含區間參數的結構-聲耦合系統可靠性優化設計

王 沖， 邱志平， 吳 迪， 王曉軍

(1.北京航空航天大學固體力學研究所， 北京 100191；2.中國運載火箭技術研究院研究發展中心， 北京 100076)

引 言

振動和噪聲控制是工程設計時經常要考慮的重要方面，通常希望降低有害振動和噪聲的幅值以提升系統的安全性和舒適性。復合材料結構因為其比強度高、比剛度大、材料性能可以設計等一系列優點，在航空航天、船舶、汽車等工業部門有著廣泛的應用。近年來，國內外對于復合材料層合板的聲振環境預測的研究越來越多，Yin研究了雙周期平行加肋復合材料層合板在點激勵以及無限流體加載下的聲輻射問題[1]。文獻[2]采用復合材料結構有限元和體邊界元耦合分析方法，研究了復合材料層合板結構的聲特征值問題。Jeyaraj提出在熱環境下，通過考慮材料固有阻尼來研究復合材料層合板振動和聲學響應特性[3]。對結構聲學優化的研究，目前主要局限于殼類結構。文獻[4]基于矩形結構-聲場耦合有限元模型，對加強筋進行了拓撲優化設計，降低了設計域點的聲壓級。Marburg對基于邊界元法的結構聲學優化的目標函數、設計參數及聲學敏度進行了詳細的描述，提出了一種稱為“半分析敏度”的聲敏度計算公式[5]。文獻[6]對夾芯復合材料的聲輻射優化問題進行了研究，Xu研究了復合材料層合板的聲學特性，并利用拓撲手段對結構進行了優化設計[7]。

在實際工程當中，材料物理參數和邊界條件不可避免地受到多種不確定性因素的影響，由此引起結構振動聲輻射呈現一定程度的不確定性。Bhat研究了機身結構在湍流邊界層作用下的聲輻射內場問題，并提出了相應的降噪措施[8]。Liu給出了基于有限-邊界元方法和虛擬激勵原理的隨機結構振動聲輻射靈敏度問題解決方法[9]。在高頻域階段，Culla用概率的方法研究了隨機參數對功率流平衡方程的影響[10]。

隨機結構系統的理論分析和數值計算已取得了豐富的研究成果。但是，在實際工程中，獲得足夠的不確定信息來確定參數的概率特征往往比較困難或代價昂貴，而區間模型只需要通過較少的信息獲得變量的上下界，故在不確定性建模方面體現了很好的方便性和經濟性[11]。針對含有區間參數的結構靜動力問題，Qiu提出了攝動法、頂點法等有效的數值計算方法[12，13]。同時，區間結構系統的可靠性分析也逐步引起了國內外學者的重視[14,15]。

從目前的研究成果來看，研究不確定結構振動聲輻射的文獻十分有限，并且主要集中在隨機分析領域。另外，復合材料聲學優化的研究才剛剛起步，而不確定聲學優化設計領域還是一片空白，因此還有不少問題值得進一步探索。鑒于此，本文所研究內容將綜合考慮耦合系統自身和載荷的不確定因素，用區間理論對不確定性進行定量化，提出新的不確定結構振動聲輻射分析方法。在此基礎上，建立了結構-聲耦合系統的區間可靠性優化模型及算法。

1 結構-聲耦合系統有限-有限元方程

針對圖1所示的結構-聲耦合內場問題，從Helmholtz方程入手，根據變分原理[16]，容易推得具有彈性邊界聲場的有限元方程為

(Ka+jωCa-ω2Ma)P=ρω2SUs

(1)

式中Ka，Ma，Ca分別為聲場的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣；S是為處理邊界面上結構單元與聲場單元不一致性所引入的耦合矩陣；Us為結構節點位移幅值向量;j為虛數單位。

圖1 結構-聲場耦合系統示意圖

充分考慮內部聲壓對結構的反作用，則在頻域下結構的有限元運動方程表示為

(Ks+jωCs-ω2Ms)Us=Fs+Fa

(2)

