從“數學的問題”走向“數學地思維”

葉曉萍

“探索與實踐”是蘇教版小學數學高年級段教材的重要“練習板塊”。在實際教學中，這樣的特色“板塊”往往被教師按部就班地靜態呈現，或是當作普通習題處理，或是輕輕跳過淡化處理，它的編排意圖、思維含量卻少有人深究，“探索與實踐”教學僅成為學生鞏固知識、掌握技能的手段，讓學生“學會數學地思維”沒有得到應有的重視與支持。如何發揮“探索與實踐”這個板塊優勢，讓其更有教學意義與價值深度？筆者結合蘇教版小學數學五年級上冊第二單元整理復習中“探索與實踐”第10題的教學實際，談談自己的實踐與思考。

一、形象到抽象：把握問題背后的“出發點”

從“基于兒童”的立場看，我們不難把握問題的出發點——幫助兒童學會“數學地思維”，引導學生進行再學習、再思考、再聯系、再發現。教材呈現的靜態問題“用什么方法算出這堆鋼管一共有多少根？”其教學價值指向何處？從淺層次看是計算多邊形面積，鞏固所學知識；從深層次看則是建構知識關聯、加強邏輯推理，體驗和感悟問題解決過程中涉及的數學思想方法。因此，教師的課堂任務就要引導學生獨立面對問題，進行信息收集與處理，基于現實問題從形象走向抽象，并自覺地展開思維訓練。

師：閱讀題目，你了解到了什么？

生：最上層有9根，最下層有16根，共8層。

師：再仔細觀察，你還發現了什么？

生：堆起來的鋼管從側面看，形狀是梯形。

生：每一層都比上一層多1根。

師：每一層各是多少根？（根據學生的回答板書：9、10、11、12、13、14、15、16）

生：求一共有多少根鋼管，就是求9+10+11+12+13+14+15+16的和是多少。

信息收集與分析能力是重要的思維能力。教學過程中，不少數學老師總喜歡幫助學生設計好思維的方向、方法與程序，課堂似乎思維順暢，實際則是用老師的思考代替學生的思考。久而久之，容易造成學生的思維惰性。教師要重視學生搜集信息、獨立思考、解決問題能力的培養，充分依托教材提供的學習素材，引導學生有條理地梳理題目中的文字或圖形信息。本題可以根據“這堆鋼管側面的形狀是梯形”和“每兩層之間相差1根”，依次列舉出每一層鋼管的根數，從形象到抽象，進行一次思維梳理，自主捕捉問題解決的本質：求9+10+11+12+13+14+15+16的和，并為探究發現兩種算法之間的聯系提供經驗基礎。

二、經歷到經驗：把握知識意義的“聯接點”

經驗能影響思維的形成與發展。經歷在“行”，經驗在“心”。經驗不能從外部輸入，或由別人替代，需要學生通過自身親歷觀察、操作、想象、模擬、描述、分析、判斷、推理等活動，不斷積累基本活動經驗，形成比較深刻的意義“聯接”，對提升概念認知、理清數量關系、自主構建知識體系等具有積極意義。

師：根據經驗，你準備采用什么方法進行計算呢？

生：把每一層的鋼管全部加起來是：9+10+11+12+13+14+15+16=100。

生：可以利用梯形的面積公式計算，（9+16）×8÷2，也等于100。

師：你是怎樣想的？

生：因為鋼管側面的形狀是梯形。

生：可以把一根根鋼管想象成一個個小方塊，求鋼管的根數就是求小方塊的個數。

生：用兩堆完全一樣的鋼管拼起來，從側面看就是一個平行四邊形，每一層都有25根，有這樣的8層，25×8的一半就是這堆鋼管的根數。

表面上，大多數學生除用加法計算之外，會想到用梯形的面積公式來計算這堆鋼管根數，但想法是否正確還有待證明。因此，教師最重要的是要引導學生跳出“估計可以”的猜想來解決問題，能基于現實經驗進行數學思考和以動作思維為特點的操作體驗，以此印證自己想法的合理性與準確性，真正有意義地領會其中的規律，豐潤自己的思維認知。

