多航段艙位控制與定價(jià)策略

周 薔，劉長(zhǎng)有

（1.南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院，江蘇南京210016；2.中國(guó)民航大學(xué)空中交通管理學(xué)院，天津300300）

0 引言

為了合理地優(yōu)化配置航空運(yùn)輸資源，有關(guān)航班在非熱點(diǎn)城市實(shí)行航班轉(zhuǎn)機(jī)運(yùn)輸已成為航空運(yùn)輸與相關(guān)組織研究的一大熱點(diǎn)，這就形成了多航段艙位控制問(wèn)題。單航段航線只需要考慮一個(gè)起點(diǎn)的收益與座艙分配問(wèn)題，而多航段在考慮起飛點(diǎn)的同時(shí)，還必須兼顧中轉(zhuǎn)點(diǎn)的顧客及收益問(wèn)題。航空公司力求從收益管理的角度出發(fā)，對(duì)起飛點(diǎn)與中轉(zhuǎn)點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)一考慮，實(shí)現(xiàn)整體利潤(rùn)的最大化。1972年，文獻(xiàn)［1］就單航段、兩級(jí)票價(jià)價(jià)格的艙位控制問(wèn)題提出了邊際收益的概念。1987年，文獻(xiàn)［2］提出了邊際期望座位收益方法（EMSR），這種方法已經(jīng)成為各航空公司艙位控制的經(jīng)典方法。1995年，文獻(xiàn)［3］就需求函數(shù)是一般函數(shù)的情形提出了兩級(jí)票價(jià)結(jié)構(gòu)的收益管理模型。文獻(xiàn)［4－5］在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上，又考慮了風(fēng)險(xiǎn)因素及多種票價(jià)，提出了另外一種兩級(jí)票價(jià)結(jié)構(gòu)的收益管理模型，最后還證明了最優(yōu)價(jià)格僅能從給定價(jià)格集的子集中取得，這一理論被稱為最大凹向包絡(luò)理論。2004年，文獻(xiàn)［6］根據(jù)最大凹向包絡(luò)理論分析了單航段的航空公司收益與艙位控制問(wèn)題。對(duì)于多航段艙位控制的研究國(guó)外起步較早，也已經(jīng)有了很多成果，而國(guó)內(nèi)還處于起步階段。2005年，文獻(xiàn)［7］根據(jù)遺傳算法構(gòu)建了航空收益管理中的多航段艙位控制模型，但艙位的嵌套控制問(wèn)題沒(méi)有在這個(gè)模型中被考慮到。2010年，文獻(xiàn)［8］針對(duì)航空貨運(yùn)收益，提出了基于橢球體的多航段艙位控制穩(wěn)健優(yōu)化模型，并結(jié)合粒子群算法求解。2012年，文獻(xiàn)［9］對(duì)航空收益管理的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了歸納。近年的多航段艙位控制研究，大多使用人工智能優(yōu)化算法，此類算法需要反復(fù)迭代，計(jì)算量較大，一般不考慮艙位的嵌套控制問(wèn)題。

本文將同時(shí)考慮多航段航空客運(yùn)中的價(jià)格收益與艙位控制問(wèn)題，將每個(gè)航段上的艙位視為獨(dú)立的個(gè)體，然后根據(jù)最大凹向包絡(luò)理論以及連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論，分析研究多航段航班的動(dòng)態(tài)價(jià)格與艙位控制，提出了一個(gè)考慮艙位價(jià)格嵌套的多航段艙位控制及定價(jià)策略模型。

1 問(wèn)題描述與模型

目前的EMSR方法能很好地計(jì)算單航線的收益，是因?yàn)閱魏骄€是基于航段與航線的統(tǒng)一，也就是說(shuō)，如果能保證航段收益的最大化，也就等同于保證了航線的最大化，但對(duì)于多航段的航班來(lái)說(shuō)，單一航段收益的最大化可能與航線收益最大化是相互矛盾的［10］。在這種情況下，有必要提出適合多航段的艙位控制與收益模型，來(lái)保證多航段航班在整個(gè)航線上能實(shí)現(xiàn)收益的最大化。

