“植樹問題”的教學爭議與實踐思考

朱國榮

“植樹問題”是人教版教材四年級下冊第八單元《數學廣角》的教學內容。其第一課時主要研究下面這一問題——“1. 同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？”

在教學例1時，對要研究的問題教師們產生了爭議。有的認為：“全長100米”太長了，學生很難通過畫圖來解決問題，為了降低學生建立數學模型的難度，將“全長100米”改短，再開始研究。也有教師的意見恰好相反，認為“全長100米”還是短了點，造成認知沖突的力度不夠，應將“全長100米”改長。也有教師還是認為“全長100米”較為合適。

確實，將“全長100米”改短，可以降低教與學的難度，有利于學生順利地建立植樹問題的數學模型，這也是超過半數的教師作出這一選擇的重要原因。但是，這樣的改變是否體現了教材編寫意圖？將“全長100米”改短后，是否能完全實現本課時教學目標呢？

教材在例1主題圖下面，還有四幅圖。教學參考書中說得十分明確：教材用四幅圖來呈現學生探索解決問題的討論過程。首先由一個男孩說出學生們可能會想到的答案：“100÷5=20，所以要準備20棵樹苗。”接著一個女孩問：“對嗎？”來引發學生思考。接下來呈現了解決問題常用的方法——從簡單的情況入手解決復雜的問題。這樣就把整個分析、思考、解決問題的全過程展示出來，讓學生經歷這個過程并從中學習一些解決問題的方法和策略。即遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來驗證，并且可以從簡單的事例中發現規律，然后應用找到的規律來解決原來的問題。

細讀教參可以知道，在例1教學時，不但要讓學生建立解決植樹問題的數學模型，還要滲透“化歸思想”。顯然，將“全長100米”改短，教學過程雖然順利，但作為“滲透化歸思想”這一教學目標也蕩然無存了。因此，選擇將“全長100米”改短，不符合教材的編寫意圖，也不利于培養和發展學生解決復雜問題的能力。

進一步思考，我們可以來看人教版六年級下冊第91頁的“數學思考”。如果單從解決問題所需要建立模型的角度分析，這個例題和植樹問題是風馬牛不相及的兩件事。植樹問題的模型建立得再清晰、牢固，都無法遷移到此問題的解決過程中。但如果站在數學思想的高度，我們就能發現這兩個例題中所蘊含的數學思想是完全一致的，即化歸思想。也就是說，可以作這樣的假設，如果在植樹問題教學時，忽視了化歸思想的適時滲透，學生在后續解決類似復雜問題時，就缺失了必要的經驗積累。

在與為數不多，選擇將“全長100米”再加長的教師交流時，發現這些教師普遍意識到在本課教學時滲透化歸思想的重要性，為了凸顯這一教學目標，選擇將全長增加到500米、1000米，甚至更長。當然，將“全長100米”加長后，加深了教與學的復雜程度，對教師的教學能力提出了更高的要求，這就涉及教師專業水平提升的話題了，這里不再贅述。

下面是筆者在教學本課時的教學設計。

教學內容：人教版四下第117頁，例1。

教學設想：

該部分教材共安排了三個例題，兩端都種，兩端都不種，封閉圖形的植樹問題。

在單元教學目標解讀與教材分析的基礎上，我將在不封閉圖形上的植樹問題安排在同一課時中教學。在課堂教學實施中著力想解決好以下兩個問題。

一是讓學生經歷一個“將復雜問題轉化為一個簡單的問題來研究，再運用所發現的規律來解決復雜的問題”的過程。在這個過程中需要關注的問題有：轉化的需要，策略的產生，方法的可行性驗證。

二借助數形結合和一一對應的方法，讓學生理解植樹問題在不同的情境下段數與棵數的不同關系。在這個過程中，需要關注：學生正確表象的建立，段數與棵數的一一對應關系，處理好知其然與知其所以然之間的關系。

