數值微分問題的兩種正則化方法研究

楊 婷

（蘭州職業技術學院 甘肅蘭州 730050）

數值微分問題的兩種正則化方法研究

楊 婷

（蘭州職業技術學院 甘肅蘭州 730050）

隨著工業水平的不斷發展和科學技術的不斷進步，數值微分問題的正則化逐漸受到研究人員的重視。現如今正則化已經是數學領域的重要研究課題之一，尤其是近些年，相關的研究成果層出不窮。本文從數值微分和正則化的相關理論出發，簡要分析了反問題與不適定問題的內涵，并對Fourier截斷方法及修改核方法進行了一定程度的研究。

數值微分；正則化；反問題；不適定

一、數值微分

所謂數值微分就是指有函數在離散點的函數值，計算出該函數在整個取值區間內某一點的導數或者高階導數近似值。在實際計算過程中，我們往往會使用差商去代替微商，選擇更為簡單的可微函數去代替原函數來進行最終求導計算。譬如，在等距離范圍內可以利用插值多項式的導數來代替一些數值微分問題，給出函數導數近似值；或者利用待定系數法來計算函數各階導數的微分公式，并逐步推導出所需要的函數求導階數，從而提高最終的計算精確度。上述兩種方法都是數值微分的計算方式，但對于不同類型的函數我們需要采取不同的計算方法。如果該函數的可微性不好，就需要使用到樣條插值來進行數值微分；如果該函數在取值范圍內存在離散點隨機誤差，那么就必須才用到曲線擬合的方式來替代函數插值，通過擬合來求導，以盡可能地降低隨機誤差對于計算精確度的影響。

二、正則化

所謂正則化就是為了使用正則表達式用以在海量數據中迅速查找匹配的數據方法。研究正則化肯定要涉及反問題這一概念，反問題在形式上主要分為兩種，即在已知系統和輸出的前提下，計算輸入值；在系統未知的前提下去計算輸入值。當然，反問題的計算解決有難易之分，大多數的反問題是可以通過合適的方法計算出最終結果的，但還有一些非常難以計算的問題。這些較難解決的問題我們就稱他們為不適定問題，它們通常表現出病態的特征，即使對問題本身進行一定的改變，仍然不會最終改善病態問題。實際證明，僅僅通過簡單的形式變化并不能最終解決不適定問題，而且從某種意義上來說，不是定問題完全不可能被準確計算出來，只能夠計算出一個近似準確值。“近似”是當前求解不適定問題最常使用的方法，即用一組與不適定問題近似的適定問題去不斷逼近最終解。實質上這個過程我們就可以稱之為正則化，研究正則化就是在研究不適定問題。

三、反問題與不適定問題

隨著世界工業水平的不斷發揮和科學技術的不斷進步，實際生產生活中出現了越來越多的反問題，現代數學研究領域已經將反問題作為重要課題之一，時不時就會有一些關于反問題的研究成果問世。簡單理解，所謂反問題就是相對于正問題出現的，美國Stanford University的J.B.Keller教授早在1976年就針對反問題的定義做出了解釋：在一對互逆的問題之中，假如其中一個問題是由另一個問題解的部分信息構成，那么我們就是將其中一個問題稱為正問題，另一個問題稱為反問題。國內是在上世紀80年代才開始對反問題進行相關研究的，著名數學家馮康院士是該領域的先驅者之一。

一個反問題的求解涉及了多種數學計算方法，如最優化方法、微分方程數值解法、概率統計等等，基本是按照數學物理方程求解來進行的。相較于正問題而言，我國在反問題的研究上起步較晚，現在基本處于初級階段。雖然反問題的研究對我國數學其他領域的發展有著一定的促進作用，但就近些年反問題的研究成果來看，收效甚微。究其原因，主要是因為反問題求解非常困難，很多情況下都要違背自然物理順序，正問題求解過程中保存的良好性質無法照搬使用。這幾十年來，針對于反問題的研究基本就限定在設計與識別、設計和探測等應用問題上。反問題和不適定問題在本質上是有一定聯系的，主要表現為大多數反問題都是不適定的，這種不適定性主要表現為兩個方面：一方面，在客觀條件的限制下，給定解的部分信息通常情況下是欠定的或者過定的，從而導致解的不存在性和不唯一性；另一方面，在輸入小擾動的情況下，往往會引起數值解和精確解兩者之間出現不可接受的大誤差，從而促使研究人員針對擾動數據求反問題進行穩定計算方法的研究。所以，反問題和不適定問題是兩個緊密相連的理論，在很多研究過程中都是放在一起進行分析的。

