板殼結構加強筋仿葉脈分布聲輻射優化研究

史冬巖， 顏鳳眠， 韓家山， 石先杰

(哈爾濱工程大學機電工程學院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

引 言

板殼結構有著優異的傳力性能，能夠形成剛度大、承載強的承重結構，由于其易于加工和輕量化的優點被廣泛應用于航空航天、汽車制造和船舶工業等領域。但是板殼結構一般都具有剛度較小、撓度較大、穩定性較差、易產生振動噪聲等缺陷，而通常選擇在板殼結構上布置加強筋，以增加少量材料的代價顯著提高結構的靜動態穩定性，降低結構的振動及聲輻射，減少機械噪聲。傳統的加強筋布置方式未經過系統的優化設計，一般是保守的規則分布。近年來隨著以材料分布為目標的拓撲優化理論的不斷完善，加強筋分布設計問題被轉換為材料的分布問題，如將均勻化、漸進優化、變密度等拓撲優化方法應用到加強筋的分布優化設計中[1～4]。但是采用這些方法不僅易出現棋盤格式、網格依賴性、局部極值等問題，而且由于其為連續拓撲優化方法，所得結果是結構加強的區域，需要經過設計者的處理才能轉換成最終的布局方案，應用受限。采用仿生物組織結構形態設計的離散拓撲優化方法為問題的解決提供了一個新的思路。丁曉紅等基于植物根系形成機理提出自適應成長技術對加筋板的布局進行了優化[5]，并以提高基頻為優化目標進行了抗振優化設計[6]，薛開等根據植物葉脈脈序形成的結構力學提出了仿生脈序生長算法對板殼結構進行了加強筋分布設計[7]。目前已有的離散拓撲優化方法多為對板殼結構加強筋分布的靜力和模態頻率優化設計，針對動態響應如振動聲輻射等的研究比較少[8]。

本文將葉脈脈序形成機理應用于基于聲輻射優化的板殼結構加強筋分布布局優化問題中，提出了一種加強筋仿葉脈布局的聲輻射優化算法，對板殼結構加強筋的布局進行了研究。

1 加強筋仿葉脈分布原理

利用仿生技術進行產品的設計往往可以突破現有工程設計中的瓶頸，使產品獲得最佳的性價比，這是由于生物的組織結構和形態在其不斷的進化中達到了最優的結果，因而在應用仿生技術進行產品設計之前，充分理解生物規律并建立從生物組織結構形態的形成機理到工程設計過程的聯系顯得十分的重要。

在植物葉脈脈序的生物性研究中，雙子葉植物以等級和網狀的脈序最具有代表性[9]。李永欣等對不規則加筋板與雙子葉植物的相似性進行了分析[10]，并進行了靜載作用下加強筋的仿葉脈布局設計，獲得了很好的結果。本文在其研究的啟發下嘗試將葉脈脈序形成機理應用于加強筋布局的聲輻射優化問題之中。

雙子葉植物脈序具有明顯的拓撲特點。從宏觀幾何拓撲的角度來看，雙子葉植物脈序主要有以下特點：

1) 葉脈是由不同直徑的脈絡構成的分級結構。主脈是最粗且最早生長的，從根部延伸到邊緣頂端，分布形式與葉片的形狀有關；次脈在主脈兩側分布,直徑相對主脈要細小一些。

2) 脈絡趨向于形成閉環和網狀結構，次脈從主脈處開始生長，在接近邊緣處和其他次脈或主脈形成閉環。

3) 在形成葉脈的過程中，葉片中的脈絡結構大致保持均勻分布。

本文研究的是板殼結構加強筋仿葉脈布局優化問題，為了能夠合理、充分地利用脈序生長規律，首先應該對植物脈序規律進行總結，并以此為基礎形成加強筋的仿生形態力學模型；其次為了有效地模擬葉片的脈序，在離散板梁結構上對布局優化模型進行描述；最后利用仿葉脈布局優化方法指導結構的優化設計。以上3個步驟便是描述加強筋仿葉脈分布原理的仿生、結構、算法3個部分。加強筋仿葉脈分布原理如圖1所示。可以看出，板梁理論模型是研究基礎，植物脈序規律是關鍵，而仿葉脈的布局優化方法是主體。

圖1 加強筋仿葉脈分布原理

2 加筋板振動聲輻射模型

對于加筋板殼結構，振動聲輻射功率為

(1)

單頻振動時有

(2)

式中R為結構上的點，Is為點聲強，P(R)和Vn(R)分別代表聲壓和法向振動速度,T表示轉置；*表示共軛。

對處于無限大障板上的板，利用Rayleigh積分公式可以得到板表面任一點聲壓與法向速度的關系為

(3)

(4)

因此，加筋板聲輻射功率可以表示為

(5)

利用四節點等參單元對結構進行離散，劃分為Ne個單元，N表示等參單元的形函數，Pel和Vel分別為單元節點的聲壓向量和法向振速向量，則結構的聲輻射功率又可表示為

(6)

