備學：“智趣數學”的源頭活水

單廣紅

所謂備學，就是學生明確了將要學習的內容后，獨立回顧與所學內容相關的知識經驗、生活經驗和思維經驗，并發現經驗與新知的沖突，提出3個以上的問題，為學習新知識做好準備的活動。人本主義心理學強調人的價值和尊嚴，認為人的成長源于個體自我實現的需要，是人格形成和逐漸成熟的驅動力。備學是“智趣數學”的源頭活水，催生了學生的內驅力，能使學生在實現自我需要的過程中獲得智慧、體驗樂趣。因此，在學習新知前，教師要以學生的認知發展水平和已有經驗為基礎設計3～4個開放性的問題激活他們的學習經驗，引導他們更好地備學。

一、在開放的備學記錄中呈現“智趣”資源

在備學過程中，因學生個體經驗存在差異，會呈現出豐富多樣的學習資源。備學有別于“先學”，和“預習”也有著本質的區別。“先學”和“預習”都屬于以教為中心的前置性學習，相當于課堂學習的課前演練。而備學是以學為中心的前置性學習，“備學引導問題”類似于“大問題教學”，但“大問題教學”明確是對新學內容提出的，鼓勵學生進行“再創造”，仍局限在所學的新內容里。而備學的內容是在新學內容之外。備學過程除了具有復習、鞏固、應用的功能外，還可以使學生的思維空間更開放，自主激活其已有經驗，有時會自然生成即將學習的內容，使課堂學習實現無痕對接；有時也會呈現預設之外的有趣資源，在課堂中形成另一片風景。

如在《比的意義》一課中設計了這樣一個問題：“生活中你在哪里遇到或聽到過‘比？舉一些例子。”學生的備學作業很豐富，按自己的經驗寫出了他們心目中的“比”：

生A：足球比賽時，美國隊與中國隊的比是1比0。

生B：媽媽買衣服時逛了好幾家店，比一比誰家的便宜就在誰家買。

生C：五年級競選班長時，用投票方式，比比誰的票數多。

生D：我在洗衣液瓶子上發現了“比”。

學生的記錄折射出他們在學習前對“比”懵懂的認知，與“比”的意義存在差異。這些真實的想法正好給課堂學習提供了“智趣”資源。在課堂上可以借助于這些寶貴的資源，引導學生進行探究比較：新知中的“比”表示兩數的相除關系，是“倍比”；比賽中的“比”表示兩數的相差關系，是“差比”。通過對比辨析，學生會重新調整認知，在腦中形成鮮明的印象。

二、在主動的備學困惑中生成“智趣”問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》總目標中重大的變化之一是“兩能”變“四能”。即在原來關注“分析問題”與“解決問題”的能力的基礎上，新增了“發現問題”和“提出問題”的能力。備學正好為學生發現問題和提出問題創造了機會，提供了展示潛能的最佳平臺。教師為學生設計“備學引導問題”時，要考慮：所學新知是建立在哪些學習經驗基礎之上的？操作活動需要做哪些準備？引導學生回顧已有經驗，初步鏈接新知，自主表達在備學過程中發現的思維沖突或遇到的困惑。如《比的基本性質》一課設計了3個備學任務：

1.回顧：什么是“商不變的性質”和“分數的基本性質”？各舉3個例子。

2.根據比、除法與分數三者之間的關系，嘗試推想“比的基本性質”是什么。

3.寫出嘗試過程中的3條發現，并提出3個困惑，在小組中討論。

學生在備學時主動回顧、溝通了知識間的聯系，如“3∶5=3÷5=■”，“比”的前項相當于除法中的被除數和分數中的分子，“比號”相當于除法中的除號和分數中的分數線，“比”的后項相當于除法中的除數和分數中的分母。在此基礎上，學生通過知識遷移很快就能類推出“比的基本性質”——比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。學生在暢所欲言之后，也提出了自己的困惑，如：

生A：“比”的前后兩個數可以調換位置嗎？

生B：比賽中，運用“比的基本性質”會影響比分嗎？

生C：如果3個數相比，可以用“比的基本性質”同時擴大或縮小嗎？

生D：“比”的約分叫什么？

生E：“比”的前項和后項同時加或減去同一個數，比值會怎么樣？

備學過程中生成的這些有趣的問題，說明學生進行了深刻的思考，不僅為教師提供了設計教學方案的依據，還有效培養了學生發現問題和提出問題的能力。這些困惑正需要教師幫助他們去澄清，教師要一改傳統中“講壇上圣人”的霸主地位，做一個“指路人”。如教師可以舉例說明：“比”很講究“對應”，前項和后項不能交換位置；三個數的“比”叫“連比”，和兩個數的“比”具有相同的性質；“比”的約分叫“化簡比”。學生有了安全的心理環境，才會勇于提問、敢于創新。

