運用“幾何直觀” 達成多維目標

蔡杰

“幾何直觀”是2011版《義務教育數學課程標準》提出的十個核心理念之一，課程標準中對“幾何直觀”這樣解釋：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要的作用。”由此可見，課程標準對“幾何直觀”在教學中的作用十分重視。細細研讀，“幾何直觀”在教學中的作用不僅僅局限于“圖形與幾何”領域中的問題，還可以運用到“數與代數”等其他知識領域的教學。這里的“圖形”不僅僅局限于幾何圖形，線段圖、運算符號、字母、文字等直觀符號相結合的圖示語言也都可以看成是“幾何直觀”理念的體現。 “幾何直觀”不但是解決問題的重要方法，而且在幫助學生理解數學知識、培養思維能力、建立模型思想等諸多方面都有重要的作用。在教學蘇教版六年級下冊“解決問題策略（轉化）”單元內容時，我從“幾何直觀”理念入手，充分發揮“幾何直觀”的作用，實現多維教學目標。

一、運用直觀圖形展示思維的過程，讓學生更好地理解知識

課程標準指出：“數學學習內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果形成過程和蘊含的數學思想方法。”因此教學中“既要重視結果，又要重視獲取知識過程”已經是教師的共識。

例如，教學“轉化”策略新授課，回顧“我們曾經運用轉化策略解決過哪些問題”這一環節時，通過提問啟發，學生回想到以前在學習平行四邊形、三角形、梯形、圓形等平面圖形的面積計算時都用到了轉化的策略，把未學過的圖形面積轉化成已學過的圖形面積進行計算。師生在交流時如果僅僅靠語言敘述，顯然不夠清楚，不能很好講清轉化的過程。在這里就要運用直觀的演示方法，根據學生回答用課件同步演示（如圖1），展現轉化的具體過程，幫助學生有效理解“轉化”的內涵。

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圖1 圖2-1 圖2-2

在教學用轉化策略“求不規則圖形周長”時，有這樣一個問題：如圖2-1，求該圖形的周長。顯然，用常規思路把這個圖形的每一條邊的長度加起來計算它的周長，條件是不夠的。這時就可啟發學生討論，利用轉化策略將圖2-1轉化成什么樣的圖形來計算周長。在師生交流的中及時運用課件動態演示轉化成長方形的過程（如圖2-2），有效地在學生的頭腦中建立了平移轉化的表象，幫助學生準確理解了平移轉化的方法。在這個教學過程中用圖形直觀、動態的演示轉化的過程比語言的描述更有效。

二、運用直觀示意圖分析問題，讓學生學會分析問題的方法

“培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法”是數學教學的一個重要目標。復雜的數學問題往往數量關系比較抽象、隱蔽，讓學生學會畫直觀示意圖分析問題是非常重要的。通過用直觀的示意圖，可以把問題情境中的條件和問題用直觀的圖形、符號把問題呈現出來，可以把看不見的思維過程顯現出來、固化下來，對于學生進一步思考、發現思路，都有很大的幫助。所以教學中要教會學生運用直觀示意圖來分析問題，找到解決問題的方法。

例如，習題：“有三堆圍棋子，每堆60枚。第一堆黑子與第二堆的白子同樣多，第三堆有■是白子。這三堆棋子一共有白子多少枚？”學生發現根據“第三堆的白子是60的■”能算出第三堆白子的個數，而“第一堆和第二堆各有多少個白子”，題目中沒有說明，只看文字敘述理不出頭緒。此時，我啟發學生用線段圖畫一畫，表示出第一堆和第二堆中的黑子和白子，看看有什么發現。學生畫出線段圖后馬上就找到解決問題的方法了（如圖3）。根據題意，第一堆和第二堆棋子的總數同樣多，而第一堆的黑子和第二堆的白子同樣多，那么反過來第一堆的白子和第二堆的黑子也是同樣多的。通過線段圖，學生發現第一堆的白子和第二堆的白子加起來正好等于一堆圍棋子的個數，是60個，不需要去求第一堆和第二堆各有多少個白子，就能算出三堆棋子中一共有多少個白子了。通過直觀的線段圖學生就理解了隱含在文字中的數量關系。

