談學生的數學想象和聯想能力

李改葉

摘 要：數學的探究過程和方法論具有重要的教育價值，數學的概念原理體系只有和相應的探究過程及方法論結合起來，才能使學生的理智過程和整個精神世界獲得實質性的發展與提升。

關鍵詞：初中數學；探究教學；學生參與

一、初中數學探究

數學不同于其它自然科學，它具有逐級抽象性特點。從客觀實際、現實世界中的抽象只是數學的低級抽象，脫離具體事和物的數量關系和空間形式的數學研究的抽象是數學的高級抽象。高級抽象是在低級抽象基礎上的進一步抽象，它的研究對象不同于低級形態數學抽象的研究對象，而是一種形式化了的思維材料，是經過人加工了的思想，一種人對自然界的概括和認識。自然科學、社會科學的抽象往往是直接從科學實驗或大量實踐的材料中歸納、概括、抽象出理論來的。

數學的逐級抽象性特點，說明了學生數學學習過程中思維發展的不同階段和水平，因而數學的學習過程也是分層次的。

1.學習的最低層次是“做”數學的過程，即數學的組織。

通過學生自己的猜測、探索，從現實問題情境中提煉數學問題，發現問題及其規律性，對問題有整體理解，這是學生數學地組織經驗材料的活動層次；

2.學習的第二個層次是將數學問題組織成原理，并用數學語言模式去描繪原理。

即通過對脫離具體事物的數量關系和空間形式的數學研究，構建抽象理論意義上的數學原理。這是學生組織經驗領域的活動，是在“做”數學基礎上進一步抽象概括數學材料并提煉數學原理的過程。

3.第三個層次是數學原理的驗證、推廣階段。

如果說前兩個層次是“發現”原理的過程，那么這個層次就是驗證、推廣的階段。驗證的過程實際是將“發現”的結果的演繹推理的形式系統化、邏輯化的過程；最后一個層次是反省上述學習過程，將抽象結果應用于實際，用以指導現實生活。此層次的反省活動，是對一前述認識過程的進一步認識，是對前述學習活動的反思，對整個學習過程起到調節和監控作用。可見數學的特點說明了數學的學習過程也是分層次的。

二、探究教學實施

1.培養學生思維能力。

數學是思維的科學，即使不作數學研究，只是看看書與論文，要理解數學證明，也只有一步一步循著走，因為這一過程不只是確認證明沒有錯誤，還是自己重新嘗試進行思考試驗的過程，只有在這一過程中才能產生深刻的體驗。否則只看看定理而跳過證明，一冊書可能很快就能看完，但結果是：幾乎一無所知。學習數學，理解數學似乎沒有其他別的辦法，只有啟動心靈進行思考試驗才能實現再認識、再理解、再創造。例如，平行符號“//”的使用，讓學生做一個思想實驗，若用“=”或“‖”等其它符號甚至不用符號表示平行，會是什么情形，從而讓學生深刻體會到數學符號的妙處。

2.培養學生數學想象和聯想能力。

數學創造性需要想象，在數學發現活動中往往是以猜想的形式呈現。數學猜想不僅是科學性與假定性的辨證統一，也是數學抽象邏輯思維和數學形象思維的辯證統一。而創造想象正是數學猜想的一個重要來源。想象提供理想化的思想方法，理想化的思想方法是研究對象極大的簡化和純化。數學創造性思維的結果是思維的自由創造物與想象物。沒有一種心理機能比想象更能自我深化，更能深入對象內在的本質。想象能使人開拓嶄新的思路，開創新的探索方向和研究領域，提出新的假設和理論。想象與構造是基于深刻邏輯分析基礎上的高度綜合。想象推動創造，創造得益于想象。愛因斯坦有句名言：“想象力比知識更重要。”他還指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許僅是一個數學上的或實驗上的技能而已。而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。”眾所周知，微積分的發現是十七世紀最偉大的數學成果，它是牛頓在許多數學家長期研究求切線斜率、求瞬時速度和研究曲邊形面積求法的基礎上，通過想象形成了粗糙而可貴的最初思想的。這種發現是基于幾何的直觀和物理見解，并不是邏輯推理的結果。

3.營造和諧激進的問題化情景，激發學生問題欲望。

新課程理念下的數學教學，重視問題情景的創設。要使學生主動參與學習，必須使學生對學習有興趣。因為興趣是一個人前進的內驅力，是永不枯竭的動力源泉。那么我們不妨創設一個能使學生感興趣的問題情景，讓學生對問題感興趣成為主動的學習者。真正的學習并不是由教師傳授給學生，而是應該讓學生自己找到并發現、糾正自己的答案。如果我們把每種事情都教給學生或者規定他們按固定的程序完成，就會妨礙他們的主動參與和自主發現。

比如：在《打折銷售》這一節，如果課堂上就單純地出示例題，然后分析題意，給出解答過程，接著再模仿練習。最后幫學生總結出解決這類問題的方法和技巧。可能學生未必有多大興趣。但假若我們設計一個課堂活動，讓學生模擬商店的從進貨、定價、促銷到賣出的全過程，學生一定會樂于去對打折銷售的過程進行分析、計算。而且在此過程中，學生也自然會聯想到各個環節中可能出現的問題，比如標價與銷量的關系，進價、標價、售價與打折和利潤之間的關系，這樣需要學生鞏固、提高的知識可能自然就解決了。endprint