高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用化歸思想的案例分析

[摘 要]：近些年來(lái)，隨著素質(zhì)教育的全面開(kāi)展，高考試題中靈活多變、形式多樣、與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)題目也層出不窮。很多學(xué)生由于不適應(yīng)這種實(shí)用性強(qiáng)的題目，往往無(wú)法從題目中找到問(wèn)題的突破口。而高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，化歸思想的運(yùn)用為學(xué)生死搬教條應(yīng)試思維的改變提供了良好的途徑。化歸思想簡(jiǎn)言之就是化未知為已知，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，以邏輯方式來(lái)探究或者借助某種某種構(gòu)造理念來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]：化歸思想 創(chuàng)新能力 層次教學(xué) 高效學(xué)習(xí)

一、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用化歸思想的必要性

（一）打破應(yīng)試思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能

在素質(zhì)教育全面開(kāi)展的今天，我們應(yīng)該清楚的認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化，并不單單是進(jìn)行“現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教學(xué)”而是要進(jìn)行“數(shù)學(xué)的現(xiàn)代教學(xué)”。隨著近年來(lái)，數(shù)學(xué)考試中靈活多變、應(yīng)用性強(qiáng)等考試試題的出現(xiàn)，使得培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力便變得尤為重要。

化歸思想的核心就借助所學(xué)的數(shù)學(xué)思想使陌生問(wèn)題得到解決的一種解題策略。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)通過(guò)化歸思想的滲透逐步培養(yǎng)學(xué)生把陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學(xué)模型的思維能力。從而讓學(xué)生在解題過(guò)程中自覺(jué)地將求解系統(tǒng)向答案的目標(biāo)系統(tǒng)靠近，進(jìn)而將未知轉(zhuǎn)化為熟知，順利作答。例如：將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題；將多元轉(zhuǎn)化成少元問(wèn)題；將多次方函數(shù)轉(zhuǎn)化為低次方函數(shù)等等。在這種避難尋易的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化過(guò)程中，不僅能打破學(xué)生死板教條的應(yīng)試思維，更為學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和發(fā)展提供了良徑。

（二）改革教育方法，提高學(xué)習(xí)效率

高中階段是個(gè)人思維發(fā)展的高峰期。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師采用的數(shù)學(xué)教育方式是否得當(dāng)對(duì)學(xué)生個(gè)體數(shù)學(xué)能力發(fā)展水平的高低起著決定性作用。傳統(tǒng)的應(yīng)試教學(xué)，通常是以教師講授，學(xué)生聽(tīng)記為主的“授之以魚(yú)”的思維教學(xué)模式。這在很大程度上限制了學(xué)生發(fā)散性數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，同時(shí)，也阻礙了學(xué)生自主創(chuàng)新能力的提高。

在高中數(shù)學(xué)中實(shí)踐中，教師可以在講解完因式分解，放大縮小，變量替換，典型化方法，逐步逼近法等數(shù)學(xué)思想之后，為學(xué)生選擇相應(yīng)的試題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中采用分類(lèi)和整合思想把一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題有效的分解成若干個(gè)小問(wèn)題去求解。這不僅能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，更為教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)“授之以漁”打造了良好的平臺(tái)。

二、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用化歸思想的措施

（一）選取經(jīng)典題目，舉一反三

眾所周知，高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有任務(wù)重、時(shí)間短、課時(shí)多的特點(diǎn)，如何利用有效的課堂時(shí)間，實(shí)現(xiàn)在最大程度上培養(yǎng)數(shù)學(xué)“高分”生的同時(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)“高能”生，已成為擺著高中數(shù)學(xué)教師面前的一道難題。在日常的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重選取一些經(jīng)典題目，深刻剖析其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)化歸思想，并配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)題目，從而達(dá)到舉一反三的教學(xué)效果。

例如：求函數(shù)y=（4sinx+1）/（2cosx-4）的值域。

依題，點(diǎn)（2cosx，4sinx）都在軌跡方程為：

x^2/4+y^2/16=1 的橢圓上. 而所求值域就是橢圓上的點(diǎn)和點(diǎn)（4，-1）連線的斜率。根據(jù)圖像，很容易知道，兩個(gè)相切地點(diǎn)就是值域極值點(diǎn)所在。

設(shè)切線方程為：y+1=k（x-4）與橢圓聯(lián)立，然后判別式為0.

即為：4x^2+[k（x-4）-1]^2=16.

<=>（4+k^2）x^2-（8k^2+2k）x+16k^2+8k-15=0.

=>[-（8k^2+2k）]^2-4*（4+k^2）（16k^2+8k-15）=0.

=>12k^2+8k-15=0.

=>（2k+3）（6k-5）=0

=>k=-3/2或k=5/6.

=>取值范圍為[-3/2，5/6].

