緩存知識：創生學生數學思維的重要資源

孟霞

【摘 要】緩存知識是儲存在學生頭腦中處于就緒狀態，可以隨時被提取、隨時被靈活使用的知識。后臺知識是儲存在學生頭腦中處于睡眠狀態，不能被提取或正確提取、使用的知識。在數學教學中，我們應該努力開發緩存知識，激活后臺知識。

【關鍵詞】儲存 內存知識 緩存知識 后臺知識

儲存在學生大腦中的知識類似于電腦中的內存，稱為內存知識。根據內存知識被提取和應用的頻率，要關注兩種存儲形態的數學知識：緩存知識和后臺知識。

一、兩種數學內存知識的內涵詮釋

（一）緩存知識：隨時面臨提取與應用

緩存知識，是儲存在學生大腦中處于就緒狀態，可以隨時被提取、隨時被靈活使用的知識。緩存知識是學生知識儲存的一種積極狀態，對學生記憶、思維、推理等能力的發展，都起到積極的推進作用。按照信息加工學習理論的觀點，知識的表征是通過某種節點組成的網絡來反映的。緩存知識命題網絡的節點，就像通電的燈泡，如果充分被激活，節點與節點之間的聯系，就會好似四通八達的電線，暢通無阻。

如圖，已知正方形的面積是4cm2，求圓的面積。很多學生認為要求圓的面積必須知道圓的半徑或直徑，張石同學卻說：“圓的面積是πr2，正方形的面積是r2，所以圓的面積就是π×4。”

學生能沖破思維定勢的束縛，得益于其大腦中儲存的相關命題節點的跳躍打通、超速鏈接，這就是緩存知識顯現的強大能量。

緩存知識的產生主要有兩個原因：一是學生在學習緩存知識時傾注了深厚的感情，對緩存知識有深刻的理解；二是緩存知識在學生的學習、生活中用途廣泛。

（二）后臺知識：遭遇“冷落”

后臺知識，是儲存在學生的大腦中處于睡眠狀態，不能被提取或正確提取、使用的知識。后臺知識是學生知識儲存的一種消極狀態，它容易阻礙學生對知識的掌握，增加他們的記憶負擔。對于后臺知識，需要編碼、搜索、激活命題網絡結構中的相關節點，打通節點之間的連接，使短時記憶中的信息同長時記憶中已有的知識結合起來。教學中常會出現這種現象：老師提出問題后，學生恨不得把手舉到老師的臉上。可請他回答時，卻支支吾吾，和剛才神采飛揚的他判若兩人。出現這種現象的原因是剛剛進入學生頭腦中的知識還沒有打通連接，是一團死的、處于沉睡狀態的知識。

后臺知識的產生主要有三個原因：一是后臺知識一般比較抽象、枯燥，學生學習時在情感上產生了排斥，沒有理解；二是后臺知識在學生的日常學習、生活中運用不夠廣泛；三是學生缺乏儲存知識的方法，沒有養成儲存知識的習慣。

（三）兩種數學內存知識的聯系和區別

緩存知識和后臺知識還具有相對性和變化性，有些知識在低年級學生大腦中處于沉睡狀態，隨著知識的不斷累積，后臺知識就有可能轉化為緩存知識。如二年級學生剛開始學習乘法口訣時，不理解乘法口訣的意義，記憶不牢，在運用時常常出現錯誤，隨著理解的加深、運用頻率的增加，學生對乘法口訣爛熟于心，這時乘法口訣就實現了由沉睡狀態到緩存狀態的轉化。

如果處于緩存狀態的知識長期得不到應用、鞏固，久而久之也有可能轉化為沉睡狀態的后臺知識。比如，隨著走上工作崗位，生活重心發生轉變，在學生時代掌握熟練、信手拈來的知識就有可能變得生疏，這時緩存知識就轉化成了后臺知識。

（四）兩種數學內存知識的理論基礎

兩種數學內存知識與我們熟知的學習心理學及部分教育家、哲學家的思想有不謀而合之處。

1.信息加工學習理論。信息加工學習理論把記憶看作人腦對輸入的信息進行編碼、存儲和提取的過程，并按信息的編碼、存儲和提取的方式不同，以及信息存儲的時間長短的不同，將記憶分作：瞬時記憶、短時記憶、長時記憶三個系統。記憶的信息加工流程包括四個方面：感覺攝入信息，加工、編碼信息，儲存信息和提取信息。在信息加工過程中，以下四個基本的加工操作發揮著重要的作用：注意、復述、編碼和搜索。緩存知識處于記憶的最高階段——長時記憶，學生學習時，就是經歷“搜索”加工操作過程，即從長時記憶中尋找、提取信息，并將其應用于問題情境。后臺知識則處于信息加工的瞬時記憶、短時記憶階段，這時候的知識還沒有經歷注意、復述、編碼這三個基本的加工操作過程。