式中Ks，Ms為結構的總剛度矩陣和質量矩陣；Fs為施加于結構上的外力；Fa為聲場作用于結構上的廣義力。

設虛位移為δUs，則聲壓作用在整個結構上的虛功δW滿足

(δUs)TFa=δW=(δUs)TSTP

(3)

因此，利用虛功原理容易推得聲壓作用在整個結構上的等效力向量為

Fa=STP

(4)

將式(4)代入式(2)，并聯合式(1)，可以得到結構-聲耦合系統的有限-有限元方程

(-ω2M+jωC+K)U=F

(5)

Kcouple=-ST。

其中，Mcouple和Kcouple分別為耦合質量矩陣和耦合剛度矩陣，正是由于這兩個矩陣的存在，導致了式(5)中質量和剛度矩陣的不對稱性，增加了求解的難度。

2 結構-聲耦合系統區間分析方法

引入向量α=(αi)m來表示結構-聲耦合系統本身及外載荷的相關參數，因此式(5)可以改寫為

[-ω2M(α)+jωC(α)+K(α)]U(α)=F(α)

(6)

上式左右兩端對參數αk求一階導數，通過移項整理，可以得到系統結構-聲耦合響應的靈敏度計算公式

(7)

對于許多工程問題，普遍存在著與材料性質、載荷、邊界條件等有關的誤差或不確定性。獲得足夠的不確定性信息來表述其概率特征往往顯得非常困難或成本過高，然而通過較少信息獲得不確定參數區間上下界卻是容易實現的。根據區間數學理論可知，有界不確定參數向量α一定屬于某一區間向量，即

(8)

(9)

對于非線性函數，由區間運算帶來的區間擴張問題往往比較嚴重。鑒于此，這里借助于改進的區間泰勒展開方法[17]，可以快速準確地確定耦合系統響應，最大程度地抑制區間擴張。

首先，通過空間近似曲面的導軌生成方式得到非線性函數U(α)的近似表示

(10)

其中

j=1,2,…,m

(11)

然后，借助于靈敏度分析公式(7)，容易得到響應函數U(α)在α∈αI條件下的區間上下界

(12)

3 區間可靠性優化設計

傳統的優化設計考慮的都是結構尺寸、材料特性及外載荷等系統參數取某一確定值情況下的最優解，其數學模型可以表示為

式中x=(xi)k為設計變量集合。

由于材料的物理特性、力學性能和測量精度的差異，系統參數往往存在不確定性。為盡可能降低各種不確定性對產品質量的影響，設計者應在設計階段就預測可能發生的變化，并采取相應的主動控制措施，從而提高結構的使用安全性和穩定性，對應的優化模型為

(14)

式中α=(αi)m為系統不確定參數向量，Poss為函數概率算子，ηj∈{ηj|0≤ηj≤1}為可靠性指標。

Poss(AI>BI)=

(15)

(16)

其中

(17)

通過上面的數學轉換模型，對約束函數進行可靠性處理，則具有區間參數的不確定性優化問題轉化為一嵌套優化問題。外層優化用于設計向量x的尋優，而內層優化則用于計算不確定約束條件關于系統參數αI的極值，如式(17)所示。對于設計變量的每一組迭代值x，內層優化需要對α進行多次迭代得到gj(x,αI)的上下界，由此導致的計算量相當大。而借助于第2節中改進的區間泰勒展開方法，只需進行一次計算就可以近似得到系統響應gj(x,αI)關于區間參數αI的極值，從而避免了區間優化中的內層優化，變兩層嵌套優化問題為常規的單層優化問題，從而大大提高了優化計算效率。

