隨機參數汽車盤式制動器的穩定性分析

呂 輝， 于德介

(湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室， 湖南 長沙 410082)

引 言

汽車制動噪聲已成為城市的主要噪聲污染源之一。如果汽車的制動器系統在工作過程中處于不穩定狀態，就可能引起強烈的振動，并形成刺耳的噪聲。

汽車制動噪聲的頻率范圍很廣，尤其以1～16 kHz之間的尖叫聲最困擾乘客的聽覺，嚴重影響車輛的舒適性和環保品質[1]。針對汽車制動噪聲問題，不少學者通過對制動器系統的復特征值進行分析來判斷系統的穩定性，從而預測制動噪聲的產生趨勢。隨著計算技術發展，基于有限元的復特征值分析方法已成為一種研究制動器系統穩定性的有效方法[2,3]。宿等針對影響制動噪聲關鍵子結構的動態特性[4]，按照關鍵子結構動態特性預定的設計或修改設計方向和目標，在有限元方法的基礎上，采用罰函數法與變尺度法相結合優化子結構設計參數，以達到抑制噪聲的目的。該研究將系統的各參數作為確定性參數進行研究，沒有考慮參數不確定性的影響。Liu等建立了汽車盤式制動器系統的耦合有限元模型[5]，通過求解制動器系統的復模態，分析了各參數對系統穩定性的影響。Liu等在分析各參數對系統穩定性的影響時，先假定系統其他參數不變，再對某一參數進行一系列取值，利用有限元軟件求解出主要不穩定模態的阻尼比，從而得出該參數與系統穩定性之間的相互關系。由于該方法需要多次調用有限元模型進行求解，因此計算工作量較大。

工程實際中，材料特性、幾何尺寸和作用載荷等參數往往具有不確定性，只有考慮各設計參數的不確定性，才能更好地反映工程實際[6,7]。同時，對工程研究模型進行參數化，可大大減小計算量，避免重復調用工程模型，提高研究效率。響應面法就是其中一種基于試驗設計[8]，可快速實現參數化的研究方法，并已廣泛運用于汽車材料和工藝等方面。

本文將隨機參數引入到汽車盤式制動器的穩定性研究中，采用隨機參數對制動器的不確定性進行描述，并將響應面法與有限元復特征值技術相結合，實現了制動器穩定性模型的參數化，進而根據參數化下系統特征值的隨機特性對系統穩定性進行分析。對某車的浮鉗盤式制動器系統進行研究，分析了隨機參數正態分布假設下系統特征值的概率統計特性和參數概率靈敏度，結果表明通過修改制動器系統支撐背板厚度以提高支撐剛度，可有效提高系統的穩定性，從而減小制動噪聲產生。

1 汽車盤式制動器穩定性理論

以汽車盤式制動器為研究對象，其簡化結構如圖1所示，其中制動盤固定在車輪上，隨車輪轉動；2個制動片分別裝在制動盤的兩側，并牢固地粘在支撐背板上。汽車制動過程主要是通過活塞將液壓力加載到制動片上，再通過制動片擠壓轉動中的制動盤，由此產生摩擦阻力而達到減速效果。

圖1 盤式制動器簡化結構

制動器工作時，系統引入了摩擦力，導致系統為一個耦合系統，其振動方程可以表示為[9]

(1)

式中M，C，K分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；u為振動位移向量；F為制動盤和制動片接觸表面的摩擦接觸力，其可以簡化為以下線性形式[9]

F=Kfu

(2)

式中Kf為摩擦接觸剛度矩陣。將式(2)代入式(1)，可得

(3)

由式(3)可以看出，由于摩擦力的存在導致了系統剛度耦合，系統的剛度矩陣不對稱。剛度矩陣不對稱則意味著特征矩陣不對稱，而不對稱矩陣的特征值在一定條件下是復數，即系統各階模態頻率和模態振型都是復數。

式(3)的解可寫成如下形式

u=φest

(4)

式中φ為特征向量，s為特征值。上式代入式(3)，可得

(s2M+sC+(K-μKf))φ=0

(5)

對該方程求解可得特征值和特征向量。

系統第i階特征值可表示為

si=αi+jβi

(6)

式中αi為第i階特征值的實部，是系統的阻尼系數；βi為第i階特征值的虛部，是系統的自然頻率。

與第i階特征向量對應的系統響應可表示為

ui=φieαitcosβit

(7)

參考文獻[5]，定義系統第i階阻尼比

(8)

如果阻尼比為正，阻尼消耗能量，系統是一個典型的振動衰減系統，系統是穩定的。如果阻尼比為負，阻尼不耗散能量反而向系統中饋入能量，形成自激振動現象，并使得系統隨時間推移而放大振動，從而可能形成噪聲。因此可以根據系統的阻尼比判斷系統的穩定性，預測出現制動噪聲的趨勢。

2 隨機參數制動器的穩定性研究

2.1 隨機參數下特征值的統計特性

(9)

(10)

(11)

