基于改進的數學形態學邊緣檢測算法研究

王東霞, 許偉昶

(濟源職業技術學院,河南 濟源 459000)

0 引 言

圖像邊緣一般是指圖像中像素灰度有階躍變化或屋頂狀變化的那些像素的集合，可以粗略地分為階躍邊緣和屋頂邊緣，它存在于目標與背景、目標與目標、區域與區域、基元與基元之間[1]。邊緣檢測在圖像預處理中有非常大的作用，其在圖像處理及人臉識別等方面的應用也是非常廣泛。目標對象的輪廓可以被它清晰的描繪出來，所含概的信息量非常大，如階躍性質、形狀等，使讀者清晰明了。在邊緣檢測算法研究中，提出了比較多的檢測算法，如: Sobel算子﹑Canny算子[2]和梯度算子等，但這些算法通常較難得到良好的檢測結果，往往存在較差的抗干擾能力以及對方向性過于敏感等不足之處。基于小波變換邊緣檢測方法[3-4]具有良好的局域化特性，它是檢測邊緣很好的工具，但是該方法邊緣信息難以保留完全。數學形態學[5]是一種非線性的濾波方法，應用數學形態學可以簡化圖像數據，保持他們基本的形狀特征。形態學在檢測圖像邊緣的連續性以及各個方向性方面都優于其他的傳統方法[6-8]，由于單一的結構元素只能檢測出與結構元素同方向的邊緣信息，而對其它方向的邊緣并不敏感。不過，由于傳統的數學形態學檢測算法忽略了邊緣的方向性，只針對圖像邊緣的強度信息進行處理。這種處理方式具有一定的局限性，存在圖像檢測出的邊緣相對較寬以及分辨率低的不良現象。而且，使用單一的形態學梯度算法來對邊緣信息進行提取，雖然可以抑制噪聲，但也會存在對部分形態學梯度幅值與噪聲相近或低于噪聲的低強度邊緣造成損壞。

針對上述傳統圖像邊緣檢測算法的不足，文中提出了一種基于改進的數學形態邊緣檢測算法。實驗仿真表明，該算法在檢測圖像邊緣信息的完整性方面具有良好的效果，同時，能確保圖像邊緣的平滑性。

1 傳統形態邊緣檢測算子

數學形態學是一門建立在嚴格數學集合論基礎上的學科，它的基本思想是用具有一定形態的結構元素去度量和提取圖像中的對應形狀以達到對圖像分析和識別的目的[11]。數學形態學在圖像數據的簡化方面具有優勢，同時能夠確保圖像數據的形狀特征不改變，并將不相關的結構進行清理。數學形態學可以進行相關的運算，其主要的運算規則有：膨脹、腐蝕、開啟以及閉合。

腐蝕運算的主要作用是使物體沿著邊界逐漸減小的過程，膨脹則是合并的過程，它們之間的關系是互為對偶運算。

數學運算定義[9]如下：

(1) 腐蝕運算：

FΘB(x,y)=min{F(x-s,y-t)-B(s,t)}

(1)

(2) 膨脹運算：

F⊕B(x,y)=max{F(x-s,y-t)+B(s,t)}

(2)

式中：F(x,y)表示的是灰度圖像；B(s,t)表示的是結構元素。

閉運算主要用來對物體內部細小空洞進行填充，開運算的功能則是用來將細小的物體刪除，并將邊緣某些不必要的內容清除。相應的，閉運算和開運算也是互為對偶的運算。

數學公式定義如下：

(3) 開運算：

F°B=(FΘB)⊕B

(3)

(4) 閉運算：

F·B=(F⊕B)ΘB

(4)

式中：Θ用來描述的是腐蝕運算；⊕用來描述的是膨脹運算。形狀決定圖像中的對象及其特征。針對時域空間形狀的研究是數學形態學的主要方向，因此，在圖像處理方面應用形態學是非常適合的。膨脹運算、腐蝕運算、開啟運算以及閉合運算都是基于集合的運算。其中，結構元素用來調節圖像特征變換的幾何結構，扮演著至關重要的角色。

在膨脹運算、腐蝕運算、開啟運算以及閉合運算的基礎上，能夠推演出灰度形態梯度邊緣檢測算子、灰度腐蝕邊緣檢測算子和灰度膨脹邊緣檢測算子三個常見算子。它們的數學定義如下：

灰度膨脹邊緣檢測算子

Cgd=(f⊕g)(x,y)-f(x,y)

(5)

灰度腐蝕邊緣檢測算子

Cge=f(x,y)-(fΘg)(x,y)

(6)

灰度形態梯度邊緣檢測算子

Cgsun=(f⊕g)(x,y)-(fΘg)(x,y)

(7)

通過分析，可以看出上面的三個算子都是屬于非線性差分算子，其本質在某種程度上是對傳統線性差分算子的推廣應用。式(5)用來描述形態膨脹，這種算子處理得到的圖像的邊緣比較模糊、產生的邊緣信號也比較弱。式(6)用來描述形態腐蝕，這種算子處理得到的圖像邊緣信號比較強，不過在噪聲方面有所增強。文獻(10)中修正了灰度形態學梯度邊緣檢測算子：

(8)

文獻中對邊緣檢測算子進行數學定義：

E(x,y)=Ed(x,y)+0.5Edec(x,y)

(9)