4 數值算例

4.1 模型概述

圖2 復合材料飛機彈艙模型

考慮如圖2所示的一個飛機彈艙模型，B，C，F，G四點固支，四周由同一種復合材料層合板圍成封閉空間，構成了一個結構-聲場耦合系統。初始設計中，復合材料板結構共鋪5層，鋪層厚度均為2.0 mm，分別定義為ti(i=1,…,5)；對應的初始鋪層角度為-90°，-45°，0°，45°，90°，分別定義為θi(i=1,…,5)。在結構響應計算中，各向異性材料彈性模量參數為：E11=135.6 GPa，E22=9.9 GPa，G12=G13=G23=4.5 GPa，密度ρ1=1.9×103kg/m3。在聲學響應計算中，空氣的相關參數為：體積模量E=0.142 MPa，密度ρ2=1.225 kg/m3，聲速c=340 m/s。在底板中心位置作用有50 N的簡諧激勵，選取聲場內前中后3個點作為觀測點，設定分析帶寬為1～300 Hz，步長為2 Hz。通過確定性結構-聲場耦合分析得知該耦合系統的前兩階特征頻率出現在190和226 Hz附近。在本文的優化模型中，選取觀測點在頭兩階特征頻率附近的平均聲壓級Pave作為優化目標，結構質量M和彈性底板的自振基頻Eig作為約束條件，即

minPave

s.t.M≤14.8 kg

Eig≥15.0 Hz

(18)

實際問題中，由于材料的初始缺陷和測量誤差，屬性參數α=(E11,G12,G13,G23,ρ1,E,ρ2,c)T均是不確定的，不妨設在其標稱值附近存在10%的攝動，即α∈[0.9α0,1.1α0]。利用Nastran和Isight商用軟件，基于本文提出的區間有限元分析方法和區間可靠性優化模型，采用模擬退火算法，分別對復合材料的鋪層角度、鋪層厚度進行優化，然后對角度和厚度進行集成優化，并與安全因子為1.2的確定性優化結果進行比較分析。

4.2 鋪層角度優化

在復合材料的鋪層角度優化中，定義各鋪層角度設計變量的約束條件為-90°≤θi≤90°，由于角度的變化不會引起結構質量的改變，因此考慮參數區間不確定性的鋪層角度優化模型變為

minPave

s.t.Poss(Eig(α,θ)≥15.0 Hz)≥η

-90°≤θi≤90°，i=1,…,5

α∈αI=[0.9α0, 1.1α0]

(19)

對于不同可靠度指標η，鋪層角度的優化結果如表1所示。由表1可以看出，所提出的不確定可靠性優化思想由于在其模型建立階段就充分考慮了系統不確定參數的影響，因此與安全因子為1.2的確定性優化相比，可以取得更好的降噪效果。另外，要滿足更高的可靠性指標，就要犧牲一定的目標函數。

表1 鋪層角度優化結果

4.3 鋪層厚度優化

在復合材料的鋪層厚度優化中，定義各鋪層厚度設計變量的約束條件為0.2 mm≤ti≤2.0 mm，與鋪層角度優化不同的是，除了滿足自振基頻的約束外，還需滿足質量要求，即

minPave

s.t.Poss(M(α,t)≤14.8 kg)≥η

Poss(Eig(α,t)≥15.0 Hz)≥η

0.2 mm≤ti≤2 mm，i=1,…,5

α∈αI=[0.9α0,1.1α0]

(20)

不同可靠度指標下鋪層厚度的優化結果如表2所示。再次證明，與確定性優化相比，本文所建立的可靠性優化模型可以取得更好的降噪效果。與表1對比，可以看出復合材料層合板鋪層角度的降噪效果比較明顯，這與材料的各項異性程度有關。

表2 鋪層厚度優化結果

4.4 鋪層厚度、鋪層角度集成優化

同時進行鋪層角度和鋪層厚度的集成優化，優化模型為

α∈αI=[0.9α0, 1.1α0]

(21)

當可靠性指標η=0.8時，目標函數的迭代歷程如圖3所示。在可行域內迭代了50步后滿足收斂條件。具體優化結果如表3所示。可知，通過對復合材料層合板鋪層厚度和鋪層角度的集成優化，其優化效果比單獨優化更加明顯。