設(shè)某航班的座位總數(shù)為M，艙位等級(jí)數(shù)為K，客流類型（不同航段上的客流）數(shù)為N，飛機(jī)起飛時(shí)間為T(mén)。對(duì)于屬于第n類客流的第k個(gè)艙位等級(jí)給定的可行價(jià)格集合為Pnk＝ { p，，…，p，其中，mnk為第n類客流第k個(gè)艙位等級(jí)的可行價(jià)格數(shù)目，則假定：

設(shè)到時(shí)刻t為止，第n類客流的剩余可售座位數(shù)為Sn（t），λ（t）為對(duì)應(yīng)p的需求密度函數(shù)，則時(shí)刻t艙位等級(jí)k在航段n上的價(jià)格與艙位分配的統(tǒng)一策略可表示為：

其中，fn（u，t）容易得到，實(shí)例分析中將給出僅一個(gè)中轉(zhuǎn)點(diǎn)（即航段數(shù)為3）時(shí)的形式。根據(jù)連續(xù)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論，可構(gòu)建Ham ilton-Jacobi方程［6，11－14］：

其中，S＝（S1（t），S2（t），…，SN（t））T；f＝（f1（u，t），f2（u，t），…，fN（u，t））T。由于座位數(shù)為整數(shù)，則可用差分形式離散化。求得，再根據(jù)邊界條件即可求得Ju*，從而得到最優(yōu)策略u(píng)*。

2 模型求解

對(duì)于本文的多航段航線的收益與艙位控制模型，結(jié)合文獻(xiàn)［5］的最大凹向包絡(luò)理論和Ham ilton-Jacobi控制方程來(lái)求解。文獻(xiàn)［6］在單航段航線的定價(jià)策略研究中使用了類似方法，本文將其推廣到多航段航線問(wèn)題中。

第1步：利用最大凹向包絡(luò)理論確定各航段各艙位的最優(yōu)價(jià)格集。文獻(xiàn)［5］證明，對(duì)于任一價(jià)格集合，存在最大凹向包絡(luò)子集，最優(yōu)價(jià)格只能從該子集中產(chǎn)生。

若t時(shí)刻航段n艙位等級(jí)k開(kāi)放，最優(yōu)價(jià)格只從Pnk的子集P中選擇，最優(yōu)價(jià)格集P滿足以下性質(zhì)：（Ⅰ）r（λ）是λ的遞增凹函數(shù)，其中＝；（Ⅱ）對(duì)應(yīng)任一集合P，P?P?Pnk，P對(duì)應(yīng)的r（λ）為λ的非遞增凹函數(shù)；（Ⅲ）若?P，則在任意時(shí)刻，均不開(kāi)放。為便于表述，后文均假定P＝｛，，…，｝。

第2步：艙位控制。根據(jù)Ham ilton-Jacobi方程（見(jiàn)式（3））可得：

代入fn（u，t）的表達(dá)式可得，如果t時(shí)刻航段n艙位等級(jí)k開(kāi)放，則其充要條件為：

第3步：開(kāi)放艙位最優(yōu)價(jià)格選擇。文獻(xiàn)［5］導(dǎo)出了單航段某個(gè)艙位等級(jí)某種價(jià)格被選擇的充要條件。結(jié)合最大凹向包絡(luò)子集性質(zhì)，推廣到多航段問(wèn)題，則在t時(shí)刻航段n艙位等級(jí)k以價(jià)格p開(kāi)放的充要條件為：

3 實(shí)例分析

某航空公司有一條從廣州－武漢－西寧的航線，執(zhí)行該航線的飛機(jī)有商用座位數(shù)為150個(gè)，其中艙位等級(jí)有公務(wù)艙與經(jīng)濟(jì)艙兩種。為了方便計(jì)算，對(duì)每個(gè)航段進(jìn)行編號(hào)，其中廣州－西寧為1，廣州－武漢為2，武漢－西寧為3。表1給出了各個(gè)航段各個(gè)艙位的價(jià)格集，以及對(duì)應(yīng)的需求密度，并計(jì)算出了價(jià)格和需求密度的乘積（收入）。

