定積分的定義及其應用

唐方旭

(天津財經大學珠江學院基礎課部，天津，301811)

一、引言

定積分起源于求圖形的面積和體積等實際問題。古希臘的阿基米德用“窮竭法”，我國的劉徽用“割圓術”，都曾計算過一些幾何體的面積和體積，這些均為定積分的雛形。直到17世紀中葉，牛頓和萊布尼茨先后提出了定積分的概念，并發現了積分與微分之間的內在聯系，給出了計算定積分的一般方法，方使定積分成為解決有關實際問題的有力工具，并使各自獨立的微分學與積分學聯系起來，構成完整的理論體系——微積分學。

二、定積分的定義

定義1[1]設函數f(x)在區間[a,b]上有定義，用(a,b)內的n-1個分點

a=x0

故Dirichlet函數在[0，1]上不可積。

例3 何時有λ→0?n→∞?

利用此公式可以計算一類極限問題。

定義2[2]設函數f(x)在區間[a,b]上有定義，將[a,b]區間進行n等分

三、定積分定義的應用

利用定積分定義求解一類極限問題。

理論依據：設函數f(x)在區間[0,1]上可積分，則

實例分析：

分析：將這類問題轉化為定積分主要是確定被積函數和積分上下限。若對題目中被積函數難以想到，可采取如下方法：先對區間[0，1]n等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數與積分上下限。

例4[4]極限

=________

例5 求極限

四、小結

[1] 盧興江，金蒙偉.微積分[M].杭州：浙江大學出版社，2012.

[2] 柳潔冰，張宏亮.關于定積分定義及可積條件的討論[J].科教文匯：上旬刊，2011(3).

[3] 陳仲.高等數學競賽題解析教程[M].南京：東南大學出版社，2010.

[4] 田勇.碩士研究生入學考試歷年真題解析：理工數學二[M].北京：機械工業出版社，2002.

[5] 張瑜.21世紀高職高專課程改革新教材：高等數學競賽教程[M].蘇州：蘇州大學出版社，2009.