2.波利亞的數學思維活動方式表。在波利亞的思維活動方式表中，用一個正方形對應著解決數學問題的過程中特別重要的四種思維活動：識別、重新配置、回憶、充實。在教學過程中，教師應注意動員起更多的知識，在已有的知識與當前的問題之間建立起更多的接觸點，如果這些接觸點建立成功，緩存知識就能被成功提取。那些沒有被動員起來的知識就是后臺知識。

3.波蘭尼的緘默知識論。英國著名物理化學家和思想家波蘭尼認為：顯性知識，就是指通常所說的用書面文字或地圖、數學公式來表達的知識。緘默知識相對于顯性知識來說是不能被系統表述的知識……基于波蘭尼對顯性知識和緘默知識的認識，緩存知識應該既包含顯性知識也包含緘默知識。同樣，后臺知識也是如此。

二、數學教學中開發緩存知識的路徑探尋

緩存知識是提高學生學習效率的重要載體。在數學教學中，應該注意開發緩存知識，激活后臺知識。

（一）挖掘知識本質，構建緩存知識體系

透過數學知識的表面挖掘那些對學生的數學思考、學習起決定性支配作用、能揭示數學知識的基本原理，可以使緩存知識體系得以建構。

1.強化變式訓練，讓知識理解在變化中清晰。讓學生在變式中思維，于變化中弄清楚問題的知識基礎、方法與策略，可以使學生對知識有更準確的理解。

教學蘇教版四下《畫圖的策略》一課時，出示下面兩道題：（1）一塊長方形菜地，長45米，寬32米，由于需要，把它的長增加了13米，寬增加了2米。這塊菜地的面積增加了多少平方米？（2）一塊長方形菜地，如果長增加8米或者寬增加5米，面積都比原來增加80平方米，這塊菜地原來的面積是多少？”

（學生理解題意后，分別畫出了上圖。）

師：都是長、寬增加，畫出的增加部分為什么不一樣呢？

生：第二道題多了一個“或者”，就是長增加的時候寬不增加，寬增加的時候長不增加，所以增加的部分下面是不連接的。

學生在變化的情境中，不但激活了相關的后臺知識——對“或者”一詞的正確理解，還于變化中抓住了事物的本質，即題（2）中的長增加和寬增加是選擇關系。對緩存知識的理解是清晰的。

2.樹立整體意識，讓知識結構在疑問中拓展。課堂臨近結束，教師在組織學生回顧、梳理學習過程的基礎上，應該注意引導學生提出學習中的疑惑，以實現從課內向課外的延伸，使緩存知識結構得以拓展。如教學蘇教版五上《認識公頃》，課尾：

師：你還有什么疑問？

生：有沒有比公頃還大的面積單位呢？

師：有啊，大家可以課下查閱相關資料。

在學生思考的基礎上建構的緩存知識網絡也是開放的，是不斷充實、擴張的。

（二）引導判斷對比，明晰緩存知識結構

教學中要引導學生對數學知識、解題思路進行必要的討論、比較，在判斷中鑒別，在鑒別中更加明晰緩存知識結構。

1.理性等待，讓知識在爭論中深刻。有意識地創設“爭論式”的情境，給學生設置知識擂臺，可以使他們產生認知沖突，在一個個交鋒的回合中，啟迪學生的思維。教學“乘數中間有0的乘法”時，出示“186×204”：

師：你能用豎式計算嗎？

（學生按照乘數中間沒有0的方法板演出豎式。）

師（把豎式中的三個0擦掉）：這樣行嗎？

生1：不行，不符合計算法則。

生2：行，因為0在相加過程中，不影響計算結果，這樣計算起來簡便……

在教師的理性等待中，在與同伴爭論和探索中，學生對學會的新知識印象是最深刻的。

2.適時追問，讓知識在創意中精彩。在教學中，靈活選擇提問策略，著力提出思維含量高、富有開放性的問題，步步逼近知識的本質，把學生的知識“逼”進緩存狀態。區里進行“解決問題”檢測，其中有這樣一道題目：學校有32個籃球，排球的個數是籃球的2倍，足球比排球與籃球的總數少14個，足球有多少個？學生運用常規算法算出結果后，師：還有其他方法嗎？小迪：還可以直接用“32×3-14”，因為“足球比排球與籃球的總數少14個”，而“排球的個數是籃球的2倍”，所以足球比籃球的3倍少14個。創意的想法源于教師的及時跟進和適時追問。

