數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

曹彩霞

摘 要：數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的證明方法.數(shù)學(xué)歸納法有兩個聯(lián)系緊密、缺一不可的步驟，前一步是推理的基礎(chǔ)，后一步是推理的依據(jù).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；假設(shè)；猜想

數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的證明方法，在證明問題中往往具有意想不到的效果.但是，掌握好數(shù)學(xué)歸納法需要理解證明中的環(huán)環(huán)相扣的兩步走.

一、數(shù)學(xué)歸納法在證明等式問題中的應(yīng)用

例1.請利用數(shù)學(xué)歸納法證明：1-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■.

解：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1-■=■=右邊，命題成立.

（2）假設(shè)n=k時，命題成立，即1-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■，那么1-■+■-■+…+■-■+■-■=■+■+…+■+■-■=■+■+…+■+■+（■-■）=■+■+…+■+■+■.

這說明當(dāng)n=k+1時命題也成立.

由（1）（2）可知命題對一切正整數(shù)都成立.

評析：關(guān)鍵在于n=k變?yōu)閚=k+1時等式變化是什么，等式增加多少項它們是什么.題中n=k時，原式=1-■+■-■+…+■-■，當(dāng)n=k+1時，式子就變?yōu)?-■+■-■+…+■-■+■-■.

二、數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式問題中的應(yīng)用

例2.求證：■+■+…+■>1

分析：證明n=1成立時，不等式左側(cè)為■+■+■，不是一項.利用假設(shè)n=k時不等式成立來證明n=k+1時不等式也成立，必須用到歸納假設(shè)，繼而進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s.

解：（1）當(dāng)n=1時，左邊=■+■+■=■=■>1，不等式成立.

（2）假設(shè)n=k時命題成立，即■+■+…+■>1，

則當(dāng)n=k+1時，■+■+…+■+■+■+■=（■+■+…+■）+■+■+■-■>1+[■+■-■]=1+■-■=1+■-■>1.

這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式成立.

由（1）（2）知原不等式成立.

規(guī)律總結(jié)：關(guān)鍵點(diǎn)在于從k到k+1時項數(shù)的變化，跨度較大，注意到分母是相鄰的自然數(shù)，理應(yīng)為■+■+■，有三項之多，同時也要關(guān)注到式子中的第一項同樣發(fā)生了變化.

三、先歸納后猜想再證明

例3.已知a1=■，且Sn=n2an（n∈N*）.

（1）求a2，a3，a4.

（2）猜想出數(shù)列{an}的通項公式，并利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

分析：已知Sn求an的問題，可以通過題型特點(diǎn)直接求出遞推公式an+1=■an，再進(jìn)行證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明時重點(diǎn)關(guān)注好n=k和n=k+1兩者之間的關(guān)聯(lián)性，用好an+1=■an的紐帶作用.

解：∵Sn=n2an，∴an+1=Sn+1-Sn=（n+1）2an+1-n2an，∴an+1=■an，

∴（1）a2=■，a3=■，a4=■.

（2）猜想出an=■.利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n=1時，命題顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即有ak=■.則當(dāng)n=k+1時，ak+1=■ak=■×■=■.故當(dāng)n=k+1時命題也成立.綜上所述，對于任意的n∈N*，都有an=■.

四、錯誤辨析

例4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：6能整除n3+5n（n∈N*）.

錯誤解：（1）當(dāng)n=1時，n3+5n=6，6能被6整除，結(jié)論顯然成立.

（2）假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即k3+5k能被6整除.

那么（k+1）3+5（k+1）=[（k+1）3-（k-1）]+6（k+1）=（k+1）[（k+1）2-1]+6（k+1）=（k+1）（k+2）k+6（k+1）.

因為k，k+1，k+2是相鄰的三個整數(shù)，三個中肯定有一個能被3整除，三個中肯定至少有一個能被2整除，所以6能整除k（k+1）（k+2）+6（k+1）.故n=k+1時，結(jié)論也成立.

評析：本題證明法看起來很完美，其實(shí)仔細(xì)觀察我們發(fā)現(xiàn)，在證明過程中沒有按照數(shù)學(xué)歸納法的兩大步驟來完成.

數(shù)學(xué)歸納法是高中重要的一種證明方法，一般情況分兩大步—三結(jié)論的模式來證明問題.數(shù)學(xué)歸納法有兩個聯(lián)系緊密、缺一不可的步驟，前一步是推理的基礎(chǔ)，后一步是推理的依據(jù)，少前一步就缺少推理的基礎(chǔ)，后一步中的假設(shè)就失去了成立的基石，少后一步，就缺少了推理的依據(jù)，問題的普遍性得不到呈現(xiàn)。所以，數(shù)學(xué)歸納法其實(shí)是環(huán)環(huán)相扣的兩環(huán).

參考文獻(xiàn)：

張瑞峽.數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ).科教文匯，2011（21）.

？誗編輯 張珍珍