數(shù)學(xué)的通性通法在教學(xué)中的運用

孫克紅

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強的科學(xué)，首先，任何一個數(shù)學(xué)概念和規(guī)律都是包含在一定的知識體系當中。只有深刻地理解了所有概念、規(guī)律的關(guān)系，以及他們在整個數(shù)學(xué)知識體系中的地位和作用，理解才夠深刻，記憶才會牢固，運用才會得心應(yīng)手。其次，在一定范圍內(nèi)的概念和規(guī)律，也有主次之分。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要掌握個別的概念和規(guī)律，而且要掌握其知識體系；不僅要掌握知識體系而且要突出重點、難點，以點帶面，抓住知識的“綱”，做到“綱舉目張”。

數(shù)學(xué)的通性通法就是數(shù)學(xué)系統(tǒng)知識的“綱”。例如，集合和邏輯語言的運用；設(shè)未知數(shù)列方程或不等式問題原理；函數(shù)關(guān)系的建立與研究；數(shù)形結(jié)合；配方法；待定系數(shù)法；立體問題的平面轉(zhuǎn)化等等。數(shù)學(xué)的通性通法，還說明在研究自然科學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、經(jīng)濟、政治中的實際問題時，需要從事物的定量分析中將其數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，再利用模型來解決這類問題。其過程是：實際問題——數(shù)學(xué)化——數(shù)學(xué)模型——檢驗——應(yīng)用。

因此，馬克思說：“一種科學(xué)只有在成功地運用數(shù)學(xué)時才能達到真正完美的境地。”在這里我們只探討數(shù)學(xué)通性通法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、注意知識的系統(tǒng)性，形成知識體系

不少數(shù)學(xué)知識、概念和規(guī)律在出現(xiàn)時具有一定的離散性，如果教師不能系統(tǒng)地加以把握，那么學(xué)生得到的就是一些零星、孤立、毫無聯(lián)系的東西，既不利于理解，又容易遺忘。

例如，“距離”這個概念，從初二“兩點間的距離”開始，到立體幾何中“兩條異面直線間的距離”，再到解析幾何中“點到直線的距離”和“兩條平行線之間的距離”，概念的延續(xù)和拓展時間達四年之久，如果教師在教學(xué)中不能將新舊知識系統(tǒng)化，教學(xué)效果將大打折扣。

再如，對于“數(shù)”的學(xué)習(xí)和認識，從小學(xué)的“自然數(shù)、整數(shù)、分數(shù)”到初中的“有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)”，再到高中的“復(fù)數(shù)”，學(xué)習(xí)時間前后多達11年之久。如果數(shù)學(xué)教師在高中的教學(xué)階段中不能把集合和復(fù)數(shù)的概念加以系統(tǒng)化，形成“數(shù)”的體系，那么學(xué)生在解決“數(shù)集”的問題時，必然會遇到困難而錯誤百出。

二、教給學(xué)生推導(dǎo)方法

對于一些公式的學(xué)習(xí)，在學(xué)生學(xué)好基本公式的基礎(chǔ)上，教師可教給學(xué)生必要的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生從根本上理解、掌握、運用和記憶這些公式。這樣既減輕學(xué)生的記憶負擔(dān)，又讓學(xué)生學(xué)到了方法。

例如，由直線方程的點斜式推導(dǎo)斜截式、兩點式、截距式；由余弦的和角公式推導(dǎo)余弦的差角、倍角、半角公式，再推導(dǎo)正弦的差角、和角、倍角、半角公式，再推導(dǎo)正切的差角、倍角、半角公式等。

三、根據(jù)數(shù)學(xué)的通性通法，進行數(shù)學(xué)概括

根據(jù)數(shù)學(xué)的通性通法，將一些表面上沒有聯(lián)系，但又具有共性的公式、定理、性質(zhì)加以概括。

例如，由圓的任意方程和圓心在原點的方程之間的關(guān)系，推導(dǎo)和記憶坐標平移公式；在解析幾何中，根據(jù)圓錐曲線的定義推導(dǎo)和記憶它的標準方程、性質(zhì)等。將誘導(dǎo)公式總結(jié)為“縱變橫不變，符號看象限”：1.當角的終邊在縱坐標軸Y軸上（即90度、270度）時，函數(shù)名稱變?yōu)樗挠嘞液瘮?shù)；當角的終邊在橫坐標軸X軸上（即0度、180度、360度等）時，函數(shù)名稱不變；2.所得三角函數(shù)的符號，根據(jù)原角所在象限的原三角函數(shù)的名稱來確定（-a看做是0-a，四象限）。