三、感受到感悟：把握思想方法的“固著點”

數學教學沒有了數學思想方法的支撐，就會失去數學教學的“固著點”。因而，教師應特別注重探索與實踐活動中的思想滲透，通過比較、聯系、感悟等體驗活動，擺脫知識技能等形式層面的束縛，挖掘浸潤于顯性知識中的基本數學思想方法，升華探索與實踐的思維活動，感悟思想方法的意義內涵，有效發展學生的數學思維能力。

師：比較9+10+11+12+13+14+15+16和（9+16）×8÷2，你們有什么發現？

生：（9+16）×8÷2，就是把加法中第一個9和最后一個16相加得25，10+15，11+14，12+13，每組和都是25，一共有8÷2=4（組）。

教師板書：

生：只要是幾個連續自然數相加，都可以用第一個數加上最后一個數的和，乘上個數，再除以2。

生：9+10+11+12+13+14+15+16像梯形的腰一樣慢慢變粗，也能用梯形面積公式求和。

生：求一堆鋼管有多少根，可以根據它的側面圖形面積計算公式計算。

師：如果繼續按這樣的規律一層層往上堆鋼管，最上面一層為1根，新堆成的鋼管堆側面是什么圖形？有幾層？共有多少鋼管？

生：新增加的鋼管堆側面是三角形，有8層，可以用“8×8÷2=32”計算。

師：有沒有不同意見？

生：這個側面看起來像三角形，其實還是一個梯形。應該用“（1+8）×8÷2=36”計算。

生：從1連加到8和是36，不是32。

生：我用兩堆完全一樣的鋼管拼起來，從側面看就是一個平行四邊形，每一層都有8+1=9（根），9×8的一半就是36根。

通過比較兩個算式，巧妙利用兩種方法的外在差異與內在聯系，展開直觀思辨，符合學情與思維規律。對應、化歸、建模等思想方法不經意間自然流露，讓學生自覺拋去圖形束縛，自由探究知識本質。

四、生成到生長：把握思維拓展的“發散點”

我們的探究不能止步于知識規律的揭示和思想方法的觸摸，而是要基于學生已有和現有經驗（認識、思想、方法等）作為新的拓展起點，通過舉一反三、變式求異等發散性的“再思考”，引發學生更全面、多向、深層地探究嘗試與思維拓展，達成從經驗生成到思維生長的升華，促進思維的深度與廣度。

（出示一堆依次按2、4、6、8、10根擺放的鋼管）算一算：還能用梯形的面積公式來計算嗎？想一想：這些鋼管的堆放和剛才的比較有什么共同特點？

生：雖然每兩層之間相差2根了，但側面形狀還是梯形，可以用梯形的面積公式計算鋼管的根數。不管是2+4+6+8+10，還是（2+10）×5÷2，計算結果都是30。

生：從側面看，這些鋼管在堆放上的共同特點是都堆成了梯形。

生：同一堆鋼管中每兩層之間的差不變，可以用梯形的面積公式計算根數。

師：你能自己設計一堆符合這種條件的不同類型的鋼管，用簡便方法求出結果嗎？

生：3+6+9+12+15+18……

師小結：（結合介紹高斯求和故事）通過剛才的探索與研究可以看出，只要我們勇于探究和善于思考，就會獲得像數學家高斯一樣的眼光與成果。

從特殊到一般、一般到特殊，老師將習題不斷地變化衍生，設計出一個個富有啟發性的“再生問題”，引發學生不斷地“碰撞”與“驗證”，從形象到抽象，從經歷到經驗，從感受到感悟，從生成到生長，層層轉換，環環提升，必將引領學生走向學會“數學地思維”的佳境深處。■