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圖3 圖4

再如，課本的一道思考題：“有兩枝蠟燭，當第一枝燃去■，第二枝燃去■時，它們剩下的部分一樣長。兩枝蠟燭原來長度的比是多少？”讓學生畫圖來理解也是很好的方法（如圖4）。可以根據兩枝蠟燭剩下的長度相等先畫出兩根蠟燭剩下的部分，第一枝燃去■，說明是剩下的占整個蠟燭的■，也就是剩下的占1份，原來是5份。第二枝燃去■，剩下的占原來的■，說明第二枝原來有這樣的3份。通過直觀線段圖很清楚地看出兩枝蠟燭原來的長度比是5∶3。所以，在解決數量關系較復雜的數學問題時，讓學生學會運用畫示意圖來分析數量關系，學生也就掌握了解決實際問題的一個重要法寶。

三、發揮數形結合優勢，幫助學生對算理深層建構

在解決一些有關代數領域數學問題時，通過教師的指導，學生能掌握解題方法，但對算理理解較難，常常是知其然，而不知其所以然，只停留在模仿的階段。華羅庚先生曾形象地說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。數形結合百般好，割裂分家萬事休。”教學中有些代數問題轉化成圖形來思考，常常會有很好的效果，能幫助學生對知識進行深層建構，加深對算理的理解。

比如，在教學例題“■+■+■+■”簡便算法的算理時，啟發學生思考：這個算式為什么可以轉換成“1-■”來計算。用一個正方形表示單位“1”，把正方形平均分成2份，其中的1份就表示■；把剩下的■再平均分成2份，其中的1份就表示■；再把剩下■平均分成2份，其中的1份就表示■；最后把■平均分成2份，其中的1份就表示■，最后剩下的部分也是■（如圖5）。通過畫圖學生就能理解“求這4個分數相加的和”，也可以用單位“1”減去空白部分，用“1-■”來計算更方便。用數形結合的方法，學生就理解了簡便算法的算理。

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圖5 圖6

為了加深學生對算理的理解，再提出“■+■+■+■”能不能用“1-”來計算，引發學生進一步思考。讓學生自己嘗試畫示意圖，做出解釋。學生通過畫圖（如圖6），就能看出，如果用“1-■”，算出來結果里還多了一個■，結果就不正確了。從而使學生認識到這樣的分數連加算式的簡便計算，必須有特定的條件，必須從■開始加起，而且后一個分數的分母要是前一個分母的兩倍，才能轉化成“用1減最后一個分數”的方法求這個連加算式的和。數形結合，使教學中的難點得到了有效的解決。endprint

四、通過直觀符號表示的數量關系式，培養學生的初步模型思想

“幾何直觀”理念中所指的“圖形”不僅局限于幾何圖形，運算符號、方框、箭頭等直觀的符號表示出的圖示語言，甚至用圖形、文字、字母表示出來的數量關系式都有把數學問題變得簡明、形象的作用，有助于探索解決問題的思路。所以用符號、文字表示的數量關系式可以看成是一種特殊“直觀”。

例如，練習題：“如圖7，陰影部分的面積是50平方厘米，求圓環形部分的面積。”學生初看題目，感覺無從下手，因為要求圓環面積要用“外圓面積-內圓的面積”，要知道外圓和內圓的半徑，但題目中并沒有給出。我讓學生在圖中先用字母R和r分別表示出外圓和內圓的半徑，把從題目中發現的等量關系式，把它們都寫出來，同桌交流，看看有什么發現。學生寫出“3.14×（R2-r2）=圓環面積，R2-r2=50平方厘米。”我把兩個等量關系式上下放在一起（如圖8），讓學生觀察兩個等量關系式有什么聯系。學生很快發現第一個等式中“R2-r2”的差就是50，這里不需要知道外圓半徑和內圓半徑就能求出圓環的面積，即3.14×50=157平方厘米。把題中的等量關系式寫出來，能直觀地看到數量之間的聯系。