3 加強筋仿葉脈分布聲輻射優化算法

3.1 優化模型的建立

本文采用有限元方法對板殼加筋結構進行振動分析。加筋板的有限元模型為板梁離散模型，結構的單元剛度矩陣與單元質量矩陣分別由板單元和考慮偏心的梁單元的剛度與質量矩陣組成。

在優化算法中，結構中所有離散的節點被視作加強筋的待生長點，每個節點在生長時只與其附近的節點建立聯系。對薄板上加強筋的布局優化主要是對加強筋所處的位置和加強筋尺寸參數進行設計，以便獲得合適的離散集合，從而使結構的聲輻射最小化，該集合包含加強筋分布的節點順序集合和加強筋尺寸參數的離散集合。同時，為了滿足結構性能要求以及結構的輕量化要求，還必須確定合理的約束條件，包括聲學性能要求、力學性能要求、重量要求等。因此，薄板加強筋布局的聲輻射優化模型可以表示如下：

(1)目標函數

采用結構聲輻射功率作為優化模型的目標函數，考慮到結構聲輻射功率是頻率的函數，其大小隨著頻率的變化而變化。因此對聲輻射功率在一個頻段內的優化應該視作對這一頻段內的平均聲輻射功率進行優化，這樣對某一頻段的聲輻射功率進行優化的目標函數可以用如下平均聲輻射功率來表示

(7)

式中W(ω)表示在頻率ω處的聲輻射功率，ω1和ω0分別為優化頻段的上下限。

(2)設計變量

在結構優化中以加強筋節點的有序集合和加強筋的寬度尺寸作為設計變量，其設計域分別為加強筋節點的任意序列集合和加強筋尺寸參數限制區間，可以將設計變量表示如下

(8)

(3)約束函數

以結構響應和重量限制為約束函數，則分別體現為對單元或者節點的應力值、結構的重量等約束，可以將約束函數表示如下

(9)

式中G0為重量的最大許用值，h1和h0分別為結構響應的上下限。

3.2 加強筋生長準則

加強筋仿葉脈分布設計的關鍵在于合理地將植物脈序規律應用于加強筋的生長規則之中，本文在進行加強筋的生長時采用從主脈到次脈的脈序生長形式，其生長準則如下：

(1)主脈生長準則

本文采用板梁組合模型進行加筋板結構分析，結構的變形能由彈性變形能和耦合能組成。由于模擬加筋薄板的板-梁組合結構為離散結構，結構耦合能量為零，因此結構的變形能可以用彈性變形能來表示。

在優化頻帶內，變形能均值可以表示為

(10)

因此，在一個板殼元上增加一個新梁元的應變能對體積增量的靈敏度可以表示為

(11)

式中K為單元整體剛度矩陣，由板殼單元剛度矩陣和偏心梁元剛度矩陣組成。

這樣，待生長點的應變能靈敏度所成集合{α1,α2,…,αn}中的最大值對應的待生長點就是下次主脈的生長點。

(2)次脈生長準則

在脈絡形成的重塑時期，剪應力對于分岔處脈絡的幾何平衡關系起著決定性的作用。粘性較大的脈細胞壁導致了脈細胞和基細胞間切向拉伸力的產生，此拉伸力使得脈細胞的方向稍作調整，最終滿足矢量平衡關系[17]。在結構力說看來，葉脈的生長與樹干纖維分布一樣[18]，都是為了消除剪應力，因此可采用剪應力靈敏度作為次脈生長準則。

考慮優化頻率范圍內三向應力狀態下生長點i周圍的局部剪應力τi，其表達式為

(12)

其對體積的靈敏度為

(13)

在待生長點的剪應力靈敏度組成的集合{β1,β2,…,βn}中選擇最大值點作為次脈的下一個生長點。

3.3 優化流程

基于聲輻射最優的板殼結構加強筋布局優化流程如圖2所示。首先建立結構的有限元模型，得到優化頻帶內的應變能和剪應力等生長準則所需物理量，同時對算法中基本參數進行優化設置；其次根據自適應成長設計法中關于種子選取的結論[5]，在確定種子位置時，主脈種子位置優先選擇在載荷作用點，邊界交接點和邊界中點，次脈種子位置則選擇在主脈上的剪應力極值點。主、次脈的生長嚴格按照生長準則進行，在繼續生長之前需要更新加強筋生長環境，而終止條件則包括：遇到邊界，滿足收斂精度，達到體積約束量等。最后的脈序化簡則是采用最小二乘法擬合加強筋的形線，并結合加強筋分岔點處各條脈絡的寬度向量所組成的矢量平衡方程:Ri=-(R1+R2+…+Ri-1+Ri+1+…+Rn)來確定加強筋寬度。對于少數無法直接確定寬度的筋脈還應進行局部的長度、寬度和角度的調整，以達到要求。

