《復變函數與積分變換》課程教學改革的思考

洪云飛

（長江大學期刊社，信息與數學學院，湖北 荊州434023）

趙天玉，陳忠

（長江大學信息與數學學院，湖北 荊州434023）

《復變函數與積分變換》課程既是一門重要的理論基礎課程，又是解決實際問題強有力的運算工具。復變函數的理論和方法在數學、自然科學和工程技術中有著廣泛應用，是解決具有平面向量場特征問題的有力工具，在電磁學、流體力學、彈性理論中有廣泛的應用。建立在復變函數理論之上的積分變換方法，通過特定形式的積分運算，建立函數之間的對應關系，既能簡化計算，又具有明顯的物理意義，在物理、信號分析、圖像處理、語音識別、地質勘探與地震預報等方面被廣泛使用，而在此基礎上發展起來的離散形式的變換如DTFT、DFT、FFT和Z變換［1］大部分可以在計算機上用Matlab實現。《復變函數與積分變換》課程是長江大學電子信息學院、地球物理與石油資源學院以及物理科學與技術學院各專業的必修課，也是專業后繼課程的必要基礎，因此研究該課程的教學改革非常必要。

1 教學現狀調查總結

1）教學課時數不足。目前，隨著高等教育的發展，已經形成了壓縮理論教學、增強實踐應用能力的理念，長江大學也不例外。《復變函數與積分變換》課程的教學學時從48變到44，又從44變到40。而國內一些院校開設 《復變函數與積分變換》課程的學時如下：麗水學院48學時，紹興文理學院54學時，運城學院48學時，中北大學48學時，北方工業大學48學時，重慶工商大學54學時。由此知道，長江大學的教學課時數不足。

2）重理論輕應用。工科學生本該以應用教學為主，該課程也具有很強的應用性，可是教學的教師是數學專業出身，對電信專業與物探專業的知識不甚了解。講課中理論推導和證明的時間比重過大，而應用則輕描淡寫。這樣一節課下來，學生聽得朦朦朧朧，更談不上會應用了。

3）學生缺乏學習興趣。雖然數學是工科學生必不可少的基礎知識，但多數同學對它并不感興趣，尤其是對高等數學基礎差的同學，更是如此。在學生的意識里，《復變函數與積分變換》只是學校規定的必修課程，通過考試拿到學分而已，沒有認識到課程知識對自己所學專業的重要性。教學中教師只注重知識的傳授性，脫離學生專業學習的需要性，這也激發不起學生的學習興趣。基于上述原因，出現了課堂上學生玩手機，作業敷衍，考試成績差等現象。

4）教學手段陳舊。傳統的教學手段是教師在黑板上板書，定義、定理、例題，書寫講解并用，教師非常忙亂，課堂信息量少，再加上授課中有很多圖形要畫，費時費力，效果也不好。滿足不了同學們課堂信息量大，形象直觀的要求。

2 教學內容的改革

《復變函數與積分變換》課程體系包括復變函數與積分變換2部分，其中復變函數由復數的的運算、解析函數、積分、級數、留數理論、共形映射6個知識模塊構成；積分變換由Fourier變換與Laplace變換2個知識模塊構成。在這8個知識模塊中，留數理論、Fourier變換與Laplace變換是最重要的，也是應用性最強的。為了在40學時內完成教學任務，教學內容要作適當的調整與改革。

1）精煉教學內容，講解詳略比重得當。復數的運算模塊中輻角的主值與復數的方根要詳講，解析函數模塊中解析的概念、Cauchy－Riemann條件、指數函數與對數函數要詳講，積分模塊中重點講解柯西積分公式、復合閉路定理與高階導數公式，級數模塊中著重介紹Laurent級數，留數理論模塊都要詳細講解，Fourier變換與Laplace變換重點放在變換的性質與應用上。

2）側重應用，淡化理論。具體來說，淡化復變函數中理論性較強而專業課又不用的一些數學理論推導和證明，強調公式和性質的應用，比如淡化微分的教學，強化積分的教學；淡化積分公式的推導和證明，強調積分公式的應用；淡化無窮遠點留數的理論，強調其計算和應用；淡化Fourier變換與Laplace變換的引入，強化其性質和應用；對于δ－函數和單位階躍函數，盡量避免在理論上的過多介紹，重點介紹它們的應用和性質。

3 教學方法的改革

1）采用鼓勵式教學法，彰顯課程的優越性。《復變函數與積分變換》是 《高等數學》的后續課程，多數學生在學習了一整年的 《高等數學》之后，不自覺地對數學課程產生了恐懼。雖然 《復變函數與積分變換》課程具有極強的理論性，用到的 《高等數學》知識較多，但教師第1節課也不要把后面需要用到的曲線積分、級數知識擺出來告誡學生回去復習，免得學生產生恐懼心理。要使學生喜愛這門課程，就要抓住學生的心，體會該課程的優越性，給學生成就感的鼓勵。比如以復數的三角式或指數式進行積、商、乘方或開方運算，比代數式容易的多；又如利用柯西積分公式利用單位圓的參數形式進行積分，并比較實、虛部，可得這在高等數學里很難計算出來；再比如常系數二階線性常微分方程的初值問題，在高等數學中是通過求齊次方程的通解，非齊次方程的特解，初始條件確定常數3個步驟完成的。而用Laplace變換，只要求出未知函數的象函數，再求逆變換即可，充分體現了課程的優越性。

