高中生抽象歸納能力的培養

〓〓在數學抽象歸納能力方面，不同數學能力的學生有不同的差異．具有較強數學能力的學生在收集數學材料所提供的信息時，明顯表現出使數學材料形式化，能迅速地完成抽象歸納的任務，同時具有歸納的欲望，樂意地、積極主動地進行概括．

〓〓為了使學生在學習過程中能夠不斷地適應這一要求，有效地提高自身在這些方面的能力和素質，結合中學數學教學，我側重于從如下三方面進行培養：由現象到實質，即善于舍棄事物的非本質的細節，抽取問題的實質的能力；運用字母、符號進行推廣、推想的能力；由特殊到一般，即化問題的具體提法為一般情況，進而公式化的能力．我又從如下三種途徑進行實施：在概念教學中培養學生的抽象能力；在解題教學中培養學生的抽象能力；在章節復習和高考復習中培養學生的抽象能力．

〓〓通過訓練使學生明確什么叫做由具體到抽象、由特殊到一般，以及抽象的目標、抽象的方法，明確事物在哪一個點上“抽象”了，從而總結認識一個事物的不斷抽象的過程，最終培養學生的概括抽象能力．

〓〓一、“透過現象，抓住實質”的抽象舉例

〓〓在概念教學中，大量體現的是這種抽象過程．例如由數字到文字，由常量到變量，由有限到無限的抽象過程，就是中學代數教學過程的三次大的認識思維能力的飛躍．《普通高中新課程標準試驗教科書 （數學）》更是體現和突出這一特點，教師教學過程必須領會和實現這一要求．

〓〓近年來，高考中必有一道熱門考題應用題，加強考核學生把實際問題抽象成數學問題的抽象能力和解決實際問題的創新能力．把實際問題抽象成數學問題的過程，主要包括審題和聯想兩個步驟：所謂審題時指認真讀題，弄清題設條件和所求結論的實際意義，挖掘隱含條件；所謂聯想，是指聯想與題目有關的數學知識和數學方法，通過抽象和概括建立數學模型．這個過程是比概念教學難度更大的“透過現象，抓住實質”的抽象過程，可歸結為審題——轉化——建模——求解——反思的解題教學模式，下面舉一例說明．

〓〓例：流行性感冒（簡稱流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病，某市去年11月份曾發生流感．據資料統計，①11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者都增加50人．由于該市醫療部門采取措施．使該種病毒的傳播得到控制．②從某天起，每天的新感染者比前一天的新感染者減少30人．③到11月30日止，該市在這30日內感染該病的患者總共有8670人．④問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數最多？并求這一天的新患者人數．

〓〓此問題的抽象、建模、求解過程如下：

〓〓（i）閱讀理解，抓住本質．留下標號劃線的①②③④句，把11月1日到30日分為前n日及后第n+1日至30日止的（30-n）日兩段．

〓〓（ii）局部轉化，抽象建模．設從11月1日起第n日（n∈N，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人數最多．由①從11月1日至第n日止每日感染病毒人數依次成首項a■=20，公差d=50，an=20+50（n-1）的等差數列，前n日總人數為Sn=20n■+■=25n2-5n；由②從第n+1日起至11月30日止，每日感染人數依次成首項為b■=[20+（n-1）×50]-30=50n-60，公差d'■=-30，項數為（30-n）的等差數列，后（30-n）日的總人數為T30-n=（30-n)（50n-60)+■=-65n2+2445n-14850.

〓〓(iii)整體轉化，抽象建模．由③得基本等量關系，有Sn+T30-n=8670，即(25n2-5n)+(-65n2+2445n-14850)=8670，化簡，得n2-61n+588=0，解得n=12，或n=49(舍去).

〓〓第12日的新患者人數為20+（12-1）×50=570.

〓〓（iv）由④作答：11月12日，該市感染此病毒的人數最高，且這一天的新患者人數為570人．

〓〓二、“推廣與推想”抽象舉例

〓〓在數學教學中培養學生“推廣與推想”的抽象能力可從解題教學的“解題反思”中，進行一題多解、多題一解的訓練，有計劃地變化題目的形式，舉一反三，從而使他們由懂得一個問題而熟悉一類問題，提高學生分析問題、解決問題，以及掌握特殊與一般的辯證關系的創新能力和思維品質．下面舉一例說明．

〓〓例：式子■分母有理化的推廣與推想． 顯然■=■=■+■

特點：■+■與■-■互為倒數.

〓〓推廣：■=■?芎■，n是非負整數；

〓〓■=■?芎■，a是非負實數；

〓〓■=■(■?芎■，a≥0且d＞0.

由上面的推廣，繼續推想，便可解決如下問題：

〓〓（1）倘若注意到(2+■)■(2-■)■=1和■·■=■2=■.

不難有：■·■·■=1.

〓〓類似地推廣開來，可有：■·■···■■=1.

（2）計算：log■(■+■)=log■(■-■)■=-1.

同理有：log■(■+■)=log■(■-■)■=-1（a＞0）.

〓〓log■(■)=1（a≥0 ，ｄ＞0且a=0時ｄ≠1）. 〓〓（3）解方程:(■-■)■=(■+■)■.

〓〓由上面結論，可得(■+■)■=(■-■)■

〓〓故3x-7=-7x-3，x=■

〓〓對于 (■-■)■=(■+■)■a≥0，可仿上法解之．

〓〓三、“特殊與一般”抽象的舉例

〓〓若被研究的對象很抽象或困難，一時無從下手，往往可以先將問題特殊化，或者利用圖形直觀觀察，或者用具體數字代替字母驗證；或者用有限代替無限；或者把運動問題暫時化為靜止狀態；或者削弱問題的某些條件限制，即從“特殊化”或“簡單化”的情況下尋求問題解決的方法，猜想問題的普遍性結論，分析特殊性與普遍性的內在聯系，并在一般性狀態下予以解決論證．其典型例子莫過于數學歸納法的原理及其應用．

〓〓例： (2012年武漢市調研試題)設a■是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對所有自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項．

〓〓（1）寫出數列a■的前三項；(2)求數列a■的通項公式(寫出推證過程).

〓〓解: （1）略解前三項分別為2，6，10．

〓〓（２）解：由前三項猜想數列有通項公式a■=4n-2.

〓〓證明：（a）當n=1時，∵ 4×1-2=2，又由（１）知a1=2，故結論成立．

〓〓（b）假設n=k (n?叟1，k∈N)有ak=4k-2成立．

〓〓由題意，■=■ ，且ak=4k-2，得2k=■，

〓〓解得Sk=2k2，又■=■，

〓〓且S■=S■+ak+1，

〓〓將Sk=2k2代入上式，得(■)=2(ak+1+2k2).

〓〓整理得a2■■-4ak+1+4-16k2=0，由于ak+1＞0，解得ak+1=2+4k=4(k+1)-2，即n=k+1時，結論正確．

根據（a）（b），可知結論對一切自然數n均成立．

〓〓上面數學歸納法的原理及應用舉例，就是典型的由特殊到一般，有限到無限的遞推、猜想、證明的概括與抽象的范例．

〓〓在概念教學、解題教學以及高考復習教學中實施對學生抽象能力培養的思路和方法，能使學生對當前高考側重考核能力和素質的適應性不斷增強，取得較好效果．總之，培養學生的抽象歸納能力的方法和形式是多樣的，只要教師能根據教材特點，結合學生實際，善于思考學生抽象歸納思維發展的規律，就一定能在教學中培養出抽象歸納能力出色的好學生．

〓〓責任編輯〓羅〓峰