為函數的定義域[1]6-9.

2.2 二元函數的定義

設D是xOy平面上的一個點集，若對D中任意點(x,y)，按照某一確定的對應法則f，都有唯一確定的實數z與之對應，則稱變量z是x,y的二元函數，記為z=f(x,y),(x,y)∈D,

其中，x和y稱為自變量，z稱為因變量，點集D稱為函數的定義域.

與一元函數相比，二元函數有兩個自變量，形式上更復雜一些，但定義域D和對應法則f仍是二元函數的兩個決定性要素.

3 極限定義

3.1 x→x0時一元函數的極限

設函數f(x)在x0的某空心鄰域內有定義，A為常數.若對任意給定的ε>0，總存在δ>0，使得當0<|x-x0|<δ時，恒有

|f(x)-A|<ε

則稱當x→x0時函數f(x)的極限為A，記為

3.2 二元函數的極限

設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域內有定義，A為常數.若對任意給定的ε>0，總存在δ>0，使得當0<|x-x0|<δ，0<|y-y0|<δ時，恒有

|f(x,y)-A|<ε

則稱當P(x,y)→P0(x0,y0)時函數f(x,y)的以A為極限[2]244-246，記作

函數的極限是研究當自變量在無限變化狀態下函數的變化趨勢.一元函數的極限思想學生容易接受，二元函數相對復雜一些，因此在講授二元函數極限時，應結合一元函數的極限，找出二者的相似之處——二者都是描述當自變量趨于某一定點時，函數值無限趨近一個常數的變化狀態.

4 導數與偏導數定義

導數研究函數相對于自變量變化而變化的快慢程度，即函數的變化率，具體來講就是當自變量改變量趨于零時，函數改變量與自變量改變量之比的極限.與一元函數的導數類似，二元函數的偏導數同樣可以從以下三個方面來理解：

a.求函數的增量；b.求函數增量與自變量增量的比值；c.求兩增量比值的極限[3]28-33.

二元函數含有兩個自變量，使得自變量與因變量的關系比一元函數要復雜的多.在研究二元函數的因變量對自變量的變化率時，最基本的方法是分別討論因變量對每一個自變量的變化率，其思想與一元函數導數思想相似.

5 定積分與二重積分定義

對于定積分的定義，結合曲邊梯形面積求解思路：“分割，近似代替，求和，取極限”來理解.二重積分的定義結合曲頂柱體的體積來理解，求解思路和曲邊梯形面積求解思路一樣，仍然是“分割，近似代替，求和，取極限”.

通過以上概念的類比，進一步強化了概念之間的內在聯系，使學生從整體上更好的理解相關概念，形成完整的知識結構體系，從而提高學生分析問題，解決問題的能力.結合作者教學經驗來看，如果在實際教學中能適時把相關概念加以類比，就可以使學生對所學概念及其之間的聯系有更深入的理解與認識.在學習多元函數微積分時，尤其是二元函數的相關概念，結合一元函數的相關概念來講授，使學生在思想上容易接受.

[1] 吳贛昌.微積分(經管類·第四版)[M].北京：中國人民大學出版社，2006.

[2] 龔德恩，范培華.微積分(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3] 馬建珍.論《數學分析》課程的整合[J].邢臺學院學報，2013(2).