運(yùn)用“幾何直觀” 達(dá)成多維目標(biāo)

蔡杰

“幾何直觀”是2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的十個(gè)核心理念之一，課程標(biāo)準(zhǔn)中對“幾何直觀”這樣解釋：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用。”由此可見，課程標(biāo)準(zhǔn)對“幾何直觀”在教學(xué)中的作用十分重視。細(xì)細(xì)研讀，“幾何直觀”在教學(xué)中的作用不僅僅局限于“圖形與幾何”領(lǐng)域中的問題，還可以運(yùn)用到“數(shù)與代數(shù)”等其他知識領(lǐng)域的教學(xué)。這里的“圖形”不僅僅局限于幾何圖形，線段圖、運(yùn)算符號、字母、文字等直觀符號相結(jié)合的圖示語言也都可以看成是“幾何直觀”理念的體現(xiàn)。 “幾何直觀”不但是解決問題的重要方法，而且在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)思維能力、建立模型思想等諸多方面都有重要的作用。在教學(xué)蘇教版六年級下冊“解決問題策略（轉(zhuǎn)化）”單元內(nèi)容時(shí)，我從“幾何直觀”理念入手，充分發(fā)揮“幾何直觀”的作用，實(shí)現(xiàn)多維教學(xué)目標(biāo)。

一、運(yùn)用直觀圖形展示思維的過程，讓學(xué)生更好地理解知識

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。”因此教學(xué)中“既要重視結(jié)果，又要重視獲取知識過程”已經(jīng)是教師的共識。

例如，教學(xué)“轉(zhuǎn)化”策略新授課，回顧“我們曾經(jīng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略解決過哪些問題”這一環(huán)節(jié)時(shí)，通過提問啟發(fā)，學(xué)生回想到以前在學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形、圓形等平面圖形的面積計(jì)算時(shí)都用到了轉(zhuǎn)化的策略，把未學(xué)過的圖形面積轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形面積進(jìn)行計(jì)算。師生在交流時(shí)如果僅僅靠語言敘述，顯然不夠清楚，不能很好講清轉(zhuǎn)化的過程。在這里就要運(yùn)用直觀的演示方法，根據(jù)學(xué)生回答用課件同步演示（如圖1），展現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體過程，幫助學(xué)生有效理解“轉(zhuǎn)化”的內(nèi)涵。

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圖1 圖2-1 圖2-2

在教學(xué)用轉(zhuǎn)化策略“求不規(guī)則圖形周長”時(shí)，有這樣一個(gè)問題：如圖2-1，求該圖形的周長。顯然，用常規(guī)思路把這個(gè)圖形的每一條邊的長度加起來計(jì)算它的周長，條件是不夠的。這時(shí)就可啟發(fā)學(xué)生討論，利用轉(zhuǎn)化策略將圖2-1轉(zhuǎn)化成什么樣的圖形來計(jì)算周長。在師生交流的中及時(shí)運(yùn)用課件動(dòng)態(tài)演示轉(zhuǎn)化成長方形的過程（如圖2-2），有效地在學(xué)生的頭腦中建立了平移轉(zhuǎn)化的表象，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解了平移轉(zhuǎn)化的方法。在這個(gè)教學(xué)過程中用圖形直觀、動(dòng)態(tài)的演示轉(zhuǎn)化的過程比語言的描述更有效。

二、運(yùn)用直觀示意圖分析問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題的方法

“培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法”是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)。復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題往往數(shù)量關(guān)系比較抽象、隱蔽，讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫直觀示意圖分析問題是非常重要的。通過用直觀的示意圖，可以把問題情境中的條件和問題用直觀的圖形、符號把問題呈現(xiàn)出來，可以把看不見的思維過程顯現(xiàn)出來、固化下來，對于學(xué)生進(jìn)一步思考、發(fā)現(xiàn)思路，都有很大的幫助。所以教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生運(yùn)用直觀示意圖來分析問題，找到解決問題的方法。

例如，習(xí)題：“有三堆圍棋子，每堆60枚。第一堆黑子與第二堆的白子同樣多，第三堆有■是白子。這三堆棋子一共有白子多少枚？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)根據(jù)“第三堆的白子是60的■”能算出第三堆白子的個(gè)數(shù)，而“第一堆和第二堆各有多少個(gè)白子”，題目中沒有說明，只看文字?jǐn)⑹隼聿怀鲱^緒。此時(shí)，我啟發(fā)學(xué)生用線段圖畫一畫，表示出第一堆和第二堆中的黑子和白子，看看有什么發(fā)現(xiàn)。學(xué)生畫出線段圖后馬上就找到解決問題的方法了（如圖3）。根據(jù)題意，第一堆和第二堆棋子的總數(shù)同樣多，而第一堆的黑子和第二堆的白子同樣多，那么反過來第一堆的白子和第二堆的黑子也是同樣多的。通過線段圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第一堆的白子和第二堆的白子加起來正好等于一堆圍棋子的個(gè)數(shù)，是60個(gè)，不需要去求第一堆和第二堆各有多少個(gè)白子，就能算出三堆棋子中一共有多少個(gè)白子了。通過直觀的線段圖學(xué)生就理解了隱含在文字中的數(shù)量關(guān)系。

