初中數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)思想”的滲透與實(shí)踐

楊越

【摘要】數(shù)學(xué)常見(jiàn)的思維主要有：對(duì)應(yīng)、假設(shè)、比較、類(lèi)比、分類(lèi)、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合和變與不變等思想。在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)及學(xué)習(xí)中一定要重視對(duì)常用數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，并在解題中不斷滲透，它們是數(shù)學(xué)的精髓，是解題的指導(dǎo)思想，不斷總結(jié)，以提高教學(xué)及解決問(wèn)題的有效性。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)思想滲透與實(shí)踐

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2014）04-061-01

數(shù)學(xué)思想方法是從一般的數(shù)學(xué)知識(shí)中提煉出來(lái)的精髓，是數(shù)學(xué)科學(xué)建立和發(fā)展的靈魂，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁，也是分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，在教材中沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的章節(jié)介紹它，而是伴隨著基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和做題演練中而展開(kāi)的。下面介紹數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾種常用“數(shù)學(xué)思想與方法”：

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想主要是構(gòu)建數(shù)與形之間的關(guān)系，通過(guò)以形助數(shù)、以數(shù)助形和數(shù)形互助，充分地將直觀和抽象統(tǒng)一融合，達(dá)到靈活解題的目的。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬(wàn)事休?！闭f(shuō)得真好，這句話很形象地說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合的重要意義。數(shù)和形是問(wèn)題的抽象與概括，圖形和圖像則是問(wèn)題的具體化與直觀化。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可以分為兩大類(lèi)型，或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；或者借助形的直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”。如：

反比例函數(shù)y=■（k為常數(shù)，k≠0）。

k有著眾多的功能。如：（1）k決定橫、縱坐標(biāo)的乘積；（2）k的符號(hào)決定雙曲線分布的象限；（3）k的符號(hào)決定雙曲線在每個(gè)象限的增減性；（4）k的絕對(duì)值決定坐標(biāo)軸三角形和坐標(biāo)軸矩形的面積。

二、類(lèi)比思想

類(lèi)比是將看起來(lái)無(wú)關(guān)，甚至差距相差甚遠(yuǎn)的現(xiàn)象進(jìn)行合理分析，總結(jié)出類(lèi)似的解決思路。可以說(shuō)類(lèi)比是一種在不同的對(duì)象之間，或者在事物與事物之間，根據(jù)它們的某些方面如特征、屬性、關(guān)系等）的相似之處進(jìn)行比較，通過(guò)聯(lián)想和猜想，推斷出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨?，從而建立猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)真理的方法。在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，類(lèi)比可以幫助同學(xué)們利用已有的知識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)、理解和掌握新知識(shí)。

又如在教學(xué)“分式和最簡(jiǎn)分式的概念”時(shí)，通過(guò)類(lèi)比分?jǐn)?shù)，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)分式。分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)系是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系。分?jǐn)?shù)等表示具體的數(shù)值，或者說(shuō)每個(gè)分?jǐn)?shù)表示兩特殊的整數(shù)的除法；分式則具有一般的、抽象的意義。分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則，都是從分?jǐn)?shù)的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則中經(jīng)過(guò)再抽象而產(chǎn)生的。在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)分?jǐn)?shù)有較多的了解，因此本章在學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)分式與分?jǐn)?shù)的類(lèi)比，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)分式。從學(xué)情分析來(lái)看，經(jīng)過(guò)七年級(jí)一年的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步養(yǎng)成了自主探究意識(shí)。

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是將要研究和解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)容易解決的問(wèn)題或已經(jīng)解決的問(wèn)題，即把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”轉(zhuǎn)化“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”的思想方法。在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果直接求解比較困難時(shí)，就可以將其轉(zhuǎn)化為另一種形式求解。如：

已知函數(shù)y=3x-5，求當(dāng)■＜x≤3時(shí)，函數(shù)的取值范圍。

此題由一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=3x-5，可以把關(guān)于x的不等式■＜x≤3轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的不等式，從而求得y的取值范圍。

在不少數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，轉(zhuǎn)化思想成了一種很適用的解題技巧。轉(zhuǎn)化思想注重把注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的結(jié)構(gòu)上，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，適時(shí)地調(diào)整和改變?cè)械乃季S方式，以求得問(wèn)題的解決，可以說(shuō)轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)很重要的策略或解題技巧，把所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)條件的轉(zhuǎn)化，結(jié)論的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題化難為易，最終求得問(wèn)題的解答。又如：

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm。一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需爬行的最短路程是多少？

由于螞蟻是沿著長(zhǎng)方體的表面爬行的，故可考慮把長(zhǎng)方體展開(kāi)成平面圖形。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，螞蟻爬行的較短路程有兩種可能，并利用勾股定理容易求出AB的長(zhǎng)度。比較后即可求出螞蟻爬行的最短路程。這里通過(guò)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，把求螞蟻爬行的最短路程問(wèn)題化歸成利用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題。

四、分類(lèi)討論思想

在平時(shí)教學(xué)中，注重分類(lèi)討論思想的引導(dǎo)，可以考察學(xué)生思維的周密性，使其克服思維的片面性，防止漏解。如：

在一條直的長(zhǎng)河中有甲、乙兩船，現(xiàn)同時(shí)由A地順流而下，乙船到B地時(shí)接到通知需立即返回到C地執(zhí)行任務(wù)，甲船繼續(xù)順流航行，已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是每小時(shí)7.5千米，水流的速度是每小時(shí)2.5千米，A，C兩地間的距離為10千米，如果乙船由A地經(jīng)B地再到達(dá)C地共用了4小時(shí)，問(wèn)乙船從B地到達(dá)C地時(shí)，甲船離B地有多遠(yuǎn)？

因?yàn)镃 地的位置不確定，它既可能在A、B兩地之間，也可能在A地的上游，所以應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論。事實(shí)上，某些數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及到的概念、法則、性質(zhì)、公式中分類(lèi)給出的，或者在解答過(guò)程中，條件或結(jié)論不唯一時(shí)，會(huì)產(chǎn)生幾種可能性，這時(shí)就需要分類(lèi)討論，從而得出各種情況下的結(jié)論。