5 結 論

本文將區間分析方法和可靠性優化思想相結合，對含有不確定參數的復合材料結構-聲場耦合系統的響應分析及優化設計問題進行了討論，提出了求解系統響應范圍的區間有限元分析方法，建立了不確定聲學的區間可靠性優化模型及算法，兼顧了耦合系統自身參數及外載荷的非概率不確定性，克服了傳統嵌套優化計算效率低下的問題。復合材料彈艙模型的優化結果表明，在初始設計階段充分考慮系統參數的不確定性，在滿足可靠性約束的前提下，可以取得更好的降噪效果。由于材料的各向異性特性，層合板鋪層角度對聲學特性產生較大影響，這是同一般結構材料的重要區別。但需要注意的是，本文忽略高階小量來近似得到系統響應范圍的處理方法僅適用于不確定參數數量較少，變化幅度較小的情況。另外，本文僅僅以安全因子1.2為例進行了確定性優化設計，以驗證所提出優化模型的優越性。如何合理的選取安全因子，使其不至于過于保守， 也是未來聲學可靠性分析和優化的一個重要方面。

圖3 平均聲壓級迭代曲線

表3 鋪層角度和厚度集成優化結果

參考文獻：

[1] Yin X W, Gu X J. Acoustic radiation from a laminated composite plate reinforced by doubly periodic parallel stiffeners [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 306: 877—889.

[2] 洪明,陳浩然.水中含分層損傷復合材料層合板的聲特征值研究[J].船舶力學, 2001, 5(5): 56—65.Hong Ming, Chen Haoran. Investigation on acoustic eigenproblems of submerged laminated plate with delamination [J]. Journal of Ship Mechanics, 2001, 5(5): 56—65.

[3] Jeyaraj P, Ganesan N. Vibration and acoustic response of a composite plate with inherent material damping in a thermal environment [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 320(1/2): 322—338.

[4] Luo J H, Gea H C. Optimal stiffener design for interior sound reduction using a topology optimization based approach [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2003, 125(7): 267—272.

[5] Marburg S. Efficient optimization of a noise transfer function by modification of a shell structure geometry-Part 1: Theory [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001, 24(5): 51—59.

[6] Denli H, Sun J Q. Structural-acoustic optimization of sandwich cylindrical shells for minimum interior sound transmission [J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 316: 32—49.

[7] Xu Z S, Huang Q B, Zhao Z G. Topology optimization of composite material plate with respect to sound radiation [J]. Engineering Analysis with Boundary Element, 2011, 35: 61—67.

[8] Bhat W V, Wilby J F. Interior noise radiated by an airplane fuselate subjected to turbulent boundary layer excitation and evaluation of noise reduction treatments [J]. Journal of Sound and Vibration, 1971, 18(4): 449—464.

[9] Liu B S, Zhao G Z. PEM based sensitivity analysis for acoustic radiation problems of random responses [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2010, 132(2): 021012.

[10] Culla A, Sestieri A, Carcaterra A. Energy flow uncertainties in vibrating systems: definition of a statistical confidence factor [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2003, 17(3): 635—663.

[11] Impollonia N, Muscolino G. Interval analysis of structures with uncertain-but-bounded axial stiffness [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, 220: 1 945—1 962.

[12] Qiu Z P, Chen S H, Elishakoff I. Bounds of eigenvalues for structures with an interval description of uncertain-but-non-random parameters [J]. Chaos Solitons & Fractals, 1996, 7(3): 425—434.

[13] Qiu Z P, Xia Y Y, Yang J. The static displacement and the stress analysis of structures with bounded uncertainties using the vertex solution theorem [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2007, 196: 4 965—4 984.

[14] Du X P. Reliability-based design optimization with dependent interval variables [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2012, 91(2): 218—228.

[15] Li F Y, Luo Z, Sun G Y. Reliability-based multiobjective design optimization under interval uncertainty [J]. Cmes-Computer Modeling in Engineering & Sciences, 2011, 74(1): 39—64.

[16] Fahy F J. Sound and Structural Vibration [M]. Orlando : Academic Press Inc, 1987.

[17] Chen S H, Ma L, Meng G W, et al. An efficient method for evaluating the natural frequency of structures with uncertain-but-bounded parameters [J]. Computers & Structures, 2009, 87(9/10): 582—590.

[18] 張全,樊治平,潘德惠.不確定性多屬性決策中區間數的一種排序方法[J].系統工程理論與實踐, 1995, 5: 129—133.Zhang Quan, Fan Zhiping, Pan Dehui. A ranking approach for interval numbers in uncertain multiple attribute decision making problems [J]. Systems Engineering-Theory & Practice, 1995, 5: 129—133.