立體幾何的逆向思維解法

〓〓在學習高中數學的立體幾何知識中，很多證明的觀點都具有可逆結構。不少學生在解題過程中往往只注重常規的、正向的思考方式去解題，墨守成規，不善于用逆向思維，使得有些問題難以解決或是過程十分復雜。而運用逆向思維往往具有很大的創新性，不僅可以找到解決問題的方法，甚至可以找到解決問題的新方法。因此在學習過程中應加強逆向思維的教學，不僅可以加強原有知識的理解，而且還可對知識從不同的角度、不同的側面去探索，從而解決問題，繼而提高學生的分析問題和解決問題的能力，開拓學生的思維。

〓〓一、證明線面平行

〓〓在教材中，我們證明線面平行需要三個要素：兩線一面。線面平行的定理是：平面外一直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。因此在證明上學生就會直觀地以正面思維的方法找取直線.

〓〓例：如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F 分別是PB，PC的中點，證明：EF∥平面PAD。

〓〓分析：根據定理的證明，要證明EF∥平面PAD，應在平面PAD上找一直線與EF平行，可以得出，EF∥BC∥AD，而CD是平面PAD上的直線，則證明成立。

〓〓但我們知道，要證明線面平行，必須在平面內找一直線與平面外直線平行，但有時平面內那條直線沒有直接給出，需要自己選取，很多學生在選取這條直線有些困難。因此，在教學中讓學生用逆向思維方式思考是必要的。主要方式有兩種：

〓〓（1）把結論當已知的逆向思維思考方式：要證明a∥α，如果a∥α成立，由線面平行的性質定理得：如果過直線a作一個平面，與平面α交于直線b，則有a∥b。可得直線b必是我們所找的直線。那么如何恰當地過直線a作平面與平面α相交呢？有代表性的作法有兩種：1. 一點一線確定一個面：在平面上找確定的點與已知直線構造平面，延伸與已知平面相交；2. 兩平行線確定一個面：過已知直線中的兩點作兩條平行線確定一平面，與已知面相交。下面根據兩種作法舉例論證：

〓〓例：如圖，已知平行四邊形ABCD與平行四邊形ABEF共邊于AB，M、N分別在對角線AC、BF上，且BN:NF=CM:MA．求證：MN∥平面ADF。

〓〓方法一：

〓〓分析：無法直接在平面ADF內找一直線平行于MN。可根據把結論當已知逆向思維方式，用性質定理確定直線。用代表性作法一確定平面，如，F點和MN確定一平面，延伸FH交B點，連接BM交AD于P點（如下圖）。則平面BFP與平面ADF相交于FP，可確定直線FP∥MN。根據推理可簡單證明：

〓〓因為BC∥AD，所以BM:MP=CM:MA；又因為BN:NF=CM:MA，所以BM:MP=BN:NF，則MN∥FP，得 MN∥平面ADF。

〓〓方法二：

〓〓分析：無法直接在平面ADF內找一直線平行于MN。可根據把結論當已知逆向思維方式，用性質定理確定直線。用代表性作法二確定平面，如，過M、N兩點分別作平行線確定一平面，作NG∥AB，MH∥AB，則平面ADF與平面MNGH相交于GH，可確定直線GH∥MN。根據推理可簡單證明：

〓〓因為NG∥AB，所以NG:AB=FM:FB；同理，MH:CD=AM:AC；又因為BN:NF=CM:MA，所以FM:FB=AM:AC；所以NG:AB=AM:AC；又因為AB∥CD，AB=CD，所以NG∥AM，NG=AM，所以四邊形NGHM為平行四邊形，所以MN∥GH，得MN∥平面ADF。

〓〓（2）運用面面平行性質定理的逆向思維思考：要證明a∥α，根據面面平行的性質定理得：如果過直線a的一個平面β與平面α平行，則a∥α。可有時直線a所在的平面卻沒有直接給出，需要我們自己去構造，如何構造面面平行呢？主要作法是：兩相交線確定一個面，過已知直線的一點作已知平面的平行線（若結論成立，構造一直線平行已知平面，則構造的平面必然與已知平面平行）。