3.討論鑒別，讓知識在比較中凸顯。在不斷比較中，學生建構的緩存知識體系也更趨優化、簡潔。判斷“所有的偶數都是合數”“所有的奇數都是素數”時，生：偶數中只有2不是合數，奇數中1、9、15都不是素數，所以不能說所有的奇數都是素數。師：用自己喜歡的方式整理整理吧！在討論、鑒別中，學生逐漸厘清了知識脈絡。

（三）溝通知識聯系，擴張緩存知識網絡

在新舊知識的銜接處，在承上啟下的過渡處，教師應注重橫向溝通、縱向拓展，讓知識建構成輻射狀態，讓緩存知識的結構不斷擴大。

1.以舊喚新，更新知識體系。教師善于在原有知識的基礎上找準教學的切入點，有利于學生順利地把新知納入到已有的知識系統中，從而使其建構的緩存知識體系更加牢固。

教學蘇教版六下《解決問題的策略——轉化》一課時：

師：我們曾經運用轉化的策略解決過哪些問題？

生：平行四邊形的面積計算公式是轉化成長方形推導出來的。三角形、梯形等圖形的面積計算公式都是運用轉化策略推導出來的。

引導學生把所學圖形、計算中用到轉化策略的知識進行歸類，目的是讓學生從中尋找規律，在以舊引新中不斷接納、更新知識體系。

2.由此及彼，擴張知識網絡。緩存知識的建構鐘情于那些在學習過程中能夠觸類旁通、舉一反三的學生，這樣獲得的知識，不會以簡單的符號形式存在于學生的腦海中。

師：你能根據轉化的策略，用分數表示出圖（指下圖）中陰影部分的面積嗎？

生（采用剪、拼的方法）：我發現圖中陰影部分的面積是■。

及時把發現的轉化策略用于解決“用分數表示陰影部分的面積”的問題，在由此及彼中喚醒了后臺知識，開發了緩存知識。

3.反思梳理，統整零碎知識。反思，不該是蜻蜓點水式的應景，而應是入木三分的深情。其一，撰寫數學小論文，物化思考結果；其二，組織數學日記評比，鼓勵自覺修為。采用一日回顧法、每周一記法、單元梳理法等方法梳理、總結知識，讓零散的知識走向系統。

開發緩存知識，激活后臺知識，發展學生的創新思維，這是教學改革的趨勢，我們應努力讓緩存知識成為創生學生數學思維的重要資源。■

【參考文獻】

[1]吳增強.學習心理輔導[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2]邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角[J].課程·教材·教法，2013（5）：109-115.

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文特等獎

（作者單位：江蘇省連云港市墟溝中心小學）

（學生理解題意后，分別畫出了上圖。）

師：都是長、寬增加，畫出的增加部分為什么不一樣呢？

生：第二道題多了一個“或者”，就是長增加的時候寬不增加，寬增加的時候長不增加，所以增加的部分下面是不連接的。

學生在變化的情境中，不但激活了相關的后臺知識——對“或者”一詞的正確理解，還于變化中抓住了事物的本質，即題（2）中的長增加和寬增加是選擇關系。對緩存知識的理解是清晰的。

2.樹立整體意識，讓知識結構在疑問中拓展。課堂臨近結束，教師在組織學生回顧、梳理學習過程的基礎上，應該注意引導學生提出學習中的疑惑，以實現從課內向課外的延伸，使緩存知識結構得以拓展。如教學蘇教版五上《認識公頃》，課尾：

師：你還有什么疑問？

生：有沒有比公頃還大的面積單位呢？

師：有啊，大家可以課下查閱相關資料。

在學生思考的基礎上建構的緩存知識網絡也是開放的，是不斷充實、擴張的。

（二）引導判斷對比，明晰緩存知識結構

教學中要引導學生對數學知識、解題思路進行必要的討論、比較，在判斷中鑒別，在鑒別中更加明晰緩存知識結構。

1.理性等待，讓知識在爭論中深刻。有意識地創設“爭論式”的情境，給學生設置知識擂臺，可以使他們產生認知沖突，在一個個交鋒的回合中，啟迪學生的思維。教學“乘數中間有0的乘法”時，出示“186×204”：