2）采用類比教學法。《復變函數與積分變換》是 《高等數學》的后續課程，其內容中有許多與 《高等數學》中的知識有著相似之處，內容安排也有些相似，都包含極限、連續、微分、積分與級數。教師講課時，要讓學生充分認識到該課程內容是在 《高等數學》知識的基礎上，把有關實函數的連續、微分、積分、級數等理論延續拓廣到復變函數中。

①復與實的類比。比如一個復變函數對應實部與虛部2個二元實函數，其極限與連續對應2個二元實函數的極限與連續；一個復變函數的線積分對應此積分的實部與虛部的實的線積分；一個復級數的收斂性對應實部級數與虛部級數的收斂性。

②相似性與特殊性的類比。比如ez，ex都可導，且導數為函數本身，但ez具有周期性；不論是復對數函數還是實對數函數都可以將積、商化為和、差，但復對數函數具有多值性；cosz，sinz與cosx，sinx有許多相似性，但cosz，sinz不再有界了。

③聯系與區別的類比。比如Fourier變換是在函數絕對可積的條件下定義的，Laplace變換是在更寬泛的前提下給出的，f（t）的Laplace變換就是f（t）u（t）e－βt的Fourier變換，因此2種變換有許多相似的性質，但2種變換的實質都是把時間域映射到抽象頻率域的映射，逆變換則相反。

3）結合專業應用的教學法。數學課的定義、定理、習題多，工科學生常感到數學比較枯燥，不感興趣。教師在教學中多設計一些應用的情境，引導學生認識數學是解決實際問題的工具。如傅氏變換多應用于信號分析，教學時可以介紹在信號消噪過程中需要先對信號實現傅氏變換，通過高低頻信息找到最佳消噪方法再去除噪音，許多科技前沿諸如語音識別、虹膜識別等技術的實現都是類似的道理［3］。又如拉氏變換常見于分析系統，在電氣工程方面，求線性系統的響應，用拉氏變換可以把微分方程變換為初等方程，方便求解。這種與專業實際相結合的教學方法受到同學們的歡迎。

4 教學手段的改革

計算機多媒體的飛速發展為教學提供了大量便利的工具，使得教學活動不再局限于刻板的傳統教學模式。在 《復變函數與積分變換》的教學過程中采用以板書為主以多媒體技術為輔的教學手段，使課程內容更加生動直觀。當需要數學演算與推理時，在黑板上展示這一過程；當講解一些含有圖象信息的內容時，比如無窮大與復球面的影射、積分路徑等可以通過多媒體形式展示，通過動畫效果使圖形變換過程生動形象。

另外，利用Matlab軟件把 《復變函數與積分變換》課程教學與數學建模結合起來，增強學生對該課程的學習興趣，激發學生參與大學生創新活動和數學建模競賽的積極性［4］。利用軟件的數值功能和圖形功能展示課程的基本概念和結論，使學生能直觀地了解課程內容，加強對基本概念和結論的認識和理解，如利用Matlab軟件繪制了矩形脈沖信號的時－頻變換圖和太陽黑子活動情況的時－頻變換圖，效果相當好［5］。

5 結語

目前，《復變函數與積分變換》課程教學改革研究已獲得長江大學教學研究立項，為了完成項目，研究小組正在實施問卷調查，開座談會等一系列活動。只有在聽取了專業課教師的建議，征求了正在學和已學過該課程的同學們的意見后，方能選取合適的教材，制定規范的教學大綱，編撰相應的教學進度表，合理組織和精煉教學內容，采用切合實際的教學方法與先進的教學手段，營造輕松愉快的教與學的環境，編寫側重應用性的練習冊。另外，學生的成績評定與考核應貫穿在整個教學過程中來，比如課堂提問、不定期的課堂測試，課后實踐等等，將這些作為每位學生的平時成績，結合期末考試，綜合評定最終成績。以上提出的若干教學改革措施，已逐步付諸實施，取得了較好的教學效果，學生的綜合素質和創新能力也得到了很大的提高。

［1］馬柏林，李丹衡，晏華輝.復變函數與積分變換 ［M］.第2版.上海：復旦大學出版社，2010.

［2］陳元明.復變函數與積分變換教學模式改革與探索 ［J］.麗水學院學報，2009，31（5）：75－77.

［3］馬曉劍，曲智林.采用多種教學方法優化復變函數與積分變換教學 ［J］.三峽大學學報（人文社會科學版），2008，30（專輯）：188－189.

［4］鐘樺.復變函數與積分變換課程的教學改革思考 ［J］.重慶科技學院學報（社會科學版），2010（24）：181－189.

［5］楊潤生，歐陽文，唐寶慶.工科專業復變函數與積分變換課程實踐教學探析 ［J］.湖南工業大學學報，2010，24（2）：102－105.