數學的通性通法在教學中的運用

孫克紅

數學是一門系統性很強的科學，首先，任何一個數學概念和規律都是包含在一定的知識體系當中。只有深刻地理解了所有概念、規律的關系，以及他們在整個數學知識體系中的地位和作用，理解才夠深刻，記憶才會牢固，運用才會得心應手。其次，在一定范圍內的概念和規律，也有主次之分。因此，在數學教學中，不僅要掌握個別的概念和規律，而且要掌握其知識體系；不僅要掌握知識體系而且要突出重點、難點，以點帶面，抓住知識的“綱”，做到“綱舉目張”。

數學的通性通法就是數學系統知識的“綱”。例如，集合和邏輯語言的運用；設未知數列方程或不等式問題原理；函數關系的建立與研究；數形結合；配方法；待定系數法；立體問題的平面轉化等等。數學的通性通法，還說明在研究自然科學、工程技術、農業、商業、經濟、政治中的實際問題時，需要從事物的定量分析中將其數學化，建立數學模型，再利用模型來解決這類問題。其過程是：實際問題——數學化——數學模型——檢驗——應用。

因此，馬克思說：“一種科學只有在成功地運用數學時才能達到真正完美的境地。”在這里我們只探討數學通性通法在數學教學中的應用。

一、注意知識的系統性，形成知識體系

不少數學知識、概念和規律在出現時具有一定的離散性，如果教師不能系統地加以把握，那么學生得到的就是一些零星、孤立、毫無聯系的東西，既不利于理解，又容易遺忘。

例如，“距離”這個概念，從初二“兩點間的距離”開始，到立體幾何中“兩條異面直線間的距離”，再到解析幾何中“點到直線的距離”和“兩條平行線之間的距離”，概念的延續和拓展時間達四年之久，如果教師在教學中不能將新舊知識系統化，教學效果將大打折扣。

再如，對于“數”的學習和認識，從小學的“自然數、整數、分數”到初中的“有理數、無理數、實數”，再到高中的“復數”，學習時間前后多達11年之久。如果數學教師在高中的教學階段中不能把集合和復數的概念加以系統化，形成“數”的體系，那么學生在解決“數集”的問題時，必然會遇到困難而錯誤百出。

二、教給學生推導方法

對于一些公式的學習，在學生學好基本公式的基礎上，教師可教給學生必要的推導方法，讓學生從根本上理解、掌握、運用和記憶這些公式。這樣既減輕學生的記憶負擔，又讓學生學到了方法。

例如，由直線方程的點斜式推導斜截式、兩點式、截距式；由余弦的和角公式推導余弦的差角、倍角、半角公式，再推導正弦的差角、和角、倍角、半角公式，再推導正切的差角、倍角、半角公式等。

三、根據數學的通性通法，進行數學概括

根據數學的通性通法，將一些表面上沒有聯系，但又具有共性的公式、定理、性質加以概括。

例如，由圓的任意方程和圓心在原點的方程之間的關系，推導和記憶坐標平移公式；在解析幾何中，根據圓錐曲線的定義推導和記憶它的標準方程、性質等。將誘導公式總結為“縱變橫不變，符號看象限”：1.當角的終邊在縱坐標軸Y軸上（即90度、270度）時，函數名稱變為它的余弦函數；當角的終邊在橫坐標軸X軸上（即0度、180度、360度等）時，函數名稱不變；2.所得三角函數的符號，根據原角所在象限的原三角函數的名稱來確定（-a看做是0-a，四象限）。

四、將某類問題的解法、步驟進行歸納，提出解決問題的“通法”

例如，一元二次不等式的解法步驟：

1.將原有不等式化為ax+bx+c>0：或者ax+bx+c<0的形式；

2.如二次項的系數a為負，則化為正；

3.根據相應的一元二次方程ax+bx+c=0的解的情況及不等號，求解并寫出集合的形式等。

再如，求任意角的三角函數數值的步驟：

1.如果角為負值，則利用引導公式“-a”化為正角；

2.如果角的值大于360°，則利用引導公式“k×360°+a”化為0°到360°的角；

3.若角不是銳角，再利用“180°±a”“360°-a”或者其他誘導公式化為銳角，并求值。

五、聯系實際，特別是聯系學生的專業實際

數學的特點之一是抽象，正因為有高度的抽象性，所以才有廣泛的應用性。我們有理由認為并強調“數學只有當它應用到各個學科時，才能顯示出它的生命力，才能得到進一步發展”。正如我國著名的數學家華羅庚所說：“數學是一個原則，無數內容；是一種方法，到處可用。”可是，現在不少教師在數學教學中，很不注意聯系實際生活實踐。這樣使得本來具有廣泛使用價值的數學學科失去了本來的價值，成為教育的擺設，變成了無源之水、無本之木。學生既不知道為什么學數學，造成學生學習中缺乏興趣；也不知道如何學習，造成本來抽象的知識無法理解、無法掌握；更不知道學習數學有什么價值、用途，成了書呆子。

聯系實際，一是聯系學生專業實際，讓學生看到并體會到數學知識在專業上的應用的廣泛性，理解數學知識和技能對于思維能力訓練、專業技術形成的重要作用。這就需要教師善于學習，不僅要熟悉數學教材，而且對于學生的專業知識也要有所了解。二是聯系社會生活和學生思想實際，讓學生看到數學知識是從自然科學工程技術乃至農業、商業、經濟、政治的實際生活中概括、抽象、提煉出來的，具有廣泛的、一般的科學規律。同時，數學又對其他學科的發展起著指導和推動作用。這就要求教師不僅要接觸學生、了解學生，而且要從日新月異的現代化建設中吸取有益的營養。

數學要聯系實際，是對于整個數學教學體系而言，在整個知識系統中將必要的數學知識生活化，這是可能的，也是必要的。有些數學知識可以直接和學生的其他專業知識（化學、物理、生物、地理等）發生直接的聯系，有些則只是間接地聯系。如果每一個概念和規律都和實際相聯系那是不可能的，也是沒有必要的，數學教師不能把聯系實際庸俗化。

最后，聯系實際要從學生的實際水平出發，也就是聯系的實際應該是學生在生活和學習過程中已有的知識，或者雖然沒有但是經過教師介紹能夠接受的知識，不要去聯系那些專業性太強的，不是學生認知范圍的知識領域。專業性太強、學生不易理解的內容就會在課堂教學中喧賓奪主。數學學科的特點決定了數學教師的教學不只是知識的傳授，還應該把知識活學活用，讓數學知識走向生活，服務生產，服務社會。

（責編 金 東）