教學目標：

1. 借助直觀，使學生理解段數與棵數之間的規律，建立不同情境下植樹問題的數學模型，并能解決相關的實際問題。

2. 滲透化歸的數學思想方法，發展學生解決問題的意識與能力。

教學重點：

使學生理解段數與棵數之間的規律，建立不同情境下植樹問題的數學模型。

教學難點：

滲透化歸的數學思想方法，發展學生解決問題的意識與能力。

教學過程：

一、導入，解讀情境問題

1. 呈現情境：有一條小路，全長500米。同學們在這條小路的一邊植樹（兩端都要栽）。一共需要多少棵樹苗？

2. 引導學生解讀信息，重點理解“全長”“一邊”“兩端”的含義。

3. 引導學生發現缺少重要的信息：兩棵樹之間的間隔。

4. 補充條件——每兩棵樹間隔5米。

二、展開，探索解決問題

1. 請學生獨立思考，并解答。

2. 組織反饋，呈現學生的解答結果。

方法1：500÷5=100（棵）

方法2：500÷5+1=101（棵）

方法3：500÷5+2=102（棵）

方法4：500÷5×2=200（棵）

……

3. 展現學生的思維過程，引發認知沖突。

（1）暴露學生的想法。

師：這么多的方法，你認為哪種方法是正確的？你是怎么想的？

生1：我認為100棵是正確的，因為500÷5求出了一共有100段，一共有100段，就是一共要種100棵。

生2：題目中說“兩端都要栽”，所以要用100加1等于101棵。

生3：“兩端都要栽”應該用100加2等于102棵。

（2）聚焦學生的差異。

師：500÷5求出了一共有100段，這點大家都沒有異議。但在兩端都要栽的情況下，100段到底是栽100棵、101棵，還是102棵，大家還有不同意見。那么，100段到底要栽多少棵樹苗，用什么辦法才能說清楚？

4. 學生探究，數學建模。

（1）提出解決方案并嘗試解決。

生1提出解決方案——畫線段圖。

生2嘗試畫線段圖解決問題，并發現問題：100段太多，畫不下怎么辦？

（2）討論并提出解決策略：可以先少畫幾段，多畫幾次，看看有什么規律？

（3）學生嘗試畫圖，尋找規律，解決問題。

（4）組織反饋：你發現了什么規律？你是怎么做的？（根據學生情況提問：畫了幾段，種幾棵……你發現了什么規律）

（5）總結規律，初步解決問題。

得出棵數比段數多1，從而得知100段應種101棵。

（6）建立模型，深刻理解。

師：100段到底需要多少棵，想象一下這幅線段圖會是怎樣的？

媒體呈現，引導學生感受如下數法：第1段對應第1棵樹，第2段對應第2棵樹……第99段對應第99棵樹，第100段對應第100棵樹，最后還剩下1棵樹。

得出規律：兩端都要栽，棵數=段數+1。

解決問題：一共需要101棵樹苗。

（7）反思拓展，鞏固模型。

師：在什么情況下只需要100棵樹呢？

引導學生想象，描述后媒體呈現，同樣用段數和棵數對應著數的方法加深理解。

得出：一端植，一端不植，一共要100棵。

師：如果兩端都不種呢？你是怎么想的？（媒體呈現，再次感知）

5. 引導回顧：我們剛才是怎樣學習的？重點總結解決復雜問題的思考方法，即遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來驗證，并且可以從簡單的事例中發現規律，然后應用找到的規律來解決原來的問題。

三、解釋，應用數學模型

1. 基本練習：全長200米，隔50米安一座燈，一共要安多少座燈？（三種情況）

2. 應用練習：生活中的“植樹問題”。

（1）空調出風口高27厘米，每隔3厘米安裝一塊擋風板，總共需要幾塊擋風板？

（2）一根木頭長10米，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸完一共要花多少分鐘？

（作者單位：浙江省嘉興教育學院）