“用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小”教學(xué)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

楊宏權(quán)

“可能性”屬于統(tǒng)計(jì)與概率的范疇。在第一學(xué)段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了確定性事件和不確定現(xiàn)象，初步體會(huì)了事件發(fā)生可能性的大小。在這些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，第二學(xué)段繼續(xù)教學(xué)“可能性”，主要學(xué)習(xí)根據(jù)事件發(fā)生的可能性的大小判斷游戲規(guī)則的公平性，定量地描述事件發(fā)生的可能性的大小，即在等可能事件中，用分?jǐn)?shù)來(lái)表示事件發(fā)生的可能性，并通過(guò)可能性分析判別游戲規(guī)則的公平性，能初步理解可能性大小不能確定某一次事件的結(jié)果，適時(shí)滲透偶然性與必然性的辯證關(guān)系。“用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小”便安排在第二學(xué)段進(jìn)行教學(xué)，通過(guò)對(duì)該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對(duì)以往“可能性”的認(rèn)識(shí)從感性描述過(guò)渡到定量刻畫，使學(xué)生對(duì)可能性的體驗(yàn)更深刻。為了使學(xué)生能對(duì)“可能性”的初步量化的過(guò)程留下較為深刻的印象，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，在教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。

一、 本質(zhì)——古典概率的計(jì)算公式

概率的古典式定義是該事件發(fā)生的所有結(jié)果的數(shù)目比上所有等可能發(fā)生的結(jié)果的總數(shù)。“用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小”的教學(xué)要求在初步認(rèn)識(shí)“可能性”以及初步感受可能性有大、有小的基礎(chǔ)上，借助簡(jiǎn)單事例，進(jìn)一步學(xué)會(huì)用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小。其實(shí)“用分?jǐn)?shù)表示可能性大小”的本質(zhì)是概率的古典式定義。為此，在教學(xué)中，我們需要引用概率論中古典概率的計(jì)算公式P（A）=■（其中，P（A）為事件A的概率；n為等可能性的基本事件的總數(shù)；m為事件A所包含的基本事件的種數(shù)）。但小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中沒(méi)有這樣的公式，也沒(méi)有介紹與公式相關(guān)的幾個(gè)概念（隨機(jī)事件、事件的概率、基本事件、等可能性……）。為了突破這個(gè)難點(diǎn)，我們通過(guò)如下教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生思考和計(jì)算：從放了6個(gè)“同樣的球”（1紅、2綠、3黃）的口袋里任意摸一個(gè)球，摸到紅球（綠球、黃球）的可能性各是多少？為此，首先要強(qiáng)調(diào)這三種球除顏色不同外，所有其他的屬性都相同，因而從中隨意摸一個(gè)球時(shí)，摸出每一種顏色的球的可能性的大小沒(méi)有理由不同，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每一個(gè)隨機(jī)事件思考3個(gè)問(wèn)題。每次從口袋里摸一個(gè)球：

1.總共有（ ）種可能；

2.摸到紅球（綠球、黃球）包含其中的（ ）種可能；

3.摸到紅球（綠球、黃球）的可能性是（ ）。

這樣，借助簡(jiǎn)單事例使學(xué)生初步理解和學(xué)會(huì)了運(yùn)用古典概率的計(jì)算公式，從而按照嚴(yán)密的概念來(lái)詮釋事件發(fā)生的可能性，突出可能性的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、 前提——基本事件的等可能性

“用分?jǐn)?shù)表示可能性大小”的本質(zhì)是古典概率的計(jì)算公式。而概率的古典式定義必須滿足兩個(gè)前提條件：一是隨機(jī)試驗(yàn)下基本事件空間的元素只有有限個(gè)；二是每次試驗(yàn)中各個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同。只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)現(xiàn)象才能用“古典概率”公式。由此可見(jiàn)古典概率的計(jì)算公式建立在基本事件的等可能性的基礎(chǔ)之上。

在教學(xué)過(guò)程中所涉及的摸球事件，要求袋子里的球除顏色外，其他各項(xiàng)屬性都必須完全相同。只有這樣，摸到每個(gè)球（即每一基本事件）的可能性才相等。在引導(dǎo)學(xué)生思考“總共有幾種可能性”時(shí)，要盡可能分析，使之成為“基本事件”，并確認(rèn)其可能性都相等，為運(yùn)用古典概率公式計(jì)算可能性大小創(chuàng)造條件。