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再如，“王阿姨在水果超市買了3千克蘋果2千克荔枝共用了45元，李阿姨也買了同樣的3千克蘋果和4千克荔枝，一共用了80元。每千克蘋果和每千克荔枝各多少錢？”題目中蘋果和荔枝的單價都是未知量，但是問題中單價和總價之間的等量關系卻很明晰。讓學生先用文字或者圖形簡單地寫出等量關系式（如圖9），再讓學生觀察兩個等量關系式之間的聯系，通過觀察等量關系式，學生發現“蘋果的千克數量相等”，“李阿姨比王阿姨多買了2千克荔枝”，這樣問題就轉換成“多買的2千克荔枝是25元”。從而可以求出每千克荔枝的價格，即（80-55）÷（4-2）=12.5元，再根據等量關系式可以倒推出蘋果的價格是10元。這里通過寫簡單文字表示的等量關系式，讓學生直觀地看到多出的2千克荔枝和多花的35元錢的對應關系，學生分析理解起來就顯得更容易了。

這些用字母、符號、文字表示的等量關系式雖然是數量關系的抽象表達，相對于文字的抽象來講，卻是一種“直觀”的表達，有助于學生理解、分析問題。課程標準指出：“建立和求解模型是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果意義的過程。”所以在教給學生用圖形、符號表示的數量關系式分析問題的過程中，學生的建模意識和能力也能得到有效的培養。

總之，正如課程標準所說，“幾何直觀”在整個數學學習過程中都發揮著重要的作用，在教學中我們要充分學習、領會“幾何直觀”理念的深刻內涵，教學中有效、適時地加以運用，就能幫助學生更好地學習數學，提升學生的數學素養。

（責編 金 鈴）endprint

四、通過直觀符號表示的數量關系式，培養學生的初步模型思想

“幾何直觀”理念中所指的“圖形”不僅局限于幾何圖形，運算符號、方框、箭頭等直觀的符號表示出的圖示語言，甚至用圖形、文字、字母表示出來的數量關系式都有把數學問題變得簡明、形象的作用，有助于探索解決問題的思路。所以用符號、文字表示的數量關系式可以看成是一種特殊“直觀”。

例如，練習題：“如圖7，陰影部分的面積是50平方厘米，求圓環形部分的面積。”學生初看題目，感覺無從下手，因為要求圓環面積要用“外圓面積-內圓的面積”，要知道外圓和內圓的半徑，但題目中并沒有給出。我讓學生在圖中先用字母R和r分別表示出外圓和內圓的半徑，把從題目中發現的等量關系式，把它們都寫出來，同桌交流，看看有什么發現。學生寫出“3.14×（R2-r2）=圓環面積，R2-r2=50平方厘米。”我把兩個等量關系式上下放在一起（如圖8），讓學生觀察兩個等量關系式有什么聯系。學生很快發現第一個等式中“R2-r2”的差就是50，這里不需要知道外圓半徑和內圓半徑就能求出圓環的面積，即3.14×50=157平方厘米。把題中的等量關系式寫出來，能直觀地看到數量之間的聯系。

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再如，“王阿姨在水果超市買了3千克蘋果2千克荔枝共用了45元，李阿姨也買了同樣的3千克蘋果和4千克荔枝，一共用了80元。每千克蘋果和每千克荔枝各多少錢？”題目中蘋果和荔枝的單價都是未知量，但是問題中單價和總價之間的等量關系卻很明晰。讓學生先用文字或者圖形簡單地寫出等量關系式（如圖9），再讓學生觀察兩個等量關系式之間的聯系，通過觀察等量關系式，學生發現“蘋果的千克數量相等”，“李阿姨比王阿姨多買了2千克荔枝”，這樣問題就轉換成“多買的2千克荔枝是25元”。從而可以求出每千克荔枝的價格，即（80-55）÷（4-2）=12.5元，再根據等量關系式可以倒推出蘋果的價格是10元。這里通過寫簡單文字表示的等量關系式，讓學生直觀地看到多出的2千克荔枝和多花的35元錢的對應關系，學生分析理解起來就顯得更容易了。