通過上面的公式能夠清晰地反映出文獻(10)在檢測結果的模糊性方面具有一定的優勢，能夠降低模糊性，是因為該算子對原圖像的一些邊緣細節信息進行了迭加。因為光源照射等原因，圖像中具有更低的噪聲梯度幅值以及形態學梯度幅值。因此，在圖像處理中提取邊緣時，如果只應用式(9)梯度閾值方法進行則往往容易對這類邊緣造成損壞。

2 形態邊緣檢測算子的改進

2.1 算子原理

針對傳統的形態邊緣檢測算子所存在的種種不足，文中提出了一種抗噪型檢測算子，是對傳統的檢測算子的改進。

通過對形態學邊緣檢測算子的研究可以看出，如果出現噪聲點的尺度小于檢測算子的結構元尺度的情況，則在去除圖像噪聲方面形態邊緣檢測算子可以顯現出明顯的效果。雖然這種大尺度的結構元素具有很強的噪聲去除能力，便于對原圖像中對象的整體輪廓進行定位，不過，也存在一定的不足，往往會將原圖像中某些細小的邊緣信息當作噪聲去處理。而如果出現檢測算子的結構元尺度小于噪聲點的尺度的情況，則存在對圖像中的噪聲難以消除的現象，雖然其在圖像細節保持方面具有很好的效果。

針對上述存在的不足問題，文獻中給出了多尺度多結構元邊緣檢測算子來解決該問題。其數學定義：

(10)

式中：EN(x,y)用來描述多尺度圖像邊緣檢測結果；EM(x,y)用來描述多結構元圖像邊緣檢測結果；ai用來描述加權系數。不過，因為計算復雜度高等因素的影響，該算子一直難以在實際的研究中推廣應用。

鑒于此，本文在該算子的基礎上進行了改進，即使用雙結構不同尺度的兩個結構元素來對圖像進行交替順序形態開閉濾波，對噪聲采用平滑圖像的方式去除處理，對單一結構元素處理所存在的問題進行了根本性的解決。

改進的雙結構元素多尺度形態學邊緣檢測算子的數學定義：

E(F)=(F°B)⊕A-(F·B)ΘA

(11)

式中，A的用鉆石型5×5結構元素來描述，而B用十字型3×3結構元素來描述，它們都是基于不同尺度的結構素。

式中：A為小尺度的結構元素，它的優點是能夠將圖像的邊緣信息很好的保持住，但它也存在不足之處，即對噪聲去除處理欠缺；而B為大尺度的結構元素，它的優點是對噪聲去除處理效果好，但也存在不足之處就是會將一些邊緣信息去除。因此，在文中提出的改進算法中，充分的將A、B的優點保存下來，而將其不足去除，這樣不但能有效地保持好邊緣信息，而且對噪聲的處理也非常有效果。

2.2 改進的邊緣檢測算法的描述

上面對改進的形態邊緣檢測算子的原理進行了說明。針對該改進的算法的執行流程用圖1描述。

圖1 算法流程圖

本文改進的算法的執行步驟如下：

Step1：先將圖像輸入，然后利用形態開閉平滑對圖像進行處理，目的是將圖像中的噪聲進行去除。

Step2：計算多尺度邊緣結果以及雙結構元素邊緣。

Step3：在提取圖像的邊緣信息時采用不同方向的結構元素。然后將各個方向的邊緣進行加權求和處理，最終就可以計算出圖像的邊緣信息。利用公式(12) 求得加權和結果：

(12)

式中，ai用來描述加權系數。

Step4：二值化處理得到的邊緣信息，最后得到檢測的邊緣。

3 實驗結果與分析

在Matlab7.0實驗環境下，根據上面所提出的方法，進行圖像邊緣檢測試驗，本文算法簡單、易于實現。給出了兩個實驗，① 將算法應用在灰度圖像中，② 本文算法應用在彩色圖像邊緣檢測中，其中兩幅圖像均為噪聲圖像。為了檢測算法的有效性，本文給出了幾種常見的邊緣檢測算法結果圖，見圖2及圖3。在本文仿真實驗中，選用兩種結構元素類型為十字型結構3×3和鉆石型5×5結構型。

從實驗結果不難看出，在初始邊緣檢測結果(邊緣圖像)中，原始圖像模糊的部分邊緣像素的連續性較差。在更大尺度上檢測到的邊緣是對初始檢測結果的有效補充。這種補充是建立在利用圖像信息基礎上的，并且因為尺度較大，在補充邊緣信息的同時，有效地抑制了噪聲的干擾。

(a) 噪聲圖像

(b) 小波方法

(c) 傳統形態學檢測

(d) 文獻10檢測

(e) 本文算法

(a) 噪聲圖像

(b) 小波方法

(c) 傳統形態學檢測

(d) 文獻10檢測

(e) 本文算法

4 結 語

針對傳統邊緣檢測算法存在的邊緣分辨率較低、低強度邊緣保護能力較差等問題，提出了基于數學形態學彩色圖像邊緣檢測改進算法。該方法將利用數學形態四種運算，膨脹、腐蝕、開、閉等變換以及它們的組合，并根據不同的結構元素的尺度大小和結構元類型，給出了一種改進的形態學抗噪型邊緣檢測算子，有效地檢測出完整的圖像邊緣信息，并保持圖像邊緣的平滑性。實驗結果證明了，與傳統的邊緣檢測算法相比，本文提出的算法能有效提取準確的邊緣信息，而且又具有很強的抗噪性，是一種有效的邊緣檢測方法。更加充分地利用了圖像信息，提高了邊緣檢測的正確率。

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