（作者單位：江蘇省宜興市陽羨小學）

“探索與實踐”是蘇教版小學數學高年級段教材的重要“練習板塊”。在實際教學中，這樣的特色“板塊”往往被教師按部就班地靜態呈現，或是當作普通習題處理，或是輕輕跳過淡化處理，它的編排意圖、思維含量卻少有人深究，“探索與實踐”教學僅成為學生鞏固知識、掌握技能的手段，讓學生“學會數學地思維”沒有得到應有的重視與支持。如何發揮“探索與實踐”這個板塊優勢，讓其更有教學意義與價值深度？筆者結合蘇教版小學數學五年級上冊第二單元整理復習中“探索與實踐”第10題的教學實際，談談自己的實踐與思考。

一、形象到抽象：把握問題背后的“出發點”

從“基于兒童”的立場看，我們不難把握問題的出發點——幫助兒童學會“數學地思維”，引導學生進行再學習、再思考、再聯系、再發現。教材呈現的靜態問題“用什么方法算出這堆鋼管一共有多少根？”其教學價值指向何處？從淺層次看是計算多邊形面積，鞏固所學知識；從深層次看則是建構知識關聯、加強邏輯推理，體驗和感悟問題解決過程中涉及的數學思想方法。因此，教師的課堂任務就要引導學生獨立面對問題，進行信息收集與處理，基于現實問題從形象走向抽象，并自覺地展開思維訓練。

師：閱讀題目，你了解到了什么？

生：最上層有9根，最下層有16根，共8層。

師：再仔細觀察，你還發現了什么？

生：堆起來的鋼管從側面看，形狀是梯形。

生：每一層都比上一層多1根。

師：每一層各是多少根？（根據學生的回答板書：9、10、11、12、13、14、15、16）

生：求一共有多少根鋼管，就是求9+10+11+12+13+14+15+16的和是多少。

信息收集與分析能力是重要的思維能力。教學過程中，不少數學老師總喜歡幫助學生設計好思維的方向、方法與程序，課堂似乎思維順暢，實際則是用老師的思考代替學生的思考。久而久之，容易造成學生的思維惰性。教師要重視學生搜集信息、獨立思考、解決問題能力的培養，充分依托教材提供的學習素材，引導學生有條理地梳理題目中的文字或圖形信息。本題可以根據“這堆鋼管側面的形狀是梯形”和“每兩層之間相差1根”，依次列舉出每一層鋼管的根數，從形象到抽象，進行一次思維梳理，自主捕捉問題解決的本質：求9+10+11+12+13+14+15+16的和，并為探究發現兩種算法之間的聯系提供經驗基礎。

二、經歷到經驗：把握知識意義的“聯接點”

經驗能影響思維的形成與發展。經歷在“行”，經驗在“心”。經驗不能從外部輸入，或由別人替代，需要學生通過自身親歷觀察、操作、想象、模擬、描述、分析、判斷、推理等活動，不斷積累基本活動經驗，形成比較深刻的意義“聯接”，對提升概念認知、理清數量關系、自主構建知識體系等具有積極意義。

師：根據經驗，你準備采用什么方法進行計算呢？

生：把每一層的鋼管全部加起來是：9+10+11+12+13+14+15+16=100。

生：可以利用梯形的面積公式計算，（9+16）×8÷2，也等于100。

師：你是怎樣想的？

生：因為鋼管側面的形狀是梯形。

生：可以把一根根鋼管想象成一個個小方塊，求鋼管的根數就是求小方塊的個數。

生：用兩堆完全一樣的鋼管拼起來，從側面看就是一個平行四邊形，每一層都有25根，有這樣的8層，25×8的一半就是這堆鋼管的根數。

表面上，大多數學生除用加法計算之外，會想到用梯形的面積公式來計算這堆鋼管根數，但想法是否正確還有待證明。因此，教師最重要的是要引導學生跳出“估計可以”的猜想來解決問題，能基于現實經驗進行數學思考和以動作思維為特點的操作體驗，以此印證自己想法的合理性與準確性，真正有意義地領會其中的規律，豐潤自己的思維認知。