表1 價(jià)格－需求密度表

3.1 求解最優(yōu)價(jià)格集

作出收入與需求密度的關(guān)系圖，如圖1所示，利用最大凹向包絡(luò)理論可得，航段n艙位等級(jí)k的最優(yōu)價(jià)格集P為：

圖1 收入（r）－需求密度（λ）關(guān)系圖

3.2 求解Ham ilton-Jacobi方程

下面給出Hamilton-Jacobi方程的具體形式，首先需確定方程（2）中的fn（u，t）。為簡(jiǎn)化求解，航班“廣州 －武漢 －西寧”可看成“廣州－武漢”“武漢 －西寧”兩段單航線，“廣州－西寧”可由這兩段單航線組合而成，則方程（2）的fn（u，t）為：

由于航段1可看成由航段2和航段3組合而成，故簡(jiǎn)化掉了f1（u，t），而Sn（t）（n＝2，3）可理解為航段2和航段3上空閑的座位數(shù)。再給出的差分離散化形式：

其中，Ju*（t，M2，M3）表示當(dāng)t時(shí)刻航段2、3空閑座位數(shù)分別為M2、M3時(shí)，從t到T時(shí)刻的最佳收益。將方程（7）和方程（8）代入式（3）即可得到Hamilton-Jacobi方程，再導(dǎo)出方程（6）所表示的各個(gè)價(jià)格開(kāi)放的充要條件：

易得Hamilton-Jacobi方程的邊界條件：①Ju*（t，0，0）＝0；②Ju*（T，M2，M3）＝0，在T的一左鄰域內(nèi)，所有艙位以最低價(jià)開(kāi)放。求解Ju*，即可得到u*。對(duì)于Ju*（t，M2，0）和Ju*（t，0，M3）可看成單航段問(wèn)題，文獻(xiàn)［6］給出了具體的求解步驟，在此不作詳述。對(duì)于M2，M3＞0的情形，根據(jù)常數(shù)變異法，可寫(xiě)出方程通解為：

若在［t，tf］內(nèi)u*與t無(wú)關(guān)（因u是取值離散的，u*必為分段與t無(wú)關(guān)的函數(shù)），則

［0，T］可分解為若干個(gè)區(qū)間［t，tf］進(jìn)行求解，區(qū)間內(nèi)u*與t無(wú)關(guān)，區(qū)間邊界u*跳變，求解方法是文獻(xiàn)［6］的單航段的求解方法的推廣，篇幅限制不作詳述。從M2，M3＝0開(kāi)始遞推，即可計(jì)算出任意M2，M3＞0的Ju*，最終計(jì)算得Ju*（0，M，M）為問(wèn)題解。

3.3 算法穩(wěn)定性分析

座位數(shù)較多時(shí)，方程（10）需采用數(shù)值積分求解。從tf＝T遞推計(jì)算每個(gè)區(qū)間［T，t1f］，［t1f，t2f］，［t2f，］，…，［，0］，需分析此遞推過(guò)程的穩(wěn)定性。根據(jù)方程（9）和方程（10）有：

說(shuō)明若誤差恒為正（或負(fù)），前一計(jì)算誤差無(wú)縮小無(wú)放大地疊加到后一計(jì)算結(jié)果中，算法不穩(wěn)定；若誤差正負(fù)值交錯(cuò)出現(xiàn)，正負(fù)相抵，算法穩(wěn)定。因而，求解過(guò)程要使誤差正負(fù)等概率。

根據(jù)方程（10）可得：則方程（10）的遞推過(guò)程是穩(wěn)定的，即隨著M2，M3的增加，前面計(jì)算的誤差衰減。

3.4 求解結(jié)果

利用Matlab軟件編程求解艙位控制與最優(yōu)價(jià)格策略，求解得到在預(yù)剩余售期為T(mén)、剩余座位數(shù)為150時(shí)的最優(yōu)價(jià)格策略，如表2所示。

