初中數學“數學思想”的滲透與實踐

楊越

【摘要】數學常見的思維主要有：對應、假設、比較、類比、分類、轉化、數形結合和變與不變等思想。在平時的數學教學及學習中一定要重視對常用數學思想方法的總結與提煉，并在解題中不斷滲透，它們是數學的精髓，是解題的指導思想，不斷總結，以提高教學及解決問題的有效性。

【關鍵詞】初中數學教學數學思想滲透與實踐

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2014）04-061-01

數學思想方法是從一般的數學知識中提煉出來的精髓，是數學科學建立和發展的靈魂，是將數學知識轉化為數學能力的橋梁，也是分析和解決數學問題的基本思路。數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，在教材中沒有專門的章節介紹它，而是伴隨著基礎知識的學習和做題演練中而展開的。下面介紹數學教學中的幾種常用“數學思想與方法”：

一、數形結合思想

數形結合的思想主要是構建數與形之間的關系，通過以形助數、以數助形和數形互助，充分地將直觀和抽象統一融合，達到靈活解題的目的。著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合千般好，數形分離萬事休。”說得真好，這句話很形象地說明了數形結合的重要意義。數和形是問題的抽象與概括，圖形和圖像則是問題的具體化與直觀化。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致可以分為兩大類型，或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數解形”；或者借助形的直觀性來闡明數之間的某種關系，即“以形助數”。如：

反比例函數y=■（k為常數，k≠0）。

k有著眾多的功能。如：（1）k決定橫、縱坐標的乘積；（2）k的符號決定雙曲線分布的象限；（3）k的符號決定雙曲線在每個象限的增減性；（4）k的絕對值決定坐標軸三角形和坐標軸矩形的面積。

二、類比思想

類比是將看起來無關，甚至差距相差甚遠的現象進行合理分析，總結出類似的解決思路。可以說類比是一種在不同的對象之間，或者在事物與事物之間，根據它們的某些方面如特征、屬性、關系等）的相似之處進行比較，通過聯想和猜想，推斷出它們在其它方面也可能相似，從而建立猜測和發現真理的方法。在平時數學教學中，類比可以幫助同學們利用已有的知識來認識、理解和掌握新知識。

又如在教學“分式和最簡分式的概念”時，通過類比分數，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式。分數與分式的關系是具體與抽象、特殊與一般的關系。分數等表示具體的數值，或者說每個分數表示兩特殊的整數的除法；分式則具有一般的、抽象的意義。分式的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則，都是從分數的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則中經過再抽象而產生的。在學習本章之前，學生已經對分數有較多的了解，因此本章在學生對分數已有認識的基礎上，通過分式與分數的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式。從學情分析來看，經過七年級一年的學習，學生初步養成了自主探究意識。

三、轉化思想

轉化思想是將要研究和解決的問題轉化為另一個容易解決的問題或已經解決的問題，即把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化“已知”，把“復雜”轉化為“簡單”，把“抽象”轉化為“具體”的思想方法。在解答數學問題時，如果直接求解比較困難時，就可以將其轉化為另一種形式求解。如：

已知函數y=3x-5，求當■＜x≤3時，函數的取值范圍。

此題由一次函數的解析式y=3x-5，可以把關于x的不等式■＜x≤3轉化為關于y的不等式，從而求得y的取值范圍。

在不少數學問題的解決中，轉化思想成了一種很適用的解題技巧。轉化思想注重把注意力和著眼點放在問題的結構上，透過現象看本質，適時地調整和改變原有的思維方式，以求得問題的解決，可以說轉化思想是數學解題中的一個很重要的策略或解題技巧，把所要解決的問題轉化為已經熟悉的問題，通過對條件的轉化，結論的轉化，使問題化難為易，最終求得問題的解答。又如：

長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm。一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需爬行的最短路程是多少？

由于螞蟻是沿著長方體的表面爬行的，故可考慮把長方體展開成平面圖形。根據兩點之間線段最短，螞蟻爬行的較短路程有兩種可能，并利用勾股定理容易求出AB的長度。比較后即可求出螞蟻爬行的最短路程。這里通過長方體的展開圖，把立體圖形轉化為平面圖形，把求螞蟻爬行的最短路程問題化歸成利用勾股定理求兩點間的距離問題。

四、分類討論思想

在平時教學中，注重分類討論思想的引導，可以考察學生思維的周密性，使其克服思維的片面性，防止漏解。如：

在一條直的長河中有甲、乙兩船，現同時由A地順流而下，乙船到B地時接到通知需立即返回到C地執行任務，甲船繼續順流航行，已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是每小時7.5千米，水流的速度是每小時2.5千米，A，C兩地間的距離為10千米，如果乙船由A地經B地再到達C地共用了4小時，問乙船從B地到達C地時，甲船離B地有多遠？

因為C 地的位置不確定，它既可能在A、B兩地之間，也可能在A地的上游，所以應進行分類討論。事實上，某些數學問題涉及到的概念、法則、性質、公式中分類給出的，或者在解答過程中，條件或結論不唯一時，會產生幾種可能性，這時就需要分類討論，從而得出各種情況下的結論。