飛行最大可控邊界集及其機動邊界保護控制

王爽, 詹浩

(西北工業大學 航空學院, 陜西 西安 710072)

確保飛行狀態在包線范圍內被稱為邊界保護控制,此邊界包括正常飛行邊界和故障條件下的邊界。早期的邊界保護經過了硬限制、軟限制、反饋限制和比較邏輯反饋限制幾個階段,并在工程應用中有了成功的應用。近年來,從動力學系統的可達域及不變集的角度對飛機的安全邊界進行了定義,利用優化理論和粘性數值算法對邊界集進行了計算,得到了一定的研究成果[1]。

所謂安全邊界,即在允許控制u∈U下,系統軌線保持在狀態空間的一特定凸子集x∈C中。Feuer[2]研究了當t>0時,在什么條件下可使系統在任意初始條件時系統狀態仍保持在C中,Lygeros等[3]指出了優化問題與安全集之間的聯系,Allen[4]研究了邊界保護控制的方法。本文基于以上工作,討論了飛機舵面及推力在受極限限制和作用延遲的條件下的安全邊界集,并設計了邊界保護控制器,使該方法在工程上的實際應用又推進了一步。

1 可控不變集(Viablilty)與SUPMIN優化問題

根據Lygeros[3]的描述,考察系統:

(1)

C為系統的允許狀態空間邊界。對于從集合S∈C中的任意初始狀態出發,存在一允許控制u(·)∈U[0,T],對于所有的t∈[0,T],使系統軌線x(·)滿足x(t)∈S。滿足上述定義的子集S被稱為C的最大可控不變集(viablity),記為Viab(t,C),用集合的描述形式即:

x=φ(τ,t,x,u(·))為系統狀態的運動軌跡。根據連續時間系統最優化控制理論,選擇J指標:

J(x,u,t)=V(x,u,t)≥0,V(·,·,·):Rn×Rm×R→R,按照水平集方法的思想,此指標中V(x,u,t)為距狀態允許邊界C的正向距離[5]。優化目標是最小化性能指標J,如圖1所示。其最優解即

(2)

故,可得初始時刻最大不變集對應的集合S為:

S=Viab(0,C)={x∈Rn|V*(x,0)≥0}

(3)

類似的SUPMIN問題得到了廣泛討論,最有代表性的見Barron等[6]的研究。

假設條件U∈Rm是緊集且f和V有界并Lipschitz連續得到滿足。取Hamilton函數為:

(4)

則,上述SUPMIN問題的解可歸結為標準形式的Hamilton-Jacobi 偏微分方程,即:

圖1 可控正不變集和優化指標示意圖

(5)

邊界條件:V*(x,T)=l(x),l(x)為終端時刻距離邊界C的距離函數。假設條件保證了值函數最優解V*(x,T)的連續性和在任意x∈Rn,t∈[0,T],u∈U時,系統(1)有唯一連續解x=φ(τ,t,x,u(·)),從而簡化了求解過程。

由于優化控制理論只能保最終狀態會保持在C中,在狀態轉移過程中,系統狀態軌線可能會穿越出C集,另外由于J(x,u,t)=V(x,u,t)≥0,必須保證指標的正定,故對(5)式進行修改,詳見文獻[5],得:

(6)

這樣,就保證了V的非增特性,滿足了上述的要求。

同時從(4)式可以得到最優控制

(7)

目前,對(5)式利用水平集理論及其粘性有限元解法進行求解是一種行之有效的方法。水平集理論是一種應用隱式面法和基于水平集梯度的計算方法,其核心步驟重新初始化水平集保證了算法的穩定性和收斂性。水平集算法廣泛應用于界面演化、HJB方程的解、多相混合流等問題中。本文利用該算法,對具體飛機的安全邊界進行了計算。

2 安全邊界集及其計算

對于飛機系統的縱向四階狀態方程(8)

x=[V,γ,q,α], u=[T,δe]

(8)

假設條件自然滿足,不失一般性,取允許狀態空間范圍C為{Vmin,Vmax}×{γmin,γmax}×{qmin,qmax}×{αmin,αmax}圍成的超立方體域,控制輸入u為受極限限制{Tmin,Tmax}×{δemin,δemax}的矩形域。終端時刻T時的邊界條件取為

(9)

可見,l(x)是凸集、Lipschitz連續的并滿足初始水平集條件,當x∈C,l(x)≥0,x?C,l(x)<0,且也可以表征狀態點距邊界的最小距離函數。

根據方程(8)和邊界條件(9),解方程(6),計算所得的不變集S為飛機縱向方程的最大正不變集。即存在允許控制輸入u,使從集合S∈C內出發的任意初始狀態都保持在集合S中。故,集合S可以認為是飛行中允許進入的最大可控安全包線,稱為安全邊界集。若因為偶發問題使飛行狀態落在此包線范圍外,飛機將不受控地超出允許的狀態集合C,從而引發安全問題。按這種定義的安全集好處在于,比起常規的軟硬限制,集合S的邊界?S對應于最大的可控制邊界,不會人為限制飛機的機動能力,且其邊界包含所有飛機的狀態量,而不僅僅是迎角,能更全面地保護飛機飛行。

對于最優控制u*,其取值為在某狀態下,最大化Hamilton函數時的值,即,

時的u。舉例來說,注意(7)式,最優解T*為:

T*=

(10)

從形式上看,推力T具有不連續的切換特性,其對真實物理系統來說是有害的。另外,上述計算邊界和最優控制的方法中并沒有考慮舵機的特性[4],實際上,對于推力的增減和升降舵的偏轉來說,除了受到極限位置的制約外,還存在一定的延遲和速率限制,如圖2所示。