表2 不同剩余預(yù)售期下的最優(yōu)價(jià)格策略

從表2可看出：剩余預(yù)售期增大，最優(yōu)價(jià)格傾向較高價(jià)，這是由于剩余預(yù)售期越大，售完全部座位要求的需求密度越小，則可以選擇較高的價(jià)格，以獲得較大的收益。由表2還可看出：剩余預(yù)售期增大到一定程度時(shí)，有部分航段部分艙位不開(kāi)放售票，這是由于剩余預(yù)售期較長(zhǎng)時(shí)，停止部分收益率較低的艙位的售票，同樣能把全部座位售完，以獲得更大收益。以上分析可見(jiàn)，求解得到的最優(yōu)價(jià)格策略與實(shí)際相符。

3.5 仿真模擬

為了驗(yàn)證最優(yōu)價(jià)格策略的最優(yōu)性，同時(shí)分析最優(yōu)價(jià)格策略下的售票特性，對(duì)售票過(guò)程進(jìn)行蒙特卡羅仿真模擬。

為驗(yàn)證最優(yōu)價(jià)格策略的最優(yōu)性，設(shè)待出售總座位數(shù)為150，在不同預(yù)售期長(zhǎng)度下，分別使用最優(yōu)價(jià)格策略、最高價(jià)格策略和最低價(jià)格策略進(jìn)行20次仿真，計(jì)算得不同價(jià)格策略下20次仿真的平均總收益，如圖2所示。

為觀察最優(yōu)價(jià)格策略下不同航段的售票狀況，設(shè)待出售總座位數(shù)為150，在不同預(yù)售期長(zhǎng)度下，采用最優(yōu)價(jià)格策略進(jìn)行20次仿真，計(jì)算得不同航段20次仿真的平均售票量和平均收益，如圖3和圖4所示。

圖2 不同預(yù)售期長(zhǎng)度下，3種售票策略的總收益

從圖2可看出：在不同預(yù)售期長(zhǎng)度下，最優(yōu)價(jià)格策略的總收益始終大于最高和最低價(jià)格策略，體現(xiàn)了最優(yōu)價(jià)格策略的優(yōu)越性。由圖2還可看出：預(yù)售期長(zhǎng)度較短時(shí)，3種策略的總收益相差不大。這是由于預(yù)售期較短時(shí)，最優(yōu)價(jià)格策略接近最高價(jià)格策略，而最高價(jià)格策略出售的票量較少，最低價(jià)格策略出售的票量較多，從而使三者結(jié)果相差不大；當(dāng)預(yù)售期大于20 d時(shí)，最低價(jià)格策略的總收益不再隨著預(yù)售期增大，這是由于20 d足夠以最低價(jià)售完所有票，預(yù)售期大于20 d，較高的價(jià)格策略將可獲得更高的收益；當(dāng)預(yù)售期大于100 d后，最優(yōu)價(jià)格策略的收益不再增加，因而最佳預(yù)售期長(zhǎng)度為100 d。

從圖3可看出：總體上，航段1“廣州－西寧”的售票量最多，航段2“廣州－武漢”次之，航段3“武漢－西寧”售票量最少，這是由于“廣州－西寧”為始發(fā)－終點(diǎn)站航段，收益較大，應(yīng)更多出售始發(fā)－終點(diǎn)站航段機(jī)票。

從圖4可看出：航段1的收益明顯大于航段2和航段3的收益，這與圖3的分析結(jié)果一致，因而應(yīng)更多地出售收益較大的始發(fā)－終點(diǎn)站航段機(jī)票。

圖3 不同預(yù)售期長(zhǎng)度下，3條航段的最優(yōu)售票量

圖4 不同預(yù)售期長(zhǎng)度下，3條航段的最優(yōu)收益

4 結(jié)論

本文基于收益管理的思想，以航空客運(yùn)中的多航段航線的收益最大化為目標(biāo)，采用最大凹向包絡(luò)理論與Hamilton-Jacobi控制方程建立了多航段航線的動(dòng)態(tài)價(jià)格與艙位控制分析模型，該模型能根據(jù)剩余售票時(shí)間、剩余座位，以及不同航段上的需求量，決定任意時(shí)刻每個(gè)艙位是否開(kāi)放，以哪種價(jià)格開(kāi)放。最后通過(guò)實(shí)例分析表明：模型能為多航段航線的艙位分配及價(jià)格的制定提供一個(gè)快速有效的決策參考，可推廣到更多航段的情形。

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