〓〓方法三：

〓〓分析：過點M作AD平行線，即MQ∥AD，連接NQ（如圖），則要證明MN∥平面ADF，即證明平面MNQ∥平面ADF。簡單證明如下：

〓〓因為MQ∥AD∥BC，所以BQ:AQ=CM:MA；又因為BN:NF=CM:MA，所以BQ:AQ= BN:NF，所以NQ∥AF，所以平面MNQ∥平面ADF，所以MN∥平面ADF。

〓〓二、證明線線垂直

〓〓在教材中，證明線線垂直，直接證明這兩條直線垂直，角度證明或是勾股定理的條件往往不足，令證明存在困難，甚至于無法直接證明。因此，在教學中讓學生根據證明線面垂直的判定定理（一直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直），以及運用線面垂直的定義（直線與此平面垂直，則該直線垂直于平面上的任何直線），解題中考慮把結論當條件逆向思維方式去思考，推導條件，這樣比較容易解決問題。

〓〓例：如圖所示，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面ABCD，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F，求證：AF⊥SC。

〓〓分析：要證明AF⊥SC，直接證明無法解決，換個思維方式思考，若結論AF⊥SC成立，而從條件中發現EF⊥SC，可得出SC⊥平面AEF，則由線面垂直的定義可得結論成立。即證明線線垂直，可先證線面垂直，再由線面垂直可推得線線垂直。

〓〓因此可從結論逆用推導結論，簡單分析證明如下：要證明AF⊥SC?坩（即證）SC⊥平面AEF?坩已知條件EF⊥SC，結論只作思考，但證明的必須是另一直線AE，即證明AE⊥SC?坩AE⊥平面SCB?坩已知條件AE⊥SB，結論AE⊥SC只作思考，但證明的必須是另一直線BC，即證明AE⊥BC?坩BC⊥平面SAB(AE所在的平面) ?坩條件矩形ABCD可得BC⊥AB，SA⊥平面ABCD可得BC⊥SA。

〓〓由上面的分析證明，我們知道直接得到AF⊥SC存在困難，也無法直接一步解決問題，而必須運用結論的思考，根據垂直判定定理和垂直定義的逆向思維運用與結合：線線垂直?圳線面垂直，從而得出結論，難以直接解決問題，用逆向思維的思考方式顯得簡單明了。

〓〓在立體幾何中，無論是在線面平行或是線線垂直，甚至于面面平行、線面垂直和面面垂直的證明問題上，運用逆向思維解法的方式都具有普遍性。然而在數學教材中，只是直觀地解析證明定理，對于教材的編輯也是直觀地歸結判定定理和性質定理，在判定定理與性質定理間的解析中，逆向思維的運用卻沒有真正體現到。例如在數學立體幾何教材的編排中，判定定理：（2.3.1）線面平行定理，（2.3.2）面面平行定理，性質定理為后章節：（2.3.3）線面平行性質定理，（2.3.4）面面平行性質定理。前后順序分開講解，獨立性很強，很少體現（2.3.1）線面平行定理與（2.3.3）線面平行性質定理的結合，以及（2.3.1）線面平行定理與（2.3.4）面面平行性質定理的逆用思維方式。教材是正面、直觀地讓學生理解數學的各方面知識點，分開章節教學，單一地了解幾何知識點，那么學生只能正面地思考平行或垂直的定理，簡單理解知識點。而如果學生的思維長期處于正向思維活動，那么他們在思考問題上，就會通過正向思維來解決問題。而這對于很多利用正向思維很難獲得解決的問題（如上述例題），必然存在一定難度，甚至于無法解決，教師教學中可以適當指引學生，開發學生新的思考思維方式，采用逆向思維去思考，則可以使問題很快得到解決，從而提高學生的思維能力。

〓〓因此，教師在教學的過程中應培養學生的逆向思維，在教材的基礎上，可以適當做出處理，除了運用基礎知識，在思考能力上，多結合判定定理與性質定理的相結合去運用；在解題證明上，多引導學生運用結論當條件的逆向思維方式去解決問題，培養學生運用逆向思維方式去解決問題。這樣不僅可以使學生運用多種方法解決問題，提高學生的學習興趣，也開拓了他們的思維，提高數學思維能力。

〓〓責任編輯〓羅〓峰