三、在民主的備學中分享豐富“智趣”成果

要使學生的個性在開放的備學過程中得到張揚，為他們提供展示備學成果的機會是一個有效的路徑。在交流中，展示者充分體驗成功的快樂，傾聽者分享同伴的個性化思考。充滿個性色彩的備學成果，在交流分享中匯聚成了豐富的資源場。“枯燥”的數學學習會變得生動有趣又充滿個性和智慧。

如在《長方體與正方體的認識》一課中，讓學生“用自己的方式做一個長方體或正方體”。有的學生用透明膠帶固定吸管做成了長方體和正方體，因與大家不同，展示時竟引起哄堂大笑。我抓住契機引導學生：“這樣沒有面只有棱的也是長方體，叫長方體框架。”這么形象的模型資源為求長方體的棱長總和提供了實物素材。該學生順勢把框架按“長、寬、高”為一組拆解開來，正好拆成4組，既形象地解讀了“相交于同一頂點的三條棱分別叫做長、寬、高”的意思，又直觀地演示了“長方體棱長總和=（長+寬+高）×4”的道理。有的學生用3組不同的顏色做成了長方體的6個面，凸顯了長方體相對的面完全相同的特征，為后續長方體表面積的學習積累了感性經驗。無論是用哪種方式做出的模型，在民主交流中，學生都從不同層面進行了展示和分享，傾聽者的個體認知都得到了互補，認知模塊都逐步得到了自我完善。

《學記》中這樣闡述教與學的相互關系：“是故，學然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自強也。故曰教學相長也。”其本意是師生之間相互促進。但在備學活動中，可以重新詮釋“教學相長”的含義：師生、生生之間互相促進、共同提高。“備學思考”可以看成學生“學”的行為，“展示分享”可以看成學生“教”的行為。師生、生生在這樣的和諧氛圍中共同成長。

經過備學，學生學習新知識后不僅僅建構了知識結構，同時建構了技能結構、情意結構、智能結構和觀念結構。朱熹《觀書有感》云：“半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊。問渠那得清如許？為有源頭活水來。”備學，學生帶著問題走進課堂，又帶著新的問題走出課堂，小小的課堂正如那“半畝方塘”，讓個性思考匯積成“智趣數學”的源頭活水！

【參考文獻】

[1]吳飛，孫志滿，程光龍.和易以“學”——走進“五學”課堂教學模式[M].廈門：廈門大學出版社，2012.

[2]龐舒勤，趙慶林.兒童研究：行走在“教與學”的中間地帶[J].江蘇教育（小學教學），2013（10）：11-14.

（作者單位：江蘇省淮安市新民路小學）

所謂備學，就是學生明確了將要學習的內容后，獨立回顧與所學內容相關的知識經驗、生活經驗和思維經驗，并發現經驗與新知的沖突，提出3個以上的問題，為學習新知識做好準備的活動。人本主義心理學強調人的價值和尊嚴，認為人的成長源于個體自我實現的需要，是人格形成和逐漸成熟的驅動力。備學是“智趣數學”的源頭活水，催生了學生的內驅力，能使學生在實現自我需要的過程中獲得智慧、體驗樂趣。因此，在學習新知前，教師要以學生的認知發展水平和已有經驗為基礎設計3～4個開放性的問題激活他們的學習經驗，引導他們更好地備學。

一、在開放的備學記錄中呈現“智趣”資源

在備學過程中，因學生個體經驗存在差異，會呈現出豐富多樣的學習資源。備學有別于“先學”，和“預習”也有著本質的區別。“先學”和“預習”都屬于以教為中心的前置性學習，相當于課堂學習的課前演練。而備學是以學為中心的前置性學習，“備學引導問題”類似于“大問題教學”，但“大問題教學”明確是對新學內容提出的，鼓勵學生進行“再創造”，仍局限在所學的新內容里。而備學的內容是在新學內容之外。備學過程除了具有復習、鞏固、應用的功能外，還可以使學生的思維空間更開放，自主激活其已有經驗，有時會自然生成即將學習的內容，使課堂學習實現無痕對接；有時也會呈現預設之外的有趣資源，在課堂中形成另一片風景。

