討論數(shù)學(xué)問題如下棋

〓〓例：設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2.0），B(0.1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k＞0）與 AB相交于D點(diǎn)，與橢圓相交于 E、F兩點(diǎn)．（Ⅰ）若■=6■，求k的值；（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值．

〓〓這道題給出了標(biāo)準(zhǔn)答案，但是有“跳步”的現(xiàn)象，學(xué)生不易理解.我和張老師一邊自己做題目，一邊討論問題，相當(dāng)于下棋中的“復(fù)盤”.

〓〓解：（Ⅰ）依題設(shè)得橢圓的方程為■+y■=1，

〓〓直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k>0）．

〓〓如圖，設(shè)D（x0，kx0），E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1

且ｘ１，ｘ２滿足方程（１＋４k２）ｘ２=4，

〓〓故ｘ２＝－ｘ１＝■①

〓〓由■=6■知ｘ０－ｘ１＝６（ｘ２－ｘ０），得ｘ０＝■（６ｘ２＋ｘ１）＝■ｘ２＝■；

〓〓由D在AB上知ｘ0+2kx0=2，得ｘ0=■．

〓〓所以■=■，

〓〓化簡(jiǎn)得24k2-25k+6=0，

〓〓解得k=■或k=■．

〓〓對(duì)于第（Ⅱ）問，我們討論了四邊形面積怎么求，可以看成S△ABE+S△ABF，線段AB的長(zhǎng)度容易求，還要用到點(diǎn)到直線的距離公式；也可以看成S△BEF+S△AEF，要用到弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式.兩種方法都可以，這要看每個(gè)人的“棋風(fēng)”是怎樣的，是偏穩(wěn)重的，還是偏激進(jìn)冒險(xiǎn)的.相對(duì)來說，解法一是比較穩(wěn)重的，三角形的邊AB上的高和面積都用變量k表示出來.

〓〓（Ⅱ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)E、F到AB的距離分別為

h1=■=■，

h2=■=■．

〓〓又AB=■=■，所以四邊形AEBF的面積為

S=■AB（h■+h■）=

■·■=■

=2■≤2■，

〓〓當(dāng)做到Ｓ＝■時(shí)，張老師問怎么辦，我說要把１＋２k放在根號(hào)里面去，張老師將上式變形為Ｓ＝２■，我說要用分離常數(shù)法，然后分子分母同時(shí)除以k，轉(zhuǎn)化為基本不等式的模型來做，他說是哦，就沒有往下“復(fù)盤”.當(dāng)然，對(duì)于學(xué)生來說，他們要多一些時(shí)間來消化，他們肯定要繼續(xù)做下去的.

〓〓當(dāng)2k=1，即當(dāng)k=■時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為2■．

〓〓解法二：由題設(shè)，BO=1，AO=2．

〓〓設(shè)y1=kx1，y2=kx2，由①得x2>0，y2=-y1>0，

〓〓故四邊形AEBF的面積為S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2.

〓〓怎么面積S的表達(dá)式那么簡(jiǎn)單？于是我嘗試了一下我的心算能力，希望能夠接近下棋中的“盲棋”的地步.我沒有在紙上寫出過程，而是心想：弦長(zhǎng)公式為EF=■x■-x■=2x■■，這里面有■，計(jì)算結(jié)果怎么會(huì)沒有了呢？這時(shí)張老師提示說求點(diǎn)B到直線EF的距離等于■，■剛好約分約掉了.

S=■=■≤■=2■，

〓〓當(dāng)時(shí)x2=2y2，上式取等號(hào)．所以S的最大值為2■．

〓〓當(dāng)時(shí)S=x2+2y2，要怎么往下走，要注意到點(diǎn)在橢圓上，滿足

x■■+4y■■=4（關(guān)鍵時(shí)刻要觀察整個(gè)棋局的大勢(shì)），又x2+2y2>0，所以要把S變形為■=■，這時(shí)x■■+4y■■為一個(gè)定值，而4x■y■要用基本不等式了.課堂上不一定能講到這里，但是我們作為數(shù)學(xué)老師，此時(shí)感受到了這道題的精妙所在，剛好能夠用到已知條件，剛好能用基本不等式！比較難的數(shù)學(xué)問題往往要推導(dǎo)到差不多時(shí)才能看出它所用的數(shù)學(xué)模型.

〓〓討論數(shù)學(xué)問題如下棋，一步一步推導(dǎo)，就是一步一步“下棋”的過程，有的時(shí)候要走一步看三步，有的時(shí)候甚至可以下“盲棋”，鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維，以達(dá)到“下棋”的最高境界！

責(zé)任編輯〓羅〓峰