如在摸牌的事件中，從6張牌（紅桃A、2、3；黑桃A、2、3）中任意摸一張，摸到紅桃的可能性有多大？按前面的思路，應(yīng)該是■，約分成■。學(xué)生則提出另一思路：摸出的可能是紅桃，也可能是黑桃，有兩種可能。因?yàn)樵?張牌里，紅桃與黑桃都是3張，所以摸出紅桃的可能性與摸出黑桃的可能性相等，都等于■，不恰當(dāng)?shù)鼗乇芰嘶臼录母拍詈突臼录牡瓤赡苄浴?/p>

其實(shí)教學(xué)中，還可以將上述“用分?jǐn)?shù)表示可能性大小”的思維過(guò)程概括為如下程序：

1.總共有（ ）種可能；

2.符合條件的有（ ）種可能；

3.這件事的可能性是（ ）。

這個(gè)程序（思路）實(shí)際上起到了根據(jù)古典概率的定義理解古典概率計(jì)算公式的作用。

三、 要點(diǎn)——正確理解公式的含義

通過(guò)具體事例歸納出一般規(guī)律時(shí)，例題不宜多，但要典型。教材中所呈現(xiàn)的例題與習(xí)題，基本都是解決任意摸一個(gè)球（或一張牌）的可能結(jié)果，教師要強(qiáng)調(diào)基本事件的等可能性以及事件A可以歸結(jié)為多少種基本事件，而不是簡(jiǎn)單地用袋中某種顏色的球數(shù)與總數(shù)之比來(lái)確定摸到某種顏色球的可能性，將可能性問(wèn)題過(guò)分簡(jiǎn)單化：物體有幾個(gè)，一共就有幾種可能；所選物體有幾個(gè)，用分?jǐn)?shù)表示可能性大小就是求所選物體的個(gè)數(shù)是總個(gè)數(shù)的幾分之幾。如此看來(lái)，我們?cè)谶x擇具體事例時(shí)，應(yīng)避免學(xué)生進(jìn)入認(rèn)識(shí)誤區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生正確理解公式的含義才是教學(xué)要點(diǎn)所在。在新授教學(xué)中重點(diǎn)引領(lǐng)學(xué)生初步理解用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小時(shí)，分母表示的是基本事件的總數(shù)，而不是簡(jiǎn)單地停留在數(shù)物體的個(gè)數(shù)上。在鞏固練習(xí)階段，可增加如下題組：

①?gòu)姆庞?個(gè)同樣大小球（1 紅、1綠、2 黃且球上標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4）的袋子里，任意摸一個(gè)球（摸后放回），一共有幾種可能？

②從放有4個(gè)同樣大小球（1 紅、1綠、2 黃且球上標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4）的袋子里，任意摸兩個(gè)球（摸后放回），一共有幾種可能？

這里重點(diǎn)讓學(xué)生理解在只摸一個(gè)球的情況下，球的個(gè)數(shù)才與摸球的可能數(shù)是相等的；如果任意摸2 個(gè)球，可以用搭配的規(guī)律得出一共有6 種可能，即6個(gè)基本事件，從而理解物體的總個(gè)數(shù)不一定就是基本事件的總數(shù)。這時(shí)教師應(yīng)點(diǎn)明、強(qiáng)調(diào)：“用分?jǐn)?shù)表示可能性大小”中分?jǐn)?shù)的分母并不是表示球的個(gè)數(shù)，而是基本事件的總數(shù)。

①?gòu)姆庞?個(gè)同樣大小球（1 紅、1綠、2 黃且球上標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4）的袋子里，任意摸一個(gè)球（摸后放回），摸到黃球的可能性是多少？

②從放有4個(gè)同樣大小球（1 紅、1綠、2 黃且球上標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4）的袋子里，任意摸兩個(gè)球（摸后放回），摸到兩個(gè)黃球的可能性是多少？

經(jīng)過(guò)第一個(gè)題組的處理，學(xué)生對(duì)于公式“分母”含義基本上有了一個(gè)初步認(rèn)識(shí)。為了進(jìn)一步鞏固這一成果，在第二個(gè)題組練習(xí)中，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示摸一個(gè)球與摸兩個(gè)球的可能性，再次突出等可能性的基本事件，為教學(xué)古典概率的計(jì)算公式打好基礎(chǔ)。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】