如在《比的意義》一課中設計了這樣一個問題：“生活中你在哪里遇到或聽到過‘比？舉一些例子。”學生的備學作業很豐富，按自己的經驗寫出了他們心目中的“比”：

生A：足球比賽時，美國隊與中國隊的比是1比0。

生B：媽媽買衣服時逛了好幾家店，比一比誰家的便宜就在誰家買。

生C：五年級競選班長時，用投票方式，比比誰的票數多。

生D：我在洗衣液瓶子上發現了“比”。

學生的記錄折射出他們在學習前對“比”懵懂的認知，與“比”的意義存在差異。這些真實的想法正好給課堂學習提供了“智趣”資源。在課堂上可以借助于這些寶貴的資源，引導學生進行探究比較：新知中的“比”表示兩數的相除關系，是“倍比”；比賽中的“比”表示兩數的相差關系，是“差比”。通過對比辨析，學生會重新調整認知，在腦中形成鮮明的印象。

二、在主動的備學困惑中生成“智趣”問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》總目標中重大的變化之一是“兩能”變“四能”。即在原來關注“分析問題”與“解決問題”的能力的基礎上，新增了“發現問題”和“提出問題”的能力。備學正好為學生發現問題和提出問題創造了機會，提供了展示潛能的最佳平臺。教師為學生設計“備學引導問題”時，要考慮：所學新知是建立在哪些學習經驗基礎之上的？操作活動需要做哪些準備？引導學生回顧已有經驗，初步鏈接新知，自主表達在備學過程中發現的思維沖突或遇到的困惑。如《比的基本性質》一課設計了3個備學任務：

1.回顧：什么是“商不變的性質”和“分數的基本性質”？各舉3個例子。

2.根據比、除法與分數三者之間的關系，嘗試推想“比的基本性質”是什么。

3.寫出嘗試過程中的3條發現，并提出3個困惑，在小組中討論。

學生在備學時主動回顧、溝通了知識間的聯系，如“3∶5=3÷5=■”，“比”的前項相當于除法中的被除數和分數中的分子，“比號”相當于除法中的除號和分數中的分數線，“比”的后項相當于除法中的除數和分數中的分母。在此基礎上，學生通過知識遷移很快就能類推出“比的基本性質”——比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。學生在暢所欲言之后，也提出了自己的困惑，如：

生A：“比”的前后兩個數可以調換位置嗎？

生B：比賽中，運用“比的基本性質”會影響比分嗎？

生C：如果3個數相比，可以用“比的基本性質”同時擴大或縮小嗎？

生D：“比”的約分叫什么？

生E：“比”的前項和后項同時加或減去同一個數，比值會怎么樣？

備學過程中生成的這些有趣的問題，說明學生進行了深刻的思考，不僅為教師提供了設計教學方案的依據，還有效培養了學生發現問題和提出問題的能力。這些困惑正需要教師幫助他們去澄清，教師要一改傳統中“講壇上圣人”的霸主地位，做一個“指路人”。如教師可以舉例說明：“比”很講究“對應”，前項和后項不能交換位置；三個數的“比”叫“連比”，和兩個數的“比”具有相同的性質；“比”的約分叫“化簡比”。學生有了安全的心理環境，才會勇于提問、敢于創新。

三、在民主的備學中分享豐富“智趣”成果

要使學生的個性在開放的備學過程中得到張揚，為他們提供展示備學成果的機會是一個有效的路徑。在交流中，展示者充分體驗成功的快樂，傾聽者分享同伴的個性化思考。充滿個性色彩的備學成果，在交流分享中匯聚成了豐富的資源場。“枯燥”的數學學習會變得生動有趣又充滿個性和智慧。

如在《長方體與正方體的認識》一課中，讓學生“用自己的方式做一個長方體或正方體”。有的學生用透明膠帶固定吸管做成了長方體和正方體，因與大家不同，展示時竟引起哄堂大笑。我抓住契機引導學生：“這樣沒有面只有棱的也是長方體，叫長方體框架。”這么形象的模型資源為求長方體的棱長總和提供了實物素材。該學生順勢把框架按“長、寬、高”為一組拆解開來，正好拆成4組，既形象地解讀了“相交于同一頂點的三條棱分別叫做長、寬、高”的意思，又直觀地演示了“長方體棱長總和=（長+寬+高）×4”的道理。有的學生用3組不同的顏色做成了長方體的6個面，凸顯了長方體相對的面完全相同的特征，為后續長方體表面積的學習積累了感性經驗。無論是用哪種方式做出的模型，在民主交流中，學生都從不同層面進行了展示和分享，傾聽者的個體認知都得到了互補，認知模塊都逐步得到了自我完善。