圖2 某客機的升降舵偏轉過程及其一階近似

由圖2 可見,雖然現代客機的升降舵電液舵機具有高達70°/s的輸出速率,但仍然不可避免地出現延遲,推力的延遲作用則更加明顯。另外,舵面的初始位置也對安全邊界集存在影響。

根據該客機的舵機輸出特性,用一階延遲環節近似模擬舵機特性,如圖 2所示。增廣狀態x5=T,x6=δe,取適當時間常數τT,τδe,補充方程

(11)

TC、δeC為推力、升降舵指令信號,通常由計算機產生,可以具有不連續的切換特性。轉換成傳遞函數的形式為:

其穩態靜增益為1。

聯立方程組(8)和(11),得其增廣狀態方程,即

(12)

終端邊界條件如(9)式報示,但須加上對T、δe的約束。

(13)

作為對比,利用水平集算法,分別對上述考慮舵機和不考慮舵機特性的2種情況進行了計算。算例所用飛機是一架中短程支線客機,重量63 T。計算域

對計算域離散9×12×15×13,8×21個網格。由于網格維數很高(增廣方程高達六維),限于計算能力,網格數設的不多。方程離散采用全局Lax-Friedrichs粘性格式(GLF)[5],空間導數離散為迎風一階ENO2[5]格式,時間層上采用單步反向時間推進。由于采用本質無震蕩格式和水平集算法,其穩定性和收斂性是可以得到保障的,即使每一維的網格數不多,也能取得較好的計算結果。

圖3至圖5分別顯示了不考慮舵機特性和考慮舵機特性的安全邊界集的計算結果。為了可視化,對高維(4、6維)計算結果進行切片,例如選?S(V,γ,q)(α=18°)進行三維可視化數據分析。選取有代表性的結果,如圖3～圖5所示。

圖3 不考慮舵機特性的四階系統的不同迎角切片對應的安全邊界集 圖4 考慮舵機特性的六階增廣系統在10 T推力、0°升降舵條件下不同迎角切片對應的安全邊界集

圖5 不考慮舵機控制約束四階系統和考慮舵機控制約束的增廣系統的安全邊界對比

3 機動邊界保護控制及其仿真

根據最大可控不變集S及其值函數V*、最優控制u*,設計邊界保護控制如下:

u(x)=

(14)

upilotautopilot為原飛行員操縱指令或從自駕儀得到的指令,usafe=u*為保持狀態維持在安全集S內的最優控制。控制器結構如圖6所示。

圖6 控制器結構圖

為保證邊界保護控制不影響飛機的機動性和操縱性,在集合S內,不對飛機的自由操縱進行干預。在安全集S內部的自由操縱不能保證狀態始終留在集合S內,故在安全集的邊界?S處,應用計算所得的最優控制,使狀態轉移指向S內部,從而達到保護邊界的目的

從(14)式可以看出,在邊界?S,V*(x)=0附近,此時控制從自由控制到最優控制間進行切換,這使得控制量可能會不連續。如前所述,通過增廣,使這種不連續性轉移到其指令和一階導數中,從而保證了真實控制量舵面和推力的連續性,消除了抖振。

根據式(7),得安全邊界保護控制的具體形式為:

usafe(x)=u*(x)={TC={Tmax, p5>0

Tmax, p5≤0

δeC={δemax, p6>0

δemin, p6≤0

(15)

圖7、圖8顯示了從某初始狀態和控制條件下狀態轉移的軌線。可見,安全邊界控制器有效保護了飛行參數在既定的安全邊界內,并且幾乎對飛機機動性沒有任何影響,也不干擾正常飛行員駕駛過程,僅僅提供飛行包線的邊界保護功能。從控制量角度看,如圖9所示,含舵機特性的增廣系統控制方案消除了控制量的不連續和抖振,舵面和推力都在約束條件內,從而具備了工程上的實用性。

圖7 包含與不包含邊界保護控制器的狀態時間歷程

圖8 包含與不包含邊界保護控制器的狀態轉移

圖9 邊界保護控制器和無邊界保護的控制器的控制量時間歷程

4 結 論

參考文獻：

[1] Robert C A, Harry G K. Maneuverablility and Envelope Protection in the Prevention of Aircraft Loss of Control[C]∥ASCC Conference on Control, 2011: 381-386

[2] Feuer A, Heymann M. Invariance in Control Systems with Bounded Controls[J]. Journal of Mathmatical Analysis and Applications, 1976, 53: 266-276

[3] Lygeros John. Controllers for Reachability Specifications for Hybrid Systems[J]. Automatic, 1999, 35: 349-370

[4] Robert C A, Harry G K. Safe Set Protection and Restoration for Unimpaired and Impaired Aircraft[J]. Guidance, Navigation and Control, 2012, 3: 817-820

[5] Osher Stanley. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces[M]. USA, New York, Springer, 2005

[6] 解學書. 最優控制理論與應用[M]. 北京:清華大學,1986

Xie Xueshu. The Application and Theory on Optimal Control Systems[M]. Beijing: Tsinghua University,1986 (in Chinese)

[7] Lygeros John. On Reachability and Minimum Cost Optimal Control[J]. Automatic, 2004, 40: 917-927

[8] Lygeros John. A Game Theoretic Approach to Controller Design for Hybrid Systems[J]. Proceeding of IEEE, 2000, 7: 949-970