彈性高超聲速飛行器多胞魯棒變增益控制

張 科, 崔建峰, 呂梅柏

(1.西北工業大學 航天學院, 陜西 西安 710072; 2.航天飛行動力學國家級重點實驗室, 陜西 西安 710072)

由于機體/發動機一體化的設計理念及輕質材料的應用，吸氣式高超聲速飛行器的動力學特性十分復雜，存在著較為顯著的氣動-熱-彈性-推進耦合現象；當其在大包線范圍內飛行時，相應的氣動特性及模型參數變化較大；這些均給吸氣式高超聲速飛行器的控制系統設計帶來很大挑戰。

目前，關于高超聲速飛行器控制系統設計方法的研究已有很多理論成果。魯棒控制、自適應控制、變結構滑?？刂?、廣義預測控制、分數階PIλDμ控制等控制方法[1-5]均被用于設計高超聲速飛行器控制系統，并取得了較好的控制效果。但現有的控制系統設計方法仍存在一些不足：

1)大多數設計方法沒有考慮高超聲速飛行器的結構彈性影響，控制系統設計所應用的飛行器模型一般為剛體模型，然而基于剛體模型所設計的控制系統會因彈性模態發散而失控[6]；

2)已有的基于高超聲速飛行器彈性模型所進行的控制系統設計對于彈性模態通常有2種處理方法：①直接將彈性模態做為已知系統狀態進行全狀態反饋控制；②將彈性模態做為未知信息，采用混合靈敏度[7]、輸出反饋[8]或狀態觀測器[9]方法來處理彈性模態的影響，這些方法均能夠使高超聲速飛行器的彈性模態穩定。但是，前者需要進一步考慮實際應用中彈性模態相關狀態的獲取問題，后者將使所設計的控制器結構復雜、階數較高；

3)在處理飛行器大包線參數變動所帶來的非線性問題上，傳統的非線性控制系統設計方法常需要經過較為復雜的解析求解過程，對控制模型的連續性與精確性要求較高。

針對上述現有高超聲速飛行器控制系統設計方法的不足，本文以高超聲速飛行器的速度與高度跟蹤控制為研究對象，首先基于現有彈性高超聲速飛行器縱向平面內的非線性模型，利用TP(tensor product)模型轉換這種數值方法獲取彈性高超聲速飛行器的多胞LPV(linear parameter varying)系統；然后將彈性模態視為外部干擾，以彈性模態的二階導數變量為控制輸出，僅通過實際可測的剛體狀態參數作為反饋量，進行高超聲速飛行器的多胞魯棒變增益控制器設計，以保證高超飛行器在一個較大區域的飛行包線內擁有穩定的飛行特性。最后，對所設計的控制器進行了系統仿真驗證。

1 彈性高超聲速飛行器多胞LPV系統模型

1.1 數學模型

本文以Bolender、Doman等人提出的彈性高超聲速飛行器模型為主要研究對象[10]。在其文獻中，彈性高超聲速飛行器縱向平面內的數學模型在穩定軸坐標系下通過拉格朗日方程構建，具體動力學方程如下：

(1)

式中:V為飛行器速度,h為飛行器高度,α為攻角,θ為俯仰角,q為俯仰角速度,ηi為第i階彈性模態的廣義坐標,ωi為第i階彈性模態的自然頻率,ζi為第i階彈性模態的阻尼比,T、D、L、M、Ni分別為飛行器的推力、阻力、升力、俯仰力矩及第i階彈性模態的廣義力;各力與力矩可表示如下:

(2)

式中：φ為空氣燃油比率,δe為升降舵偏角;(1)式與(2)式中各力與力矩系數及飛行器其他相關參數詳細信息可查看文獻[6]。

1.2 多胞LPV系統模型

LPV系統模型可以通過雅可比線性化,狀態變換及函數替換法從系統的非線性模型獲取。所得到的LPV模型在求解魯棒控制器時,為保證在整個變參數軌跡上穩定,需要確保穩定性條件在軌跡的每一點上都得到滿足。如果所研究的LPV系統具有多胞形結構,由于多胞形屬于凸集,集內各點可通過凸集頂點完全描述,則穩定性條件僅需要確保在各頂點上滿足即可,這樣可大大減少計算量,同時使控制器獲得連續的增益并具有全局特性。