三、感受到感悟：把握思想方法的“固著點”

數學教學沒有了數學思想方法的支撐，就會失去數學教學的“固著點”。因而，教師應特別注重探索與實踐活動中的思想滲透，通過比較、聯系、感悟等體驗活動，擺脫知識技能等形式層面的束縛，挖掘浸潤于顯性知識中的基本數學思想方法，升華探索與實踐的思維活動，感悟思想方法的意義內涵，有效發展學生的數學思維能力。

師：比較9+10+11+12+13+14+15+16和（9+16）×8÷2，你們有什么發現？

生：（9+16）×8÷2，就是把加法中第一個9和最后一個16相加得25，10+15，11+14，12+13，每組和都是25，一共有8÷2=4（組）。

教師板書：

生：只要是幾個連續自然數相加，都可以用第一個數加上最后一個數的和，乘上個數，再除以2。

生：9+10+11+12+13+14+15+16像梯形的腰一樣慢慢變粗，也能用梯形面積公式求和。

生：求一堆鋼管有多少根，可以根據它的側面圖形面積計算公式計算。

師：如果繼續按這樣的規律一層層往上堆鋼管，最上面一層為1根，新堆成的鋼管堆側面是什么圖形？有幾層？共有多少鋼管？

生：新增加的鋼管堆側面是三角形，有8層，可以用“8×8÷2=32”計算。

師：有沒有不同意見？

生：這個側面看起來像三角形，其實還是一個梯形。應該用“（1+8）×8÷2=36”計算。

生：從1連加到8和是36，不是32。

生：我用兩堆完全一樣的鋼管拼起來，從側面看就是一個平行四邊形，每一層都有8+1=9（根），9×8的一半就是36根。

通過比較兩個算式，巧妙利用兩種方法的外在差異與內在聯系，展開直觀思辨，符合學情與思維規律。對應、化歸、建模等思想方法不經意間自然流露，讓學生自覺拋去圖形束縛，自由探究知識本質。

四、生成到生長：把握思維拓展的“發散點”

我們的探究不能止步于知識規律的揭示和思想方法的觸摸，而是要基于學生已有和現有經驗（認識、思想、方法等）作為新的拓展起點，通過舉一反三、變式求異等發散性的“再思考”，引發學生更全面、多向、深層地探究嘗試與思維拓展，達成從經驗生成到思維生長的升華，促進思維的深度與廣度。

（出示一堆依次按2、4、6、8、10根擺放的鋼管）算一算：還能用梯形的面積公式來計算嗎？想一想：這些鋼管的堆放和剛才的比較有什么共同特點？

生：雖然每兩層之間相差2根了，但側面形狀還是梯形，可以用梯形的面積公式計算鋼管的根數。不管是2+4+6+8+10，還是（2+10）×5÷2，計算結果都是30。

生：從側面看，這些鋼管在堆放上的共同特點是都堆成了梯形。

生：同一堆鋼管中每兩層之間的差不變，可以用梯形的面積公式計算根數。

師：你能自己設計一堆符合這種條件的不同類型的鋼管，用簡便方法求出結果嗎？

生：3+6+9+12+15+18……

師小結：（結合介紹高斯求和故事）通過剛才的探索與研究可以看出，只要我們勇于探究和善于思考，就會獲得像數學家高斯一樣的眼光與成果。

從特殊到一般、一般到特殊，老師將習題不斷地變化衍生，設計出一個個富有啟發性的“再生問題”，引發學生不斷地“碰撞”與“驗證”，從形象到抽象，從經歷到經驗，從感受到感悟，從生成到生長，層層轉換，環環提升，必將引領學生走向學會“數學地思維”的佳境深處。■