經典數學物理理論中，主要研究的是適定問題，實際上早在1923年著名數學家Hadamard就已經對“問題適定性”的概念進行了解釋。他指出只要能夠滿足三個要求：問題的解是存在的；問題的解是唯一的；問題的解是穩定的，就說明該問題是一個適定問題。其中任何一個要求沒有得到滿足，該問題就是一個不適定問題。但大多數的不適定問題，都是阿達馬意義下的不適定問題。經過長時間的發展之后，蘇聯科學院院士吉洪諾夫率先針對不適定問題提出了正則化方法，這可以算的上是不適定問題和反問題的里程碑之一。正則化方法的核心理念就是根據具體問題的相關附加信息對不適定問題解進行全新定義，從而利用正定泛函來推導出一個逼近原問題解的穩定求解法。

四、Fourier截斷方法及修改核方法

經過分析我們知道，數值微分之所以會出現不適定問題的根本影響因素是無界核中的高頻部分，這一塊是數據中出現噪音的主要原因。顯然，要想獲得一種穩定求解問題方法，就必須要刪除無界核中的所有高頻部分，以徹底解決噪音源。當前用來刪除噪音源的方法主要有兩種：一是傅里葉截斷法，另一種是修改核方法。

1961年著名學者Miranker首次提出了傅里葉截斷法，并在實際的反向熱傳導問題中加以應用，但其并沒有實際使用正則化方法，只是給出了一些條件穩定性結果。隨著工業技術的不斷發展，我們在很多實際不適定問題的解決中廣泛使用了傅里葉截斷法，并且最終都獲得了較為優秀的結果。Reginska等研究人員在Helmholtz方程Cauchy問題上的分析可以說是傅里葉截斷法的最新應用，在其之后所發表出來的研究成果中，就具體的周期函數高階導數修改核進行了全面而透徹的解釋。但任何一種正則化方法都會存在一定程度的不足之處，傅里葉截斷法同樣在有些地方還存在著優缺點。優點就是傅里葉截斷法能夠非常方便的應用于頻域問題中，不需要進行任何形式的改變，就可以直接應用與實際計算過程，而且從結果上看具有較好的收斂性；缺點就是傅里葉截斷法在非頻域中的應用效果不佳，很多非頻域中的反問題并無法采用傅里葉截斷法進行噪音消除。

最早提出修改核方法理論的是著名學者Lattes和Lions，他們是在不同正則化方法的基礎之上，進行了更深層次的共性研究，提煉出所有方法的本質。具體將其定義為正則化方法之一的是Weber，之后又由Elden在Weber的基礎之上把修改核方法理論中的穩定性和收斂性進行了更為全面的估計分析。同樣修改核方法也存在著一定的優缺點：優點是能夠應用于非頻域中不適定問題的解決；缺點是這種反問題解決方法在收斂性上表現不佳。

[1]溫瑾.幾類拋物型方程逆問題的數值方法研究[D].蘭州大學,2011.

[2]鄭光輝.分數階偏微分方程幾類反問題的正則化方法[D].蘭州大學,2012.

[3]王希云,黃建國,陳宇.基于正則化方法的一個新型數值微分算法[J].高等學校計算數學學報,2009,03:246-256.

[4]張宏武.橢圓方程柯西問題的正則化方法[D].蘭州大學,2013.

[5]朱華平,吳傳生,呂小紅.二維離散數據的數值微分問題的積分算子方法[J].武漢理工大學學報(信息與管理工程版),2010,04:591-594.

Two regular methods for numerical differential problems

Yang Ting

(Lanzhou Vocational Technical College, Lanzhou Gansu,730050, China)

With the development of industrial level of science and technology, regularization of numerical differential problems are paid great attention by researchers. Now the regularization is one of important research topics in mathematics field, especially in recent years, the related research results emerge in an endless stream. This paper starts from the related theories of numerical differentiation and regularization, briefly analyzes the connotation of inverse problems and ill posed problem, and the truncated Fourier method and modified kernel method has been studied to some extent.

numerical differentiation; regularization; inverse problem; ill posed

O172.1

A

1000-9795（2014）04-0181-01

［責任編輯：劉麗杰］

2014-02-20

楊 婷（1979-），女，寧夏銀川人，蘭州職業技術學院中級講師，從事高等數學方向的研究。