這是典型的數(shù)形結(jié)合的案例，題目乍一看是函數(shù)問(wèn)題，實(shí)際上卻是與橢圓相關(guān)聯(lián)的幾何問(wèn)題。高中生在遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，應(yīng)積極聯(lián)想所學(xué)的幾何問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解決問(wèn)題，并且做完題后應(yīng)積極反思，從而做到舉一反三，觸類(lèi)旁通。

（二）密切聯(lián)系教材，適當(dāng)拓展知識(shí)

從近幾年的高考試卷分析來(lái)看，無(wú)論是選擇題、填空題還是計(jì)算題、綜合類(lèi)大題，均無(wú)偏題、怪題。這些題目主要是從不同角度、不同層次來(lái)考察了課本知識(shí)點(diǎn)。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師們應(yīng)從知識(shí)點(diǎn)的橫向、縱向等各個(gè)方面，深層次挖掘知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)，從而為學(xué)生構(gòu)建全方位、立體化、靈活性的知識(shí)體系。

例如：在講解函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、圓等問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)積極探究這些知識(shí)點(diǎn)中蘊(yùn)含的待定系數(shù)法、配方法、坐標(biāo)法、換元法等化歸思想，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力。在講授函數(shù)時(shí)，教師可運(yùn)用如下案例：

已知2f（-tanx）+f（tanx）=sin2x，求f（x）.

sin2x=2sinx cosx=2sinx cosx/（（sinx）^2+（cosx）^2）=2tanx/（（tanx）^2+1）

令t=tanx 則 2f（-t）+f（t）=2t/（t^2+1）①

由于這是關(guān)于f（t）的函數(shù)方程，我們也可以通過(guò)化歸思想里面的構(gòu)造法來(lái)解題，具體方法如下：構(gòu)造法 已知關(guān)于f（x）的函數(shù)方程，用構(gòu)造法解。根據(jù)方程特征，通過(guò)替換（實(shí)質(zhì)是換元法），構(gòu)造另一個(gè)方程，聯(lián)立方程得二元方程組，用消元法，解出f（x）. 這些簡(jiǎn)單易懂的化歸思想有效地促進(jìn)了學(xué)生解題效率的提高，同時(shí)，也為學(xué)生脫離題海提供了良好的學(xué)習(xí)方法。

（三）開(kāi)展層次化教學(xué)，激發(fā)學(xué)生積極性

在日常的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)改變以往“一刀切”的教學(xué)作風(fēng)，不能為了盲目趕教學(xué)進(jìn)度而忽視了學(xué)生的個(gè)體性差異，而導(dǎo)致教學(xué)陷入“好學(xué)生吃不飽，壞學(xué)生吃不了”的惡性循環(huán)。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)針對(duì)班級(jí)學(xué)生不同的接受能力和學(xué)習(xí)能力，開(kāi)展層次化、立體性、全面性的數(shù)學(xué)化歸教育，從而真正做到“因材施教”，既滿足學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的同學(xué)的高效率學(xué)習(xí)要求，又有效的幫助學(xué)習(xí)能力弱的同學(xué)增強(qiáng)了學(xué)習(xí)自信心和主動(dòng)性。

例如：求與已知圓x2+y2-7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直線2x-3y-1=0且過(guò)點(diǎn)（-2，3），（1，4）的圓的方程.

解：公共弦所在直線斜率為 ，已知圓的圓心坐標(biāo)為（0， ），

故兩圓連心線所在直線方程為y- =-x， 即3x+2y-7=0，設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

由

所求圓的方程為x2+y2+2x-10y+21=0.

這是典型的直線與圓相交的案例，對(duì)于學(xué)習(xí)能力一般的學(xué)生，教師僅僅讓其做完這一類(lèi)培訓(xùn)題目即可，而對(duì)學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，教師可以再延展一下圓與圓相交、圓與拋物線相離等問(wèn)題，幫助學(xué)生培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

三、結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)課堂上引進(jìn)數(shù)學(xué)化歸思想，無(wú)容置疑，為枯燥、繁瑣、單調(diào)的數(shù)學(xué)課堂注入了新的活力。高中數(shù)學(xué)中化歸思想的運(yùn)用，不僅促進(jìn)了學(xué)生們高效、有序、積極的學(xué)習(xí)，更促進(jìn)了學(xué)生自主探究問(wèn)題、主動(dòng)思考問(wèn)題的發(fā)散性數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。在日常的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生改變?cè)谟龅诫y題時(shí)，消極放棄或者立馬向老師求救的思想，逐步培養(yǎng)其主動(dòng)把問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，從而讓學(xué)生在探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)用所學(xué)的化歸思想，去回顧、構(gòu)建、重組知識(shí)，進(jìn)而提高學(xué)生的自主創(chuàng)新能力和學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]王家燕 王前. 數(shù)學(xué)化歸方法訓(xùn)練 [J] . 中學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，1994（09）.

[2]張志深. 注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué) [J] .中國(guó)國(guó)際廣播出版社，1997（01）.

[3]郭思樂(lè). 數(shù)學(xué)思想教育 [D] . 廣州華南師范大學(xué)，1992（05）

[4]張國(guó)旺. 中等數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí) [D] . 首都師范大學(xué)，2005（09）

[5]張延永. 3+X高考數(shù)學(xué)能力探究[D] .北京工業(yè)大學(xué)出版社，2004