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圖3 圖4

再如，課本的一道思考題：“有兩枝蠟燭，當(dāng)?shù)谝恢θ既ァ觯诙θ既ァ鰰r(shí)，它們剩下的部分一樣長。兩枝蠟燭原來長度的比是多少？”讓學(xué)生畫圖來理解也是很好的方法（如圖4）。可以根據(jù)兩枝蠟燭剩下的長度相等先畫出兩根蠟燭剩下的部分，第一枝燃去■，說明是剩下的占整個(gè)蠟燭的■，也就是剩下的占1份，原來是5份。第二枝燃去■，剩下的占原來的■，說明第二枝原來有這樣的3份。通過直觀線段圖很清楚地看出兩枝蠟燭原來的長度比是5∶3。所以，在解決數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用畫示意圖來分析數(shù)量關(guān)系，學(xué)生也就掌握了解決實(shí)際問題的一個(gè)重要法寶。

三、發(fā)揮數(shù)形結(jié)合優(yōu)勢，幫助學(xué)生對算理深層建構(gòu)

在解決一些有關(guān)代數(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過教師的指導(dǎo)，學(xué)生能掌握解題方法，但對算理理解較難，常常是知其然，而不知其所以然，只停留在模仿的階段。華羅庚先生曾形象地說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。”教學(xué)中有些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成圖形來思考，常常會(huì)有很好的效果，能幫助學(xué)生對知識進(jìn)行深層建構(gòu)，加深對算理的理解。

比如，在教學(xué)例題“■+■+■+■”簡便算法的算理時(shí)，啟發(fā)學(xué)生思考：這個(gè)算式為什么可以轉(zhuǎn)換成“1-■”來計(jì)算。用一個(gè)正方形表示單位“1”，把正方形平均分成2份，其中的1份就表示■；把剩下的■再平均分成2份，其中的1份就表示■；再把剩下■平均分成2份，其中的1份就表示■；最后把■平均分成2份，其中的1份就表示■，最后剩下的部分也是■（如圖5）。通過畫圖學(xué)生就能理解“求這4個(gè)分?jǐn)?shù)相加的和”，也可以用單位“1”減去空白部分，用“1-■”來計(jì)算更方便。用數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生就理解了簡便算法的算理。

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圖5 圖6

為了加深學(xué)生對算理的理解，再提出“■+■+■+■”能不能用“1-”來計(jì)算，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考。讓學(xué)生自己嘗試畫示意圖，做出解釋。學(xué)生通過畫圖（如圖6），就能看出，如果用“1-■”，算出來結(jié)果里還多了一個(gè)■，結(jié)果就不正確了。從而使學(xué)生認(rèn)識到這樣的分?jǐn)?shù)連加算式的簡便計(jì)算，必須有特定的條件，必須從■開始加起，而且后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母要是前一個(gè)分母的兩倍，才能轉(zhuǎn)化成“用1減最后一個(gè)分?jǐn)?shù)”的方法求這個(gè)連加算式的和。數(shù)形結(jié)合，使教學(xué)中的難點(diǎn)得到了有效的解決。endprint

四、通過直觀符號表示的數(shù)量關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生的初步模型思想

“幾何直觀”理念中所指的“圖形”不僅局限于幾何圖形，運(yùn)算符號、方框、箭頭等直觀的符號表示出的圖示語言，甚至用圖形、文字、字母表示出來的數(shù)量關(guān)系式都有把數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象的作用，有助于探索解決問題的思路。所以用符號、文字表示的數(shù)量關(guān)系式可以看成是一種特殊“直觀”。

例如，練習(xí)題：“如圖7，陰影部分的面積是50平方厘米，求圓環(huán)形部分的面積。”學(xué)生初看題目，感覺無從下手，因?yàn)橐髨A環(huán)面積要用“外圓面積-內(nèi)圓的面積”，要知道外圓和內(nèi)圓的半徑，但題目中并沒有給出。我讓學(xué)生在圖中先用字母R和r分別表示出外圓和內(nèi)圓的半徑，把從題目中發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系式，把它們都寫出來，同桌交流，看看有什么發(fā)現(xiàn)。學(xué)生寫出“3.14×（R2-r2）=圓環(huán)面積，R2-r2=50平方厘米。”我把兩個(gè)等量關(guān)系式上下放在一起（如圖8），讓學(xué)生觀察兩個(gè)等量關(guān)系式有什么聯(lián)系。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)第一個(gè)等式中“R2-r2”的差就是50，這里不需要知道外圓半徑和內(nèi)圓半徑就能求出圓環(huán)的面積，即3.14×50=157平方厘米。把題中的等量關(guān)系式寫出來，能直觀地看到數(shù)量之間的聯(lián)系。