（作者單位：江蘇省宜興市陽羨小學）

“探索與實踐”是蘇教版小學數學高年級段教材的重要“練習板塊”。在實際教學中，這樣的特色“板塊”往往被教師按部就班地靜態呈現，或是當作普通習題處理，或是輕輕跳過淡化處理，它的編排意圖、思維含量卻少有人深究，“探索與實踐”教學僅成為學生鞏固知識、掌握技能的手段，讓學生“學會數學地思維”沒有得到應有的重視與支持。如何發揮“探索與實踐”這個板塊優勢，讓其更有教學意義與價值深度？筆者結合蘇教版小學數學五年級上冊第二單元整理復習中“探索與實踐”第10題的教學實際，談談自己的實踐與思考。

一、形象到抽象：把握問題背后的“出發點”

從“基于兒童”的立場看，我們不難把握問題的出發點——幫助兒童學會“數學地思維”，引導學生進行再學習、再思考、再聯系、再發現。教材呈現的靜態問題“用什么方法算出這堆鋼管一共有多少根？”其教學價值指向何處？從淺層次看是計算多邊形面積，鞏固所學知識；從深層次看則是建構知識關聯、加強邏輯推理，體驗和感悟問題解決過程中涉及的數學思想方法。因此，教師的課堂任務就要引導學生獨立面對問題，進行信息收集與處理，基于現實問題從形象走向抽象，并自覺地展開思維訓練。

師：閱讀題目，你了解到了什么？

生：最上層有9根，最下層有16根，共8層。

師：再仔細觀察，你還發現了什么？

生：堆起來的鋼管從側面看，形狀是梯形。

生：每一層都比上一層多1根。

師：每一層各是多少根？（根據學生的回答板書：9、10、11、12、13、14、15、16）

生：求一共有多少根鋼管，就是求9+10+11+12+13+14+15+16的和是多少。

信息收集與分析能力是重要的思維能力。教學過程中，不少數學老師總喜歡幫助學生設計好思維的方向、方法與程序，課堂似乎思維順暢，實際則是用老師的思考代替學生的思考。久而久之，容易造成學生的思維惰性。教師要重視學生搜集信息、獨立思考、解決問題能力的培養，充分依托教材提供的學習素材，引導學生有條理地梳理題目中的文字或圖形信息。本題可以根據“這堆鋼管側面的形狀是梯形”和“每兩層之間相差1根”，依次列舉出每一層鋼管的根數，從形象到抽象，進行一次思維梳理，自主捕捉問題解決的本質：求9+10+11+12+13+14+15+16的和，并為探究發現兩種算法之間的聯系提供經驗基礎。

二、經歷到經驗：把握知識意義的“聯接點”

經驗能影響思維的形成與發展。經歷在“行”，經驗在“心”。經驗不能從外部輸入，或由別人替代，需要學生通過自身親歷觀察、操作、想象、模擬、描述、分析、判斷、推理等活動，不斷積累基本活動經驗，形成比較深刻的意義“聯接”，對提升概念認知、理清數量關系、自主構建知識體系等具有積極意義。

師：根據經驗，你準備采用什么方法進行計算呢？

生：把每一層的鋼管全部加起來是：9+10+11+12+13+14+15+16=100。

生：可以利用梯形的面積公式計算，（9+16）×8÷2，也等于100。

師：你是怎樣想的？

生：因為鋼管側面的形狀是梯形。

生：可以把一根根鋼管想象成一個個小方塊，求鋼管的根數就是求小方塊的個數。

生：用兩堆完全一樣的鋼管拼起來，從側面看就是一個平行四邊形，每一層都有25根，有這樣的8層，25×8的一半就是這堆鋼管的根數。

表面上，大多數學生除用加法計算之外，會想到用梯形的面積公式來計算這堆鋼管根數，但想法是否正確還有待證明。因此，教師最重要的是要引導學生跳出“估計可以”的猜想來解決問題，能基于現實經驗進行數學思考和以動作思維為特點的操作體驗，以此印證自己想法的合理性與準確性，真正有意義地領會其中的規律，豐潤自己的思維認知。