四、將某類問題的解法、步驟進行歸納，提出解決問題的“通法”

例如，一元二次不等式的解法步驟：

1.將原有不等式化為ax+bx+c>0：或者ax+bx+c<0的形式；

2.如二次項的系數(shù)a為負，則化為正；

3.根據(jù)相應(yīng)的一元二次方程ax+bx+c=0的解的情況及不等號，求解并寫出集合的形式等。

再如，求任意角的三角函數(shù)數(shù)值的步驟：

1.如果角為負值，則利用引導(dǎo)公式“-a”化為正角；

2.如果角的值大于360°，則利用引導(dǎo)公式“k×360°+a”化為0°到360°的角；

3.若角不是銳角，再利用“180°±a”“360°-a”或者其他誘導(dǎo)公式化為銳角，并求值。

五、聯(lián)系實際，特別是聯(lián)系學(xué)生的專業(yè)實際

數(shù)學(xué)的特點之一是抽象，正因為有高度的抽象性，所以才有廣泛的應(yīng)用性。我們有理由認為并強調(diào)“數(shù)學(xué)只有當它應(yīng)用到各個學(xué)科時，才能顯示出它的生命力，才能得到進一步發(fā)展”。正如我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)學(xué)是一個原則，無數(shù)內(nèi)容；是一種方法，到處可用。”可是，現(xiàn)在不少教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很不注意聯(lián)系實際生活實踐。這樣使得本來具有廣泛使用價值的數(shù)學(xué)學(xué)科失去了本來的價值，成為教育的擺設(shè)，變成了無源之水、無本之木。學(xué)生既不知道為什么學(xué)數(shù)學(xué)，造成學(xué)生學(xué)習(xí)中缺乏興趣；也不知道如何學(xué)習(xí)，造成本來抽象的知識無法理解、無法掌握；更不知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么價值、用途，成了書呆子。

聯(lián)系實際，一是聯(lián)系學(xué)生專業(yè)實際，讓學(xué)生看到并體會到數(shù)學(xué)知識在專業(yè)上的應(yīng)用的廣泛性，理解數(shù)學(xué)知識和技能對于思維能力訓(xùn)練、專業(yè)技術(shù)形成的重要作用。這就需要教師善于學(xué)習(xí)，不僅要熟悉數(shù)學(xué)教材，而且對于學(xué)生的專業(yè)知識也要有所了解。二是聯(lián)系社會生活和學(xué)生思想實際，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)知識是從自然科學(xué)工程技術(shù)乃至農(nóng)業(yè)、商業(yè)、經(jīng)濟、政治的實際生活中概括、抽象、提煉出來的，具有廣泛的、一般的科學(xué)規(guī)律。同時，數(shù)學(xué)又對其他學(xué)科的發(fā)展起著指導(dǎo)和推動作用。這就要求教師不僅要接觸學(xué)生、了解學(xué)生，而且要從日新月異的現(xiàn)代化建設(shè)中吸取有益的營養(yǎng)。

數(shù)學(xué)要聯(lián)系實際，是對于整個數(shù)學(xué)教學(xué)體系而言，在整個知識系統(tǒng)中將必要的數(shù)學(xué)知識生活化，這是可能的，也是必要的。有些數(shù)學(xué)知識可以直接和學(xué)生的其他專業(yè)知識（化學(xué)、物理、生物、地理等）發(fā)生直接的聯(lián)系，有些則只是間接地聯(lián)系。如果每一個概念和規(guī)律都和實際相聯(lián)系那是不可能的，也是沒有必要的，數(shù)學(xué)教師不能把聯(lián)系實際庸俗化。

最后，聯(lián)系實際要從學(xué)生的實際水平出發(fā)，也就是聯(lián)系的實際應(yīng)該是學(xué)生在生活和學(xué)習(xí)過程中已有的知識，或者雖然沒有但是經(jīng)過教師介紹能夠接受的知識，不要去聯(lián)系那些專業(yè)性太強的，不是學(xué)生認知范圍的知識領(lǐng)域。專業(yè)性太強、學(xué)生不易理解的內(nèi)容就會在課堂教學(xué)中喧賓奪主。數(shù)學(xué)學(xué)科的特點決定了數(shù)學(xué)教師的教學(xué)不只是知識的傳授，還應(yīng)該把知識活學(xué)活用，讓數(shù)學(xué)知識走向生活，服務(wù)生產(chǎn)，服務(wù)社會。

（責(zé)編 金 東）