這些用字母、符號、文字表示的等量關系式雖然是數量關系的抽象表達，相對于文字的抽象來講，卻是一種“直觀”的表達，有助于學生理解、分析問題。課程標準指出：“建立和求解模型是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果意義的過程。”所以在教給學生用圖形、符號表示的數量關系式分析問題的過程中，學生的建模意識和能力也能得到有效的培養。

總之，正如課程標準所說，“幾何直觀”在整個數學學習過程中都發揮著重要的作用，在教學中我們要充分學習、領會“幾何直觀”理念的深刻內涵，教學中有效、適時地加以運用，就能幫助學生更好地學習數學，提升學生的數學素養。

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四、通過直觀符號表示的數量關系式，培養學生的初步模型思想

“幾何直觀”理念中所指的“圖形”不僅局限于幾何圖形，運算符號、方框、箭頭等直觀的符號表示出的圖示語言，甚至用圖形、文字、字母表示出來的數量關系式都有把數學問題變得簡明、形象的作用，有助于探索解決問題的思路。所以用符號、文字表示的數量關系式可以看成是一種特殊“直觀”。

例如，練習題：“如圖7，陰影部分的面積是50平方厘米，求圓環形部分的面積。”學生初看題目，感覺無從下手，因為要求圓環面積要用“外圓面積-內圓的面積”，要知道外圓和內圓的半徑，但題目中并沒有給出。我讓學生在圖中先用字母R和r分別表示出外圓和內圓的半徑，把從題目中發現的等量關系式，把它們都寫出來，同桌交流，看看有什么發現。學生寫出“3.14×（R2-r2）=圓環面積，R2-r2=50平方厘米。”我把兩個等量關系式上下放在一起（如圖8），讓學生觀察兩個等量關系式有什么聯系。學生很快發現第一個等式中“R2-r2”的差就是50，這里不需要知道外圓半徑和內圓半徑就能求出圓環的面積，即3.14×50=157平方厘米。把題中的等量關系式寫出來，能直觀地看到數量之間的聯系。

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再如，“王阿姨在水果超市買了3千克蘋果2千克荔枝共用了45元，李阿姨也買了同樣的3千克蘋果和4千克荔枝，一共用了80元。每千克蘋果和每千克荔枝各多少錢？”題目中蘋果和荔枝的單價都是未知量，但是問題中單價和總價之間的等量關系卻很明晰。讓學生先用文字或者圖形簡單地寫出等量關系式（如圖9），再讓學生觀察兩個等量關系式之間的聯系，通過觀察等量關系式，學生發現“蘋果的千克數量相等”，“李阿姨比王阿姨多買了2千克荔枝”，這樣問題就轉換成“多買的2千克荔枝是25元”。從而可以求出每千克荔枝的價格，即（80-55）÷（4-2）=12.5元，再根據等量關系式可以倒推出蘋果的價格是10元。這里通過寫簡單文字表示的等量關系式，讓學生直觀地看到多出的2千克荔枝和多花的35元錢的對應關系，學生分析理解起來就顯得更容易了。

這些用字母、符號、文字表示的等量關系式雖然是數量關系的抽象表達，相對于文字的抽象來講，卻是一種“直觀”的表達，有助于學生理解、分析問題。課程標準指出：“建立和求解模型是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果意義的過程。”所以在教給學生用圖形、符號表示的數量關系式分析問題的過程中，學生的建模意識和能力也能得到有效的培養。

總之，正如課程標準所說，“幾何直觀”在整個數學學習過程中都發揮著重要的作用，在教學中我們要充分學習、領會“幾何直觀”理念的深刻內涵，教學中有效、適時地加以運用，就能幫助學生更好地學習數學，提升學生的數學素養。

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