圖2 聲輻射優化流程

4 數值算例及分析

為了驗證本文算法的合理性，基于聲輻射最優分別對典型四邊固支的方板和矩形板進行加強筋布局優化設計，并對結果進行討論分析。

4.1 四邊固支方板

中心受集中載荷的四邊固支方板如圖3所示，方板邊長L=0.8 m，厚度t=0.01 m，加強筋的主脈初始寬度為0.01 m，高度0.016 m，次脈寬度為0.005 m，高度與主脈相同。簡諧激勵幅值F=1 N，結構材料均為鋼，密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比為0.3，聲速為340 m/s，空氣密度為1.225 kg/m3，聲功率參考值取W0=10-12W，優化頻段范圍為0～1 200 Hz。

圖3 四邊固支方板

主脈生長初始種子的位置選擇在載荷作用點，次脈生長的種子位置則選擇在主脈上的剪應力極大值點，由于邊界條件及載荷作用位置具有對稱性，因而種子成對稱生長。根據算法優化設計得到原始的加強筋分布如圖4(a)所示，主脈由中心處的種子位置向四邊延伸，次脈則是在主脈上開始分支，一直生長到邊界處，整體的分布類似與植物葉脈的脈序形態。圖4(b)為經過脈序簡化后的加強筋最終布局，各段脈絡的寬度尺寸在得到合理地調整之后可以用集合表示為{0.020 5 m，0.012 6 m，0.01 m，0.005 m，0.002 1 m}，在圖中采用脈絡的相對粗細進行表示。可以看到，通過對脈序分布的擬合并進行矢量平衡，同時對局部區域進行微調，最終布局充分的保持了原始分布形態特點，是對原有布局的合理簡化。

圖4 加強筋布局結果

圖5 傳統加筋布局方板

考慮到目前傳統的聲輻射優化加筋方式多為正交，等間距，垂直排列等規則加筋，因此將最終布局結果的聲輻射性能與采用相同體積約束量的傳統加筋布局方板(如圖5所示)進行比較，結果曲線對比如圖6所示。從整個優化頻帶來看，聲輻射功率峰值相對于優化前降低并且向高頻方向移動，這是結構剛度得到提高，振動得到抑制，模態頻率增加的結果；同時本文方法所得聲輻射結果要優于傳統加筋方法，考慮到前面的形態分布結果，可以認為本文提出的優化方法是正確的。

圖6 聲輻射功率曲線對比

4.2 四邊固支矩形板

矩形板中心點受垂直板面向外的簡諧載荷作用，其四邊固支，如圖7所示。矩形板長L=0.6 m，寬B=0.4 m，厚t=0.001 5 m，加強筋主脈初始寬度為0.001 5 m，高度0.01 m，次脈寬度為主脈一半，高度與主脈相同。簡諧激勵幅值F=4 N，結構材料均為鋼，密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，聲速340 m/s，空氣密度1.225 kg/m3，聲功率參考值取W0=10-12W，優化頻帶范圍為1 000～1 400 Hz。

圖7 四邊固支矩形板

主脈種子位置在載荷作用處，次脈種子為主脈的剪應力極值點。得到的加強筋分布原始結果如圖8(a)所示，由于幾何和力學特性以及優化頻帶范圍的差別，矩形板所得結果與前面方板結果有著顯著的差異，但它們仍然有著相同的特點，即加強筋的形態分布類似葉脈的脈序，這充分驗證了本文方法利用植物脈序規律的合理性。

圖8 加強筋布局結果

圖8(b)為經過脈序簡化后的結果，各段脈絡的寬度尺寸在得到合理地調整之后可以用集合表示為{0.004 3 m，0.001 5 m，0.001 2 m，0.000 75 m}，在圖中則采用脈絡的相對粗細進行表示。將其與圖9所示的文獻[8]優化結果進行對比分析，其聲輻射功率對比曲線如圖10所示。從圖10可以看出，采用本文方法所得結果有效降低了優化頻段內的峰值，雖然在局部頻帶內聲輻射功率大于文獻優化解，但從整個優化頻段來看對聲輻射性能的改善相對文獻解優化來說是較為明顯的，因此可以認為采用本文方法進行加強筋布局的聲輻射優化設計是合理有效的。

圖9 文獻[8]加筋布局優化結果

圖10 聲輻射功率曲線對比

5 結 論

針對目前聲輻射最優板殼結構加強筋布局優化問題的相關研究較少的現狀，提出了一種基于植物葉脈脈序分布規律的加強筋布局優化設計方法。本文方法基于有限元和離散拓撲優化方法，并合理利用了植物脈序規律，適用于基于聲輻射最優的板殼結構加強筋分布的優化設計。算例設計結果表明，加強筋的分布主次分明，與植物葉脈脈序形態保持一致，并且適于加工，整個優化頻帶內的聲輻射功率降低，相對傳統加筋和已有的其他方法改善的效果顯著，本文方法可以應用于實際工程中的一些板殼結構優化。

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