師：你能用豎式計算嗎？

（學生按照乘數中間沒有0的方法板演出豎式。）

師（把豎式中的三個0擦掉）：這樣行嗎？

生1：不行，不符合計算法則。

生2：行，因為0在相加過程中，不影響計算結果，這樣計算起來簡便……

在教師的理性等待中，在與同伴爭論和探索中，學生對學會的新知識印象是最深刻的。

2.適時追問，讓知識在創意中精彩。在教學中，靈活選擇提問策略，著力提出思維含量高、富有開放性的問題，步步逼近知識的本質，把學生的知識“逼”進緩存狀態。區里進行“解決問題”檢測，其中有這樣一道題目：學校有32個籃球，排球的個數是籃球的2倍，足球比排球與籃球的總數少14個，足球有多少個？學生運用常規算法算出結果后，師：還有其他方法嗎？小迪：還可以直接用“32×3-14”，因為“足球比排球與籃球的總數少14個”，而“排球的個數是籃球的2倍”，所以足球比籃球的3倍少14個。創意的想法源于教師的及時跟進和適時追問。

3.討論鑒別，讓知識在比較中凸顯。在不斷比較中，學生建構的緩存知識體系也更趨優化、簡潔。判斷“所有的偶數都是合數”“所有的奇數都是素數”時，生：偶數中只有2不是合數，奇數中1、9、15都不是素數，所以不能說所有的奇數都是素數。師：用自己喜歡的方式整理整理吧！在討論、鑒別中，學生逐漸厘清了知識脈絡。

（三）溝通知識聯系，擴張緩存知識網絡

在新舊知識的銜接處，在承上啟下的過渡處，教師應注重橫向溝通、縱向拓展，讓知識建構成輻射狀態，讓緩存知識的結構不斷擴大。

1.以舊喚新，更新知識體系。教師善于在原有知識的基礎上找準教學的切入點，有利于學生順利地把新知納入到已有的知識系統中，從而使其建構的緩存知識體系更加牢固。

教學蘇教版六下《解決問題的策略——轉化》一課時：

師：我們曾經運用轉化的策略解決過哪些問題？

生：平行四邊形的面積計算公式是轉化成長方形推導出來的。三角形、梯形等圖形的面積計算公式都是運用轉化策略推導出來的。

引導學生把所學圖形、計算中用到轉化策略的知識進行歸類，目的是讓學生從中尋找規律，在以舊引新中不斷接納、更新知識體系。

2.由此及彼，擴張知識網絡。緩存知識的建構鐘情于那些在學習過程中能夠觸類旁通、舉一反三的學生，這樣獲得的知識，不會以簡單的符號形式存在于學生的腦海中。

師：你能根據轉化的策略，用分數表示出圖（指下圖）中陰影部分的面積嗎？

生（采用剪、拼的方法）：我發現圖中陰影部分的面積是■。

及時把發現的轉化策略用于解決“用分數表示陰影部分的面積”的問題，在由此及彼中喚醒了后臺知識，開發了緩存知識。

3.反思梳理，統整零碎知識。反思，不該是蜻蜓點水式的應景，而應是入木三分的深情。其一，撰寫數學小論文，物化思考結果；其二，組織數學日記評比，鼓勵自覺修為。采用一日回顧法、每周一記法、單元梳理法等方法梳理、總結知識，讓零散的知識走向系統。

開發緩存知識，激活后臺知識，發展學生的創新思維，這是教學改革的趨勢，我們應努力讓緩存知識成為創生學生數學思維的重要資源。■

【參考文獻】

[1]吳增強.學習心理輔導[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2]邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角[J].課程·教材·教法，2013（5）：109-115.

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文特等獎

（作者單位：江蘇省連云港市墟溝中心小學）

（學生理解題意后，分別畫出了上圖。）

師：都是長、寬增加，畫出的增加部分為什么不一樣呢？

生：第二道題多了一個“或者”，就是長增加的時候寬不增加，寬增加的時候長不增加，所以增加的部分下面是不連接的。

學生在變化的情境中，不但激活了相關的后臺知識——對“或者”一詞的正確理解，還于變化中抓住了事物的本質，即題（2）中的長增加和寬增加是選擇關系。對緩存知識的理解是清晰的。

2.樹立整體意識，讓知識結構在疑問中拓展。課堂臨近結束，教師在組織學生回顧、梳理學習過程的基礎上，應該注意引導學生提出學習中的疑惑，以實現從課內向課外的延伸，使緩存知識結構得以拓展。如教學蘇教版五上《認識公頃》，課尾：