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再如，“王阿姨在水果超市買了3千克蘋果2千克荔枝共用了45元，李阿姨也買了同樣的3千克蘋果和4千克荔枝，一共用了80元。每千克蘋果和每千克荔枝各多少錢？”題目中蘋果和荔枝的單價(jià)都是未知量，但是問題中單價(jià)和總價(jià)之間的等量關(guān)系卻很明晰。讓學(xué)生先用文字或者圖形簡單地寫出等量關(guān)系式（如圖9），再讓學(xué)生觀察兩個(gè)等量關(guān)系式之間的聯(lián)系，通過觀察等量關(guān)系式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“蘋果的千克數(shù)量相等”，“李阿姨比王阿姨多買了2千克荔枝”，這樣問題就轉(zhuǎn)換成“多買的2千克荔枝是25元”。從而可以求出每千克荔枝的價(jià)格，即（80-55）÷（4-2）=12.5元，再根據(jù)等量關(guān)系式可以倒推出蘋果的價(jià)格是10元。這里通過寫簡單文字表示的等量關(guān)系式，讓學(xué)生直觀地看到多出的2千克荔枝和多花的35元錢的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生分析理解起來就顯得更容易了。

這些用字母、符號、文字表示的等量關(guān)系式雖然是數(shù)量關(guān)系的抽象表達(dá)，相對于文字的抽象來講，卻是一種“直觀”的表達(dá)，有助于學(xué)生理解、分析問題。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“建立和求解模型是從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果意義的過程。”所以在教給學(xué)生用圖形、符號表示的數(shù)量關(guān)系式分析問題的過程中，學(xué)生的建模意識和能力也能得到有效的培養(yǎng)。

總之，正如課程標(biāo)準(zhǔn)所說，“幾何直觀”在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用，在教學(xué)中我們要充分學(xué)習(xí)、領(lǐng)會(huì)“幾何直觀”理念的深刻內(nèi)涵，教學(xué)中有效、適時(shí)地加以運(yùn)用，就能幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

四、通過直觀符號表示的數(shù)量關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生的初步模型思想

“幾何直觀”理念中所指的“圖形”不僅局限于幾何圖形，運(yùn)算符號、方框、箭頭等直觀的符號表示出的圖示語言，甚至用圖形、文字、字母表示出來的數(shù)量關(guān)系式都有把數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象的作用，有助于探索解決問題的思路。所以用符號、文字表示的數(shù)量關(guān)系式可以看成是一種特殊“直觀”。

例如，練習(xí)題：“如圖7，陰影部分的面積是50平方厘米，求圓環(huán)形部分的面積。”學(xué)生初看題目，感覺無從下手，因?yàn)橐髨A環(huán)面積要用“外圓面積-內(nèi)圓的面積”，要知道外圓和內(nèi)圓的半徑，但題目中并沒有給出。我讓學(xué)生在圖中先用字母R和r分別表示出外圓和內(nèi)圓的半徑，把從題目中發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系式，把它們都寫出來，同桌交流，看看有什么發(fā)現(xiàn)。學(xué)生寫出“3.14×（R2-r2）=圓環(huán)面積，R2-r2=50平方厘米。”我把兩個(gè)等量關(guān)系式上下放在一起（如圖8），讓學(xué)生觀察兩個(gè)等量關(guān)系式有什么聯(lián)系。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)第一個(gè)等式中“R2-r2”的差就是50，這里不需要知道外圓半徑和內(nèi)圓半徑就能求出圓環(huán)的面積，即3.14×50=157平方厘米。把題中的等量關(guān)系式寫出來，能直觀地看到數(shù)量之間的聯(lián)系。

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再如，“王阿姨在水果超市買了3千克蘋果2千克荔枝共用了45元，李阿姨也買了同樣的3千克蘋果和4千克荔枝，一共用了80元。每千克蘋果和每千克荔枝各多少錢？”題目中蘋果和荔枝的單價(jià)都是未知量，但是問題中單價(jià)和總價(jià)之間的等量關(guān)系卻很明晰。讓學(xué)生先用文字或者圖形簡單地寫出等量關(guān)系式（如圖9），再讓學(xué)生觀察兩個(gè)等量關(guān)系式之間的聯(lián)系，通過觀察等量關(guān)系式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“蘋果的千克數(shù)量相等”，“李阿姨比王阿姨多買了2千克荔枝”，這樣問題就轉(zhuǎn)換成“多買的2千克荔枝是25元”。從而可以求出每千克荔枝的價(jià)格，即（80-55）÷（4-2）=12.5元，再根據(jù)等量關(guān)系式可以倒推出蘋果的價(jià)格是10元。這里通過寫簡單文字表示的等量關(guān)系式，讓學(xué)生直觀地看到多出的2千克荔枝和多花的35元錢的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生分析理解起來就顯得更容易了。

