高中生抽象歸納能力的培養(yǎng)

〓〓在數(shù)學(xué)抽象歸納能力方面，不同數(shù)學(xué)能力的學(xué)生有不同的差異．具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的學(xué)生在收集數(shù)學(xué)材料所提供的信息時(shí)，明顯表現(xiàn)出使數(shù)學(xué)材料形式化，能迅速地完成抽象歸納的任務(wù)，同時(shí)具有歸納的欲望，樂(lè)意地、積極主動(dòng)地進(jìn)行概括．

〓〓為了使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠不斷地適應(yīng)這一要求，有效地提高自身在這些方面的能力和素質(zhì)，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，我側(cè)重于從如下三方面進(jìn)行培養(yǎng)：由現(xiàn)象到實(shí)質(zhì)，即善于舍棄事物的非本質(zhì)的細(xì)節(jié)，抽取問(wèn)題的實(shí)質(zhì)的能力；運(yùn)用字母、符號(hào)進(jìn)行推廣、推想的能力；由特殊到一般，即化問(wèn)題的具體提法為一般情況，進(jìn)而公式化的能力．我又從如下三種途徑進(jìn)行實(shí)施：在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力；在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力；在章節(jié)復(fù)習(xí)和高考復(fù)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力．

〓〓通過(guò)訓(xùn)練使學(xué)生明確什么叫做由具體到抽象、由特殊到一般，以及抽象的目標(biāo)、抽象的方法，明確事物在哪一個(gè)點(diǎn)上“抽象”了，從而總結(jié)認(rèn)識(shí)一個(gè)事物的不斷抽象的過(guò)程，最終培養(yǎng)學(xué)生的概括抽象能力．

〓〓一、“透過(guò)現(xiàn)象，抓住實(shí)質(zhì)”的抽象舉例

〓〓在概念教學(xué)中，大量體現(xiàn)的是這種抽象過(guò)程．例如由數(shù)字到文字，由常量到變量，由有限到無(wú)限的抽象過(guò)程，就是中學(xué)代數(shù)教學(xué)過(guò)程的三次大的認(rèn)識(shí)思維能力的飛躍．《普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū) （數(shù)學(xué)）》更是體現(xiàn)和突出這一特點(diǎn)，教師教學(xué)過(guò)程必須領(lǐng)會(huì)和實(shí)現(xiàn)這一要求．

〓〓近年來(lái)，高考中必有一道熱門(mén)考題應(yīng)用題，加強(qiáng)考核學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象能力和解決實(shí)際問(wèn)題的創(chuàng)新能力．把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，主要包括審題和聯(lián)想兩個(gè)步驟：所謂審題時(shí)指認(rèn)真讀題，弄清題設(shè)條件和所求結(jié)論的實(shí)際意義，挖掘隱含條件；所謂聯(lián)想，是指聯(lián)想與題目有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，通過(guò)抽象和概括建立數(shù)學(xué)模型．這個(gè)過(guò)程是比概念教學(xué)難度更大的“透過(guò)現(xiàn)象，抓住實(shí)質(zhì)”的抽象過(guò)程，可歸結(jié)為審題——轉(zhuǎn)化——建模——求解——反思的解題教學(xué)模式，下面舉一例說(shuō)明．

〓〓例：流行性感冒（簡(jiǎn)稱(chēng)流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病，某市去年11月份曾發(fā)生流感．據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，①11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者都增加50人．由于該市醫(yī)療部門(mén)采取措施．使該種病毒的傳播得到控制．②從某天起，每天的新感染者比前一天的新感染者減少30人．③到11月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病的患者總共有8670人．④問(wèn)11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)．

〓〓此問(wèn)題的抽象、建模、求解過(guò)程如下：

〓〓（i）閱讀理解，抓住本質(zhì)．留下標(biāo)號(hào)劃線的①②③④句，把11月1日到30日分為前n日及后第n+1日至30日止的（30-n）日兩段．

〓〓（ii）局部轉(zhuǎn)化，抽象建模．設(shè)從11月1日起第n日（n∈N，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人數(shù)最多．由①?gòu)?1月1日至第n日止每日感染病毒人數(shù)依次成首項(xiàng)a■=20，公差d=50，an=20+50（n-1）的等差數(shù)列，前n日總?cè)藬?shù)為Sn=20n■+■=25n2-5n；由②從第n+1日起至11月30日止，每日感染人數(shù)依次成首項(xiàng)為b■=[20+（n-1）×50]-30=50n-60，公差d'■=-30，項(xiàng)數(shù)為（30-n）的等差數(shù)列，后（30-n）日的總?cè)藬?shù)為T(mén)30-n=（30-n)（50n-60)+■=-65n2+2445n-14850.

〓〓(iii)整體轉(zhuǎn)化，抽象建模．由③得基本等量關(guān)系，有Sn+T30-n=8670，即(25n2-5n)+(-65n2+2445n-14850)=8670，化簡(jiǎn)，得n2-61n+588=0，解得n=12，或n=49(舍去).