參考文獻[10]，本文中取ζc=-0.01。

制動器系統的穩定程度取決于阻尼系數αi和阻尼比ζi的概率分布。

2.2 隨機參數下系統特征值的靈敏度

為研究隨機參數對系統特征值的影響，與確定性靈敏度分析對應，本文針對特征值引入靈敏度分析。特征值實部的靈敏度表示為

(12)

式中αi為第i階特征值的實部，是系統的阻尼系數；Sαi為靈敏度，為隨機分布參數；xm為第m個隨機參數。類似地，阻尼比對隨機參數的靈敏度為

(13)

進行靈敏度分析時，需要先對變量進行標準化，以消除量綱、變量自身變異和變量數值大小的影響。將變量標準化為

(14)

2.3 隨機參數下制動器穩定性分析

本文將隨機參數引入到汽車盤式制動器穩定性研究中，用隨機參數對制動器的不確定性進行描述，提出了一種隨機參數汽車盤式制動器的穩定性分析方法。其主要步驟為:

(1)基于制動器系統的有限元模型，在隨機參數不確定空間范圍內進行試驗設計，求出系統對應各組樣本點的各階特征值；

(2)選擇特征值實部大于0的特征值為目標特征值，建立系統目標特征值的參數化響應面模型；

(3)采用蒙特卡洛方法對目標特征值的隨機特性和目標特征值對隨機參數的靈敏度進行分析；

(4)根據目標特征值的隨機特性和目標特征值對隨機參數的靈敏度研究各參數對制動器系統穩定性的影響，并從可靠性的角度提出提高系統穩定性的改進方案。

本文方法的具體分析流程如圖2所示。

圖2 隨機參數制動器的穩定性分析流程

3 算例研究

3.1 汽車盤式制動器參數化模型

汽車制動器是由多個部件組成的系統，以盤式制動器為研究對象，主要的部件有制動盤、制動片、支撐背板、絕緣板、卡鉗、分泵和油管等。由于制造精度和加工工藝的影響，部件的幾何尺寸和系統的作用載荷等參數存在一定的波動性，具有不確定性。

為了減少計算工作量，同時又能真實準確地模擬制動器的振動特性，本文利用Altair. Hypermesh軟件建立了某型轎車的制動器有限元簡化模型，如圖3所示。

圖3 制動器有限元模型

簡化模型由制動盤、制動片、支撐背板和絕緣板四部分組成，共劃分成26 125個實體單元，37 043個節點，其中六面體單元(C3D8)數量為25 041，五面體單元(C3D6)數量為1 084，制動片與制動盤之間為摩擦接觸面，整個系統為一個摩擦耦合系統。將定義好邊界條件和工況的有限元模型提交ABQUS/Standard，即可求解系統復域的各階特征值。

文獻[5]的研究表明，在盤式制動器系統中，摩擦系數x1、制動壓力x2、制動片厚度x3、制動盤厚度x4和支撐背板厚度x5這些參數都與系統的穩定性有關，因此本文采用拉丁超立方試驗設計方法在這些參數組成的取值范圍空間內采樣[11]。拉丁超立方試驗設計方法是一種用來安排多因素試驗的方法，常用于大型采樣設計空間。它可以用較少的試驗次數提供更多的信息，降低試驗誤差。

工程實際中常用正態分布來描述零部件幾何厚度和邊界載荷的分布情況，假定所有隨機變量均服從正態分布，其取值情況如表1所示。

表1 隨機變量的參數值及分布類型

抽取50組樣本點代入到制動器系統有限元模型中進行計算，求出0～16 kHz范圍內的系統特征值及相應的阻尼比，發現系統對應各組樣本點的第7階特征值實部均大于0，為不穩定特征值；各樣本點還在其他階次上出現不穩定特征值，但其阻尼比都遠比第7階阻尼比小，因此本文將第7階特征值作為目標特征值進行研究。某一樣本點下，系統0～16 kHz范圍內的所有特征值分布如圖4所示。

圖4 某樣本點下系統的特征值分布

在上述試驗設計的基礎上，建立第7階特征值的參數化模型。基于二階多項式響應面模型建立的第7階特征值實部和虛部的近似表達式如下

(15)

(16)

式中α7，β7分別為第7階特征值的實部和虛部；xi(i=1,2,3,4,5)為系統變量。

根據文獻[11]的方法對上述響應面模型進行顯著性分析，由F檢驗結果可知響應面模型的不可靠概率小于1%，與真實有限元模型的逼近程度高，能夠用于后續分析研究。

3.2 特征值的統計特性

蒙特卡洛法，也稱統計模擬方法，作為求解工程問題的重要方法之一，對仿真問題的維數不敏感，且不受任何假設的約束，可通過大量的隨機抽樣獲取較高的求解精度，具有很強的適用性[12]。

使用蒙特卡洛法迭代104次，可得系統第7階特征值的概率分布如圖5所示。

圖5 第7階特征值的概率分布

計算得第7階特征值的均值、標準差和分布區間如表2所示。

表2 第7階特征值計算結果

3.3 特征值概率靈敏度

為了考察隨機參數變量對目標特征值的影響，圖6給出了第7階特征值對各變量的靈敏度分布。

圖6 目標特征值的靈敏度分析

由圖6(a)可知:

(1)從區間分布上看，特征值實部對支撐背板厚度變量x5的靈敏度分布在恒為負值的區間中；對制動壓力變量x2和制動片厚度變量x4的靈敏度分布在恒為正值的區間中；對摩擦系數變量x1和制動盤厚度變量x3的靈敏度分布在正負結合的區間中，關系較復雜。

(2)從分布均值上看，特征值實部對支撐背板厚度變量x5的靈敏度最高，x2和x4次之，x1和x3最低。

對圖6(b)分析可得出類似的結論。

算例中目標特征值實部恒為正值，理論上應該將其消除或者負值化，以從根本上提高穩定性，但是這樣處理成本往往較高，工程上常通過減小實部的大小，將特征值在復平面上左移，以降低其不穩定性。結合前面的靈敏度分析可知，通過修改支撐背板的厚度以提高支撐剛度是最有效和直接的方法，這與已有文獻[13]的研究結論是相吻合的。

3.4 系統穩定性的提高和驗證

為了考察支撐背板的厚度對目標特征值的影響，選取一系列x5均值，其他參數均取為初始值，重新構建適用于最大設計空間的響應面模型，求出對應的目標特征值，結果如圖7所示。

圖7 不同支撐背板厚度下系統的目標特征值分布

圖8 第7階復模態有限元分析結果

為了驗證分析結果的有效性，在其他參數均取初始值的情形下，對比x5=7.5 mm和x5=5.75 mm兩種取值下系統在0～16 kHz范圍內的復特征值分布，結果如圖9所示。從圖中可以看出改進設計后系統特征值分布更集中，阻尼比值更小，系統穩定性更高。

圖9 改進前后系統的復特征值分布對比

4 結 論

(1)本文將隨機參數引入到汽車盤式制動器穩定性研究中，使用隨機參數對制動器的不確定性進行描述，將響應面法與有限元復特征值技術相結合，實現了制動器穩定性研究模型的參數化，大大提高了分析效率。

(2)在系統參數正態分布假設下，研究了某型車浮鉗盤式制動器系統特征值的概率統計特性，通過對設計參數的概率靈敏度分析，發現通過修改支撐背板的厚度變量，提高支撐剛度可有效提高系統的穩定性。

參考文獻:

[1] Dai Y， Lim T C. Suppression of brake squeal noise applying finite element brake and pad model enhanced by spectral-based assurance criteria[J]. Applied Acoustics，2008，69(3)：196—214.

[2] Fritz G， Sinou J J， Duffal J， et al. Effects of damping on brake squeal coalescence patterns application on a finite element modal[J]. Mechanics Research Communication，2007，34(2)：181—190.

[3] Nack W V. Brake squeal analysis by finite elements[J]. International Journal of Vehicle Design，2000，23 (3/4)：263—275.

[4] 宿新東，管迪華.利用子結構動態特性優化設計抑制制動器尖叫[J].汽車工程，2003,25(2)：167—170.Su Xindong， Guan Dihua. Reduction of brake squeal using substructure dynamic characteristics optimization[J]. Automotive Engineering，2003，25(2)：167—170.

[5] Liu P， Zheng H， Cai C. Analysis of disc brake squeal using the complex eigenvalue method[J]. Applied Acoustics，2007，68(6)：603—615.

[6] Oberst S， Lai J C S. Statistical analysis of brake squeal noise[J]. Journal of Sound and Vibration，2011，330 (12)：2 978—2 994.

[7] Sarrouy E， Dessombz O， Sinou J J. Piecewise polynomial chaos expansion with an application to brake squeal of a linear brake system[J]. Journal of Sound and Vibration，2013，332(3/4)：577—594.

[8] Myers R H， Montgmery D C， Anderson C M. Response surface methodology-process and product optimization using designed experiment[M]. New York：Wiley Publishers，2009.

[9] Junior M T， Gerges S N Y， Jordan R. Analysis of brake squeal noise using the finite element method[J]. Applied Acoustics，2008，69(2)：147—162.

[10] 呂輝，于德介，謝展，等.基于響應面法的汽車盤式制動器穩定性優化設計[J].機械工程學報，2013，49(9)：55—60.Lü Hui， Yu Dejie， Xie Zhan, et al. Optimization of vehicle disc brakes stability based on response surface method[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2013，49(9)：55—60.

[11] Papilla M. Accuracy of response surface approximations for weight equations based on structural optimization[D]. Gainesville：University of Florida，2001.

[12] Zhang H， Mullen R L， Muhanna R L. Interval Monte Carlo methods for structural reliability[J]. Structural Safety， 2010，32(3)：183—190.

[13] Nouby M， Mathivanan D， Srinivasan K. A combined approach of complex eigenvalue analysis and design of experiments (DOE) to study disc brake squeal[J]. International Journal of Engineering， Science and Technology，2009，1(1)：254—271.