《學記》中這樣闡述教與學的相互關系：“是故，學然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自強也。故曰教學相長也。”其本意是師生之間相互促進。但在備學活動中，可以重新詮釋“教學相長”的含義：師生、生生之間互相促進、共同提高。“備學思考”可以看成學生“學”的行為，“展示分享”可以看成學生“教”的行為。師生、生生在這樣的和諧氛圍中共同成長。

經過備學，學生學習新知識后不僅僅建構了知識結構，同時建構了技能結構、情意結構、智能結構和觀念結構。朱熹《觀書有感》云：“半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊。問渠那得清如許？為有源頭活水來。”備學，學生帶著問題走進課堂，又帶著新的問題走出課堂，小小的課堂正如那“半畝方塘”，讓個性思考匯積成“智趣數學”的源頭活水！

【參考文獻】

[1]吳飛，孫志滿，程光龍.和易以“學”——走進“五學”課堂教學模式[M].廈門：廈門大學出版社，2012.

[2]龐舒勤，趙慶林.兒童研究：行走在“教與學”的中間地帶[J].江蘇教育（小學教學），2013（10）：11-14.

（作者單位：江蘇省淮安市新民路小學）

所謂備學，就是學生明確了將要學習的內容后，獨立回顧與所學內容相關的知識經驗、生活經驗和思維經驗，并發現經驗與新知的沖突，提出3個以上的問題，為學習新知識做好準備的活動。人本主義心理學強調人的價值和尊嚴，認為人的成長源于個體自我實現的需要，是人格形成和逐漸成熟的驅動力。備學是“智趣數學”的源頭活水，催生了學生的內驅力，能使學生在實現自我需要的過程中獲得智慧、體驗樂趣。因此，在學習新知前，教師要以學生的認知發展水平和已有經驗為基礎設計3～4個開放性的問題激活他們的學習經驗，引導他們更好地備學。

一、在開放的備學記錄中呈現“智趣”資源

在備學過程中，因學生個體經驗存在差異，會呈現出豐富多樣的學習資源。備學有別于“先學”，和“預習”也有著本質的區別。“先學”和“預習”都屬于以教為中心的前置性學習，相當于課堂學習的課前演練。而備學是以學為中心的前置性學習，“備學引導問題”類似于“大問題教學”，但“大問題教學”明確是對新學內容提出的，鼓勵學生進行“再創造”，仍局限在所學的新內容里。而備學的內容是在新學內容之外。備學過程除了具有復習、鞏固、應用的功能外，還可以使學生的思維空間更開放，自主激活其已有經驗，有時會自然生成即將學習的內容，使課堂學習實現無痕對接；有時也會呈現預設之外的有趣資源，在課堂中形成另一片風景。

如在《比的意義》一課中設計了這樣一個問題：“生活中你在哪里遇到或聽到過‘比？舉一些例子。”學生的備學作業很豐富，按自己的經驗寫出了他們心目中的“比”：

生A：足球比賽時，美國隊與中國隊的比是1比0。

生B：媽媽買衣服時逛了好幾家店，比一比誰家的便宜就在誰家買。

生C：五年級競選班長時，用投票方式，比比誰的票數多。

生D：我在洗衣液瓶子上發現了“比”。

學生的記錄折射出他們在學習前對“比”懵懂的認知，與“比”的意義存在差異。這些真實的想法正好給課堂學習提供了“智趣”資源。在課堂上可以借助于這些寶貴的資源，引導學生進行探究比較：新知中的“比”表示兩數的相除關系，是“倍比”；比賽中的“比”表示兩數的相差關系，是“差比”。通過對比辨析，學生會重新調整認知，在腦中形成鮮明的印象。

二、在主動的備學困惑中生成“智趣”問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》總目標中重大的變化之一是“兩能”變“四能”。即在原來關注“分析問題”與“解決問題”的能力的基礎上，新增了“發現問題”和“提出問題”的能力。備學正好為學生發現問題和提出問題創造了機會，提供了展示潛能的最佳平臺。教師為學生設計“備學引導問題”時，要考慮：所學新知是建立在哪些學習經驗基礎之上的？操作活動需要做哪些準備？引導學生回顧已有經驗，初步鏈接新知，自主表達在備學過程中發現的思維沖突或遇到的困惑。如《比的基本性質》一課設計了3個備學任務：