師：你還有什么疑問？

生：有沒有比公頃還大的面積單位呢？

師：有啊，大家可以課下查閱相關資料。

在學生思考的基礎上建構的緩存知識網絡也是開放的，是不斷充實、擴張的。

（二）引導判斷對比，明晰緩存知識結構

教學中要引導學生對數學知識、解題思路進行必要的討論、比較，在判斷中鑒別，在鑒別中更加明晰緩存知識結構。

1.理性等待，讓知識在爭論中深刻。有意識地創設“爭論式”的情境，給學生設置知識擂臺，可以使他們產生認知沖突，在一個個交鋒的回合中，啟迪學生的思維。教學“乘數中間有0的乘法”時，出示“186×204”：

師：你能用豎式計算嗎？

（學生按照乘數中間沒有0的方法板演出豎式。）

師（把豎式中的三個0擦掉）：這樣行嗎？

生1：不行，不符合計算法則。

生2：行，因為0在相加過程中，不影響計算結果，這樣計算起來簡便……

在教師的理性等待中，在與同伴爭論和探索中，學生對學會的新知識印象是最深刻的。

2.適時追問，讓知識在創意中精彩。在教學中，靈活選擇提問策略，著力提出思維含量高、富有開放性的問題，步步逼近知識的本質，把學生的知識“逼”進緩存狀態。區里進行“解決問題”檢測，其中有這樣一道題目：學校有32個籃球，排球的個數是籃球的2倍，足球比排球與籃球的總數少14個，足球有多少個？學生運用常規算法算出結果后，師：還有其他方法嗎？小迪：還可以直接用“32×3-14”，因為“足球比排球與籃球的總數少14個”，而“排球的個數是籃球的2倍”，所以足球比籃球的3倍少14個。創意的想法源于教師的及時跟進和適時追問。

3.討論鑒別，讓知識在比較中凸顯。在不斷比較中，學生建構的緩存知識體系也更趨優化、簡潔。判斷“所有的偶數都是合數”“所有的奇數都是素數”時，生：偶數中只有2不是合數，奇數中1、9、15都不是素數，所以不能說所有的奇數都是素數。師：用自己喜歡的方式整理整理吧！在討論、鑒別中，學生逐漸厘清了知識脈絡。

（三）溝通知識聯系，擴張緩存知識網絡

在新舊知識的銜接處，在承上啟下的過渡處，教師應注重橫向溝通、縱向拓展，讓知識建構成輻射狀態，讓緩存知識的結構不斷擴大。

1.以舊喚新，更新知識體系。教師善于在原有知識的基礎上找準教學的切入點，有利于學生順利地把新知納入到已有的知識系統中，從而使其建構的緩存知識體系更加牢固。

教學蘇教版六下《解決問題的策略——轉化》一課時：

師：我們曾經運用轉化的策略解決過哪些問題？

生：平行四邊形的面積計算公式是轉化成長方形推導出來的。三角形、梯形等圖形的面積計算公式都是運用轉化策略推導出來的。

引導學生把所學圖形、計算中用到轉化策略的知識進行歸類，目的是讓學生從中尋找規律，在以舊引新中不斷接納、更新知識體系。

2.由此及彼，擴張知識網絡。緩存知識的建構鐘情于那些在學習過程中能夠觸類旁通、舉一反三的學生，這樣獲得的知識，不會以簡單的符號形式存在于學生的腦海中。

師：你能根據轉化的策略，用分數表示出圖（指下圖）中陰影部分的面積嗎？

生（采用剪、拼的方法）：我發現圖中陰影部分的面積是■。

及時把發現的轉化策略用于解決“用分數表示陰影部分的面積”的問題，在由此及彼中喚醒了后臺知識，開發了緩存知識。

3.反思梳理，統整零碎知識。反思，不該是蜻蜓點水式的應景，而應是入木三分的深情。其一，撰寫數學小論文，物化思考結果；其二，組織數學日記評比，鼓勵自覺修為。采用一日回顧法、每周一記法、單元梳理法等方法梳理、總結知識，讓零散的知識走向系統。

開發緩存知識，激活后臺知識，發展學生的創新思維，這是教學改革的趨勢，我們應努力讓緩存知識成為創生學生數學思維的重要資源。■

【參考文獻】

[1]吳增強.學習心理輔導[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2]邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角[J].課程·教材·教法，2013（5）：109-115.

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文特等獎

（作者單位：江蘇省連云港市墟溝中心小學）