巧用全等解決角度問題

趙丹

全等三角形是新課標中“圖形與幾何”中的重要內容，是基于基本的圖形學習之后綜合運用的體現.全等不僅是研究圖形的基本工具，更是學習四邊形、圓的基礎.在利用全等三角形的性質和判定解決問題的過程中，還有助于提升學生的思維方式，加強學生在生活中縝密思考問題的能力.

在教授“三角形全等”這章內容時，習題中有一類關于求角度的問題，班上有將近一半的學生都不知道如何去做，題目寫到一半就不知道該怎么辦.在數學中，學生一看到在圖形中求角度，本能地認為很難，看完題目后覺得無從下手.本文針對在全等三角形中常見的一類求角度問題進行剖析，怎樣入手去解決角度問題，怎樣以不變應萬變，使得山重水復疑無路，柳暗花明又一村，守得云開見月明.這種解決角度問題的思維方法的培養很有利于學生今后的學習.

一、例題剖析

例：（1）已知：如圖1，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求證：①AC=BD；②∠APB=60°.

（2）如圖2，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關系式為 ；∠APB的大小為 .

分析：（1）從結論AC=BD入手，要證明線段相等，常用的方法是證明全等，找到這兩條線段所在的三角形可知，需要證明△AOC≌△BOD，圍繞這個目標找全等的條件.在這一過程中學生的證明沒有太大難度.但是在求角度時只是已知∠AOB=∠COD=

60°，與要求的∠APB的度數看著沒有任何關系，那怎樣利用已知角的度數求未知角的大小？經過教師點撥及學生對基礎知識的掌握，學生能夠想到可以從三角形的內角入手，也可以從三角形的外角入手，或者從三角形的角度轉化入手都可以.在這里，學生提供了幾種求角度的方法，打開了學生的思維，也使課堂的氛圍更加活躍.

（2）與圖1比較，圖形條件發生了變化，仍然可以證明△AOC≌△BOD，方法類似.

二、思維碰撞，一題多解

證明：（1）因為∠AOB=∠COD=60°，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC.即∠AOC=∠BOD.又因為OA=OB，OC=OD，所以△AOC≌△BOD.所以AC=BD.

證明角度時，在師生共同配合下，學生提供了三種方法用于參考

（2）法一：在△APB中，利用三角形內角之和

因為△AOC≌△BOD，所以∠OAC=∠OBD，因為∠APB=180°-（∠BAP+∠ABP）=180°-（∠BAP+∠ABE+∠PBE）=180°-（∠BAP+∠ABE+∠CAO）=180°-（∠BAO+∠ABE）=180°-120°=60°

法二：在△EPB中利用三角形內角之和

因為△AOC≌△BOD，所以∠OAC=∠OBD，

因為∠APB=180°-（∠BEP+∠EBP）=180°-（∠AEO+∠EAO）=∠AOB=60°

法三：利用△AEB的外角

因為△AOC≌△BOD，所以∠OAC=∠OBD，

因為∠APB=180°-（∠BEP+∠EBP）=180°-（∠BAE+∠ABE+∠EBP）=180°-（∠BAE+∠ABE+∠CAO）=180°-（∠BAO+∠ABE）=180°-120°=60°

在證明角度時，在教師的思維帶動下，生提供了幾種解題方法，培養了學生的思維能力，對以后的學習過程中遇到角度問題提供了很好的思維方式.

根據（1）的解題思路，當∠AOB=∠COD=α時，都能求出∠APB=α，基于問題（1）的解決，學生很快能夠找到思路，較好地進行了從特殊到一般問題的轉化.在本題的解決過程中，學生在求角度方面打開了思維，在這道例題解決方法的基礎上，給出了練習題.

三、思維訓練，活學活用

練習：如圖3，點M、N分別在正△ABC的邊BC，CA上，且BM=CN，直線AM，BN交于點Q.求證：∠BQM=60°.

學生活動：先讓學生分析解決思路.（1）先根據SAA定理得出△ABM≌△BCN，故可得出∠1=∠2，再由∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角即可得出結論.

教師活動：展示學生證明過程，進行對比.這時讓學生思考由例題的啟發，能提出新的問題嗎？

學生討論交流提出下面幾個問題：

（1）將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，能成立嗎？

（2）若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？

（3）將題中的條件“點M，N分別在△ABC的邊BC，CA上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°？對以上（1）（2）進行證明（自己畫出對應的圖形）.

在問題提出方面，學生的由于認知的局限性，在教師的提示下能提出部分問題，并能較好地解決，這里只提供學生解決問題的思維方法：

（1）據ASA定理得出△ABM≌△BCN，由全等三角形的性質即可得出結論.

（2）同（1）可證△ABN≌△CAM，由全等三角形的性質即可得出結論.

（3）同（1）可得△ABM≌△BCN（SAS），故∠1=∠2，再由∠BQM=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABM=90°即可得出結論.

在這里學生的思維得到了充分的發散，收獲良多，鍛煉了學生的邏輯思維，提高了學生的創新能力.

四、思維總結

通過例題解析與練習的交相呼應，學生能夠熟練掌握在全等三角形中解決角度問題的方法，同時學生的邏輯思維能力也得到較大的提升，學生學會了如何從條件入手去分析解決問題，這不僅有利于角度問題的解決，對于其他幾何問題的解決也大有裨益.在以后的教學過程中，注意以不變應萬變的技巧與方法，從特殊到一般的轉化，這樣學生的思維能夠得到充分的擴展.

編輯 韓 曉