〓〓第12日的新患者人數(shù)為20+（12-1）×50=570.

〓〓（iv）由④作答：11月12日，該市感染此病毒的人數(shù)最高，且這一天的新患者人數(shù)為570人．

〓〓二、“推廣與推想”抽象舉例

〓〓在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“推廣與推想”的抽象能力可從解題教學(xué)的“解題反思”中，進(jìn)行一題多解、多題一解的訓(xùn)練，有計(jì)劃地變化題目的形式，舉一反三，從而使他們由懂得一個(gè)問(wèn)題而熟悉一類(lèi)問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，以及掌握特殊與一般的辯證關(guān)系的創(chuàng)新能力和思維品質(zhì)．下面舉一例說(shuō)明．

〓〓例：式子■分母有理化的推廣與推想． 顯然■=■=■+■

特點(diǎn)：■+■與■-■互為倒數(shù).

〓〓推廣：■=■?芎■，n是非負(fù)整數(shù)；

〓〓■=■?芎■，a是非負(fù)實(shí)數(shù)；

〓〓■=■(■?芎■，a≥0且d＞0.

由上面的推廣，繼續(xù)推想，便可解決如下問(wèn)題：

〓〓（1）倘若注意到(2+■)■(2-■)■=1和■·■=■2=■.

不難有：■·■·■=1.

〓〓類(lèi)似地推廣開(kāi)來(lái)，可有：■·■···■■=1.

（2）計(jì)算：log■(■+■)=log■(■-■)■=-1.

同理有：log■(■+■)=log■(■-■)■=-1（a＞0）.

〓〓log■(■)=1（a≥0 ，ｄ＞0且a=0時(shí)ｄ≠1）. 〓〓（3）解方程:(■-■)■=(■+■)■.

〓〓由上面結(jié)論，可得(■+■)■=(■-■)■

〓〓故3x-7=-7x-3，x=■

〓〓對(duì)于 (■-■)■=(■+■)■a≥0，可仿上法解之．

〓〓三、“特殊與一般”抽象的舉例

〓〓若被研究的對(duì)象很抽象或困難，一時(shí)無(wú)從下手，往往可以先將問(wèn)題特殊化，或者利用圖形直觀觀察，或者用具體數(shù)字代替字母驗(yàn)證；或者用有限代替無(wú)限；或者把運(yùn)動(dòng)問(wèn)題暫時(shí)化為靜止?fàn)顟B(tài)；或者削弱問(wèn)題的某些條件限制，即從“特殊化”或“簡(jiǎn)單化”的情況下尋求問(wèn)題解決的方法，猜想問(wèn)題的普遍性結(jié)論，分析特殊性與普遍性的內(nèi)在聯(lián)系，并在一般性狀態(tài)下予以解決論證．其典型例子莫過(guò)于數(shù)學(xué)歸納法的原理及其應(yīng)用．

〓〓例： (2012年武漢市調(diào)研試題)設(shè)a■是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)所有自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)．

〓〓（1）寫(xiě)出數(shù)列a■的前三項(xiàng)；(2)求數(shù)列a■的通項(xiàng)公式(寫(xiě)出推證過(guò)程).

〓〓解: （1）略解前三項(xiàng)分別為2，6，10．

〓〓（２）解：由前三項(xiàng)猜想數(shù)列有通項(xiàng)公式a■=4n-2.

〓〓證明：（a）當(dāng)n=1時(shí)，∵ 4×1-2=2，又由（１）知a1=2，故結(jié)論成立．

〓〓（b）假設(shè)n=k (n?叟1，k∈N)有ak=4k-2成立．

〓〓由題意，■=■ ，且ak=4k-2，得2k=■，

〓〓解得Sk=2k2，又■=■，

〓〓且S■=S■+ak+1，

〓〓將Sk=2k2代入上式，得(■)=2(ak+1+2k2).

〓〓整理得a2■■-4ak+1+4-16k2=0，由于ak+1＞0，解得ak+1=2+4k=4(k+1)-2，即n=k+1時(shí)，結(jié)論正確．

根據(jù)（a）（b），可知結(jié)論對(duì)一切自然數(shù)n均成立．

〓〓上面數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用舉例，就是典型的由特殊到一般，有限到無(wú)限的遞推、猜想、證明的概括與抽象的范例．

〓〓在概念教學(xué)、解題教學(xué)以及高考復(fù)習(xí)教學(xué)中實(shí)施對(duì)學(xué)生抽象能力培養(yǎng)的思路和方法，能使學(xué)生對(duì)當(dāng)前高考側(cè)重考核能力和素質(zhì)的適應(yīng)性不斷增強(qiáng)，取得較好效果．總之，培養(yǎng)學(xué)生的抽象歸納能力的方法和形式是多樣的，只要教師能根據(jù)教材特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，善于思考學(xué)生抽象歸納思維發(fā)展的規(guī)律，就一定能在教學(xué)中培養(yǎng)出抽象歸納能力出色的好學(xué)生．

〓〓責(zé)任編輯〓羅〓峰