三、感受到感悟：把握思想方法的“固著點”

數學教學沒有了數學思想方法的支撐，就會失去數學教學的“固著點”。因而，教師應特別注重探索與實踐活動中的思想滲透，通過比較、聯系、感悟等體驗活動，擺脫知識技能等形式層面的束縛，挖掘浸潤于顯性知識中的基本數學思想方法，升華探索與實踐的思維活動，感悟思想方法的意義內涵，有效發展學生的數學思維能力。

師：比較9+10+11+12+13+14+15+16和（9+16）×8÷2，你們有什么發現？

生：（9+16）×8÷2，就是把加法中第一個9和最后一個16相加得25，10+15，11+14，12+13，每組和都是25，一共有8÷2=4（組）。

教師板書：

生：只要是幾個連續自然數相加，都可以用第一個數加上最后一個數的和，乘上個數，再除以2。

生：9+10+11+12+13+14+15+16像梯形的腰一樣慢慢變粗，也能用梯形面積公式求和。

生：求一堆鋼管有多少根，可以根據它的側面圖形面積計算公式計算。

師：如果繼續按這樣的規律一層層往上堆鋼管，最上面一層為1根，新堆成的鋼管堆側面是什么圖形？有幾層？共有多少鋼管？

生：新增加的鋼管堆側面是三角形，有8層，可以用“8×8÷2=32”計算。

師：有沒有不同意見？

生：這個側面看起來像三角形，其實還是一個梯形。應該用“（1+8）×8÷2=36”計算。

生：從1連加到8和是36，不是32。

生：我用兩堆完全一樣的鋼管拼起來，從側面看就是一個平行四邊形，每一層都有8+1=9（根），9×8的一半就是36根。

通過比較兩個算式，巧妙利用兩種方法的外在差異與內在聯系，展開直觀思辨，符合學情與思維規律。對應、化歸、建模等思想方法不經意間自然流露，讓學生自覺拋去圖形束縛，自由探究知識本質。

四、生成到生長：把握思維拓展的“發散點”

我們的探究不能止步于知識規律的揭示和思想方法的觸摸，而是要基于學生已有和現有經驗（認識、思想、方法等）作為新的拓展起點，通過舉一反三、變式求異等發散性的“再思考”，引發學生更全面、多向、深層地探究嘗試與思維拓展，達成從經驗生成到思維生長的升華，促進思維的深度與廣度。

（出示一堆依次按2、4、6、8、10根擺放的鋼管）算一算：還能用梯形的面積公式來計算嗎？想一想：這些鋼管的堆放和剛才的比較有什么共同特點？

生：雖然每兩層之間相差2根了，但側面形狀還是梯形，可以用梯形的面積公式計算鋼管的根數。不管是2+4+6+8+10，還是（2+10）×5÷2，計算結果都是30。

生：從側面看，這些鋼管在堆放上的共同特點是都堆成了梯形。

生：同一堆鋼管中每兩層之間的差不變，可以用梯形的面積公式計算根數。

師：你能自己設計一堆符合這種條件的不同類型的鋼管，用簡便方法求出結果嗎？

生：3+6+9+12+15+18……

師小結：（結合介紹高斯求和故事）通過剛才的探索與研究可以看出，只要我們勇于探究和善于思考，就會獲得像數學家高斯一樣的眼光與成果。

從特殊到一般、一般到特殊，老師將習題不斷地變化衍生，設計出一個個富有啟發性的“再生問題”，引發學生不斷地“碰撞”與“驗證”，從形象到抽象，從經歷到經驗，從感受到感悟，從生成到生長，層層轉換，環環提升，必將引領學生走向學會“數學地思維”的佳境深處。■

（作者單位：江蘇省宜興市陽羨小學）