這些用字母、符號、文字表示的等量關(guān)系式雖然是數(shù)量關(guān)系的抽象表達(dá)，相對于文字的抽象來講，卻是一種“直觀”的表達(dá)，有助于學(xué)生理解、分析問題。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“建立和求解模型是從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果意義的過程。”所以在教給學(xué)生用圖形、符號表示的數(shù)量關(guān)系式分析問題的過程中，學(xué)生的建模意識和能力也能得到有效的培養(yǎng)。

總之，正如課程標(biāo)準(zhǔn)所說，“幾何直觀”在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用，在教學(xué)中我們要充分學(xué)習(xí)、領(lǐng)會(huì)“幾何直觀”理念的深刻內(nèi)涵，教學(xué)中有效、適時(shí)地加以運(yùn)用，就能幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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四、通過直觀符號表示的數(shù)量關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生的初步模型思想

“幾何直觀”理念中所指的“圖形”不僅局限于幾何圖形，運(yùn)算符號、方框、箭頭等直觀的符號表示出的圖示語言，甚至用圖形、文字、字母表示出來的數(shù)量關(guān)系式都有把數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象的作用，有助于探索解決問題的思路。所以用符號、文字表示的數(shù)量關(guān)系式可以看成是一種特殊“直觀”。

例如，練習(xí)題：“如圖7，陰影部分的面積是50平方厘米，求圓環(huán)形部分的面積。”學(xué)生初看題目，感覺無從下手，因?yàn)橐髨A環(huán)面積要用“外圓面積-內(nèi)圓的面積”，要知道外圓和內(nèi)圓的半徑，但題目中并沒有給出。我讓學(xué)生在圖中先用字母R和r分別表示出外圓和內(nèi)圓的半徑，把從題目中發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系式，把它們都寫出來，同桌交流，看看有什么發(fā)現(xiàn)。學(xué)生寫出“3.14×（R2-r2）=圓環(huán)面積，R2-r2=50平方厘米。”我把兩個(gè)等量關(guān)系式上下放在一起（如圖8），讓學(xué)生觀察兩個(gè)等量關(guān)系式有什么聯(lián)系。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)第一個(gè)等式中“R2-r2”的差就是50，這里不需要知道外圓半徑和內(nèi)圓半徑就能求出圓環(huán)的面積，即3.14×50=157平方厘米。把題中的等量關(guān)系式寫出來，能直觀地看到數(shù)量之間的聯(lián)系。

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再如，“王阿姨在水果超市買了3千克蘋果2千克荔枝共用了45元，李阿姨也買了同樣的3千克蘋果和4千克荔枝，一共用了80元。每千克蘋果和每千克荔枝各多少錢？”題目中蘋果和荔枝的單價(jià)都是未知量，但是問題中單價(jià)和總價(jià)之間的等量關(guān)系卻很明晰。讓學(xué)生先用文字或者圖形簡單地寫出等量關(guān)系式（如圖9），再讓學(xué)生觀察兩個(gè)等量關(guān)系式之間的聯(lián)系，通過觀察等量關(guān)系式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“蘋果的千克數(shù)量相等”，“李阿姨比王阿姨多買了2千克荔枝”，這樣問題就轉(zhuǎn)換成“多買的2千克荔枝是25元”。從而可以求出每千克荔枝的價(jià)格，即（80-55）÷（4-2）=12.5元，再根據(jù)等量關(guān)系式可以倒推出蘋果的價(jià)格是10元。這里通過寫簡單文字表示的等量關(guān)系式，讓學(xué)生直觀地看到多出的2千克荔枝和多花的35元錢的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生分析理解起來就顯得更容易了。

這些用字母、符號、文字表示的等量關(guān)系式雖然是數(shù)量關(guān)系的抽象表達(dá)，相對于文字的抽象來講，卻是一種“直觀”的表達(dá)，有助于學(xué)生理解、分析問題。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“建立和求解模型是從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果意義的過程。”所以在教給學(xué)生用圖形、符號表示的數(shù)量關(guān)系式分析問題的過程中，學(xué)生的建模意識和能力也能得到有效的培養(yǎng)。

總之，正如課程標(biāo)準(zhǔn)所說，“幾何直觀”在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用，在教學(xué)中我們要充分學(xué)習(xí)、領(lǐng)會(huì)“幾何直觀”理念的深刻內(nèi)涵，教學(xué)中有效、適時(shí)地加以運(yùn)用，就能幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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