TP模型轉換方法是近幾年提出的一種可將LPV模型變換為多胞形結構的數值方法。該方法可以將任意形式的LPV模型以一種統一的處理方式轉換為多胞模型,而無須經過求導、仿射分解等較為復雜,甚至難以進行的解析推導過程[11]。其主要思想是將LPV模型的變參數在目標區域進行網格劃分,并在變參數網格點上離散化LPV系統矩陣,然后將離散后的系統矩陣信息存儲在一個張量中,通過對張量進行高階奇異值分解(HOSVD:higher order singular value decomposition),得到由有限個線性定常系統的凸組合所近似的TP多胞模型結構。具體的變換方法可以參看文獻[11]。TP模型轉換方法實際上是一種在張量空間下的基于奇異值信息的系統降維方法。

考慮如下形式的LPV系統模型:

(3)

式中：u(t)∈Rk為控制輸入,y(t)∈Rl為控制輸出,x(t)∈Rm為系統狀態。p(t)∈Ω為N維變參數向量,其取值位于閉域Ω=[a1,b1]×[a2,b2]×…×[aN,bN]?RN中。變參數p(t)可以包含系統的部分狀態變量。

則該LPV系統的系統矩陣可以表示為:

(4)

式中：O=m+k,I=m+l。經過TP模型變換后,由(3)式代表的LPV系統可以表示為如下的TP模型形式:

(5)

S為變換后所得到的系統核心張量,核心張量中存儲的為系統的頂點線性定常系統矩陣,wn(pn(t))為與核心張量相應的權重系數矩陣。

通過提取核心張量中存儲的頂點線性定常系統矩陣,可以將TP模型形式轉換為多胞結構:

(6)

(7)

σk為變換過程中根據精度需要而舍棄的較小奇異值。

對于(1)式所表示的高超聲速飛行器系統,根據系統變動特點,以速度V,高度H為其變參數。在目標飛行包線上以等間距進行網格劃分,然后結合雅可比線性化方法,在網格點上求取線性化系統,可直接從(1)式進行TP模型轉換,得到相應的多胞LPV系統模型。

(8)

2 多胞魯棒變增益控制器設計

2.1 問題描述

在獲取彈性高超聲速飛行器的多胞LPV系統模型后,可以通過多胞系統的頂點性質來設計控制器。但在求解前,為了降低控制系統的復雜度和控制器的階數,避免利用混合靈敏度、輸出反饋或狀態觀測器方法處理彈性高超聲速飛行器的彈性模態,本文將彈性模態視為外部干擾,以彈性模態的二階導數變量為評測控制輸出,對頂點線性定常系統進行調整;并在調整系統基礎上,引入速度與高度跟蹤誤差的積分,以減小穩態跟蹤誤差。最后所得到的廣義多胞系統如下:

(9)

{zr|zr=Ww, w∈H2,‖w‖2≤1}

(10)

式中：W是已知的加權函數。

此時彈性高超聲速飛行器的速度與高度跟蹤控制問題可以表述為:設計一個狀態反饋控制器,使得飛行器系統可以跟蹤指定的速度與高度參考指令,即:

(11)

廣義系統的控制器結構框圖如圖1所示。

圖1 廣義系統的控制器結構框圖

2.2 多胞控制器設計

引理1[12](實有界引理)考慮系統

(12)

系統漸近穩定且滿足‖y‖2<γ‖u‖2的充要條件為:存在一個正定對稱矩陣P>0滿足

(13)

引理2[13]下列條件是等價的

2) 存在矩陣G使得下式成立:

定理1 對于多胞LPV系統(9),設計具有同樣多胞結構的狀態反饋控制器,如果存在一個對稱矩陣X,n個正定對稱矩陣Qi,n個矩陣Wi,i=1…n,滿足下列LMI:

(14)

式中:

則設計的多胞狀態反饋控制器K(p)將保證在變參數(V,h)的整個范圍內閉環系統都內穩定,同時外部干擾w到輸出z之間具有二次H∞性能指標γ,且各頂點的控制器Ki=WiX-1。

證:狀態反饋控制器具有與系統一樣的多胞結構,將其代入到公式(9)中,可得

(15)

在(15)式中為了表示簡潔,使用wr表示(9)式中的wr(V,h)。

(16)

式中

若取

(17)

(18)

式中

同理,對于Ξc也有相應等式成立?？紤]到r、s表示形式無關性,則(18)式可表示為:

(19)

因此,當定理1中條件成立時,存在相應多胞結構的狀態反饋控制器,保證系統在變參數的整個范圍內閉環系統都內穩定,同時外部干擾w到輸出z之間具有二次H∞性能指標γ。

3 仿真設計與分析

為了驗證彈性高超聲速飛行器多胞魯棒控制器設計方法的有效性,對前述彈性高超聲速飛行器非線性模型進行仿真。選取高超聲速飛行器目標工作區域為V∈[2 220,3 200] m/s,h∈[16 000,26 000]m。仿真參考指令信號選用多段階躍信號,且均通過以下二階濾波器:

(20)

式中：阻尼ξ=0.9,自然頻率ωn=0.25 rad/s。

對于高度參考指令,t=0 s時從16 000 m開始,每隔100 s產生一個5 000 m的遞增階躍信號,至26 000 m時保證高度不變。速度參考指令t=0 s時從2 200 m/s開始,每隔100 s產生一個500 m/s的階躍信號,至3 200 m/s時保證速度不變。

在求取工作區域內控制器的過程中,選取[V,h]的離散網格為40×60的等間距網格點,經高階奇異值分解并舍棄較小的奇異值后,所得到的與速度相應的系統張量模矩陣奇異值為:33118.6,4436.3,185.9,3.4,0.36;與高度相應的系統張量模矩陣奇異值為:33330.1,2364.1,269.8,35.4,0.19;與速度V及h核心張量相應的權重函數如圖2所示。

由定理1獲取多胞魯棒控制器,按前述指令進行跟蹤仿真,得到飛行器的速度、高度變化曲線及系統的彈性模態響應曲線分別如圖3、圖4所示。

圖2 變參數V與h的權重函數

圖3 速度與高度跟蹤曲線

圖4 彈性模態變化曲線

從圖中可以看出,在沒有使用狀態觀測器、輸出反饋的情況下,使用本文方法構造的狀態反饋控制器也可以將彈性模態穩定,且系統能快速地跟蹤速度和高度指令信號。值得提出的是,本文所設計的魯棒變增益控制器為2×7階的可調增益矩陣。如果根據相關文獻提供的混合靈敏度方法或輸出反饋方法進行設計,則所得到的控制器系統矩陣在不降階的情況下至少有Ac∈R11×11, Bc∈R11×5,Cc∈R2×11,Dc∈R2×5。對比可以發現,本文所設計的變增益控制器結構形式簡單,階數較低。

4 結 論

本文提出了一種彈性高超聲速飛行器的多胞魯棒變增益控制方法。該方法首先使用TP模型轉換方法獲取了系統的TP多胞模型，然后，基于線性矩陣不等式求取多胞控制器。在求取多胞控制器時，為了簡化控制器結構及降低控制器階數，將彈性模態視為外部干擾，以彈性模態的二階導數變量為控制輸出，僅通過實際可測的剛體狀態參數作為反饋量來設計控制器。仿真結果表明，所設計的多胞魯棒變增益控制器，能夠使系統快速跟蹤速度和高度指令信號，保證彈性模態穩定，且相對于傳統的彈性控制器，結構更簡單，階數更低。

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