1.回顧：什么是“商不變的性質”和“分數的基本性質”？各舉3個例子。

2.根據比、除法與分數三者之間的關系，嘗試推想“比的基本性質”是什么。

3.寫出嘗試過程中的3條發現，并提出3個困惑，在小組中討論。

學生在備學時主動回顧、溝通了知識間的聯系，如“3∶5=3÷5=■”，“比”的前項相當于除法中的被除數和分數中的分子，“比號”相當于除法中的除號和分數中的分數線，“比”的后項相當于除法中的除數和分數中的分母。在此基礎上，學生通過知識遷移很快就能類推出“比的基本性質”——比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。學生在暢所欲言之后，也提出了自己的困惑，如：

生A：“比”的前后兩個數可以調換位置嗎？

生B：比賽中，運用“比的基本性質”會影響比分嗎？

生C：如果3個數相比，可以用“比的基本性質”同時擴大或縮小嗎？

生D：“比”的約分叫什么？

生E：“比”的前項和后項同時加或減去同一個數，比值會怎么樣？

備學過程中生成的這些有趣的問題，說明學生進行了深刻的思考，不僅為教師提供了設計教學方案的依據，還有效培養了學生發現問題和提出問題的能力。這些困惑正需要教師幫助他們去澄清，教師要一改傳統中“講壇上圣人”的霸主地位，做一個“指路人”。如教師可以舉例說明：“比”很講究“對應”，前項和后項不能交換位置；三個數的“比”叫“連比”，和兩個數的“比”具有相同的性質；“比”的約分叫“化簡比”。學生有了安全的心理環境，才會勇于提問、敢于創新。

三、在民主的備學中分享豐富“智趣”成果

要使學生的個性在開放的備學過程中得到張揚，為他們提供展示備學成果的機會是一個有效的路徑。在交流中，展示者充分體驗成功的快樂，傾聽者分享同伴的個性化思考。充滿個性色彩的備學成果，在交流分享中匯聚成了豐富的資源場。“枯燥”的數學學習會變得生動有趣又充滿個性和智慧。

如在《長方體與正方體的認識》一課中，讓學生“用自己的方式做一個長方體或正方體”。有的學生用透明膠帶固定吸管做成了長方體和正方體，因與大家不同，展示時竟引起哄堂大笑。我抓住契機引導學生：“這樣沒有面只有棱的也是長方體，叫長方體框架。”這么形象的模型資源為求長方體的棱長總和提供了實物素材。該學生順勢把框架按“長、寬、高”為一組拆解開來，正好拆成4組，既形象地解讀了“相交于同一頂點的三條棱分別叫做長、寬、高”的意思，又直觀地演示了“長方體棱長總和=（長+寬+高）×4”的道理。有的學生用3組不同的顏色做成了長方體的6個面，凸顯了長方體相對的面完全相同的特征，為后續長方體表面積的學習積累了感性經驗。無論是用哪種方式做出的模型，在民主交流中，學生都從不同層面進行了展示和分享，傾聽者的個體認知都得到了互補，認知模塊都逐步得到了自我完善。

《學記》中這樣闡述教與學的相互關系：“是故，學然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自強也。故曰教學相長也。”其本意是師生之間相互促進。但在備學活動中，可以重新詮釋“教學相長”的含義：師生、生生之間互相促進、共同提高。“備學思考”可以看成學生“學”的行為，“展示分享”可以看成學生“教”的行為。師生、生生在這樣的和諧氛圍中共同成長。

經過備學，學生學習新知識后不僅僅建構了知識結構，同時建構了技能結構、情意結構、智能結構和觀念結構。朱熹《觀書有感》云：“半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊。問渠那得清如許？為有源頭活水來。”備學，學生帶著問題走進課堂，又帶著新的問題走出課堂，小小的課堂正如那“半畝方塘”，讓個性思考匯積成“智趣數學”的源頭活水！

【參考文獻】

[1]吳飛，孫志滿，程光龍.和易以“學”——走進“五學”課堂教學模式[M].廈門：廈門大學出版社，2012.

[2]龐舒勤，趙慶林.兒童研究：行走在“教與學”的中間地帶[J].江蘇教育（小學教學），2013（10）：11-14.

（作者單位：江蘇省淮安市新民路小學）