淺談高等幾何與初等幾何的關系

代珊妮　李湘

摘要：幾何學是數學的重要組成部分之一，對提升學生觀察圖形的能力、空間想象力、邏輯推理的能力等具有重要的作用。高等幾何和初等幾何作為幾何學的重要模塊，在學習思維上具有很多相似之處，初等幾何的學習為幾何學打下了堅實的基礎，高等幾何是在初等幾何的基礎上進行延伸和擴展的一門課程。研究高等幾何和初等幾何之間的關系，可以更好的實現它們之間的過渡和銜接，提升學生的學習效率。

關鍵詞：高等幾何初等幾何關系

數學是初高等教育中必不可少的重要組成部分，幾何學作為數學的基本分支之一，是數學教育中的重點內容。為了平衡初等幾何和高等幾何之間的教育，實現初等幾何向高等幾何的有效過渡，深入探討初等幾何和高等幾何之間的關系是非常必要的。下文筆者將從幾何學的基本概念出發，對高等幾何在幾何學中的重要地位進行闡述，隨后詳細介紹初等幾何和高等幾何的關系。

一、幾何學的基本概念

幾何學是研究空間關系的數學分支，包括平面幾何、立體幾何、黎曼幾何等多種類型，在初等幾何學習中，主要涉及一些平面幾何和簡單立體幾何的學習；高等幾何中會包含大部分的立體幾何以及黎曼幾何等的學習。幾何學在日常生活中有重要的應用，比如建筑的結構設計、空間分配與計算等，學習幾何學可以為中學生未來的工作生活打下良好的基礎。

二、高等幾何在幾何學中的重要地位

高等幾何的解法是基于克萊因提出來的想法深入理解的，即是以變換群的理論為中心，基于一些定理，再對平面內的幾何知識進行解釋，通過對于歐式幾何，解析幾何，空間幾何，代數幾何等幾何的綜合，解決所需的幾何實際問題。在幾何學的歷史上，高等幾何有重要的總結前人的作用，代表了最高的幾何地位。

三、高等幾何與初等幾何的關系

高等幾何是一種通過觀察來解決幾何問題的方法，這種解決問題的幾何方式不僅僅抽象而且很難以理解，但是對于復雜的幾何模型，這種高等幾何的方式往往很有用處，然而對比于高等幾何而言，初等幾何是一種直觀的幾何方式，能夠很快速的測量出簡單的數學模型，得到最優的解決方式。

（一）包含和被包含的關系

在幾何的歷史上，初等幾何是基于歐式幾何發展而來的。歐式幾何的定義是在正交變換下，圖形的形狀和性質都保持不變的內容。由于正交變換群是相似變換的一種，仿射變換群射影變換群的一種類型，在數學上可以表示為，歐式幾何包含于相似度幾何，相似度幾何包含于仿射幾何，仿射幾何包含于射影幾何。

歐式幾何的內容思路可以分為射影性質、射影不變量、仿射性質、仿射不變量、相似性質、相似不變量、磨量性質、度量不變量等等，也就是說在內容上，歐式幾何包含相似度幾何，相似度幾何包含仿射幾何，仿射幾何包含射影幾何。從以上可以得知，歐式幾何涉及的內容在幾個幾何中最大，影射幾何所包含的內容在幾個幾何中最小。不同幾何內容在課堂上的教學重點也很不一樣，歐式幾何是通過對圖像的直觀描述，對于空間架構的繪制最后開發人類的邏輯空間能力，讓學生一步一步地走上處理圖像之間的關系；解析幾何的重點在于對圖像的性質研究，對空間幾何結構組織描述；高等幾何在歐式幾何的基礎上上融合解析幾何的各種特點，也就是說高等幾何的學習可以讓我們的思考更加全面，分析更加透徹，明白的指導各種幾何之間存在的優缺點，并合理搭配使用，因此高等幾何和初等幾何之間的關系是包含和被包含的關系。

（二）拓展和延伸

高等級和對于初等幾何而言，是一種知識和概念上的拓展和延伸。在概念上，中學生的學習知識中對于初等幾何也有一部分的研究，這是高等幾何的范疇。但是由于高等幾何等于中學生而言，涉及面太廣泛了，知識太充盈了，不能深入淺出的分析幾何問題，所以在中學階段一般不提倡使用高等幾何方式解題，在中學生的幾何知識中，主要涉及的是圓和曲線之類的簡單幾何圖案。因為初等幾何存在一些問題，對于很多的知識存在很大的局限性，無法很好的解釋一些獨特的現象，如果掌握了高等幾何，就可以利用高等幾何中的相關知識來觀察高等幾何與初等幾何之間的聯系和區別。

（三）提供理論依據

高等幾何中對中心投影、度量不變形、仿射不變性、射影不變量和二次曲線的射影性質、等內容都進行了分析和研究，這些都能為我們學習幾何學遇到的困難進行解答。比如我們會思考：一個圓形學遇到的困難進行解答。比如我們會思考：一個圓形可以用三個點唯一表示？在學習了初等幾何之后，我們無法利用這些只是解答我們的問題，但是學習和掌握了高等幾何知識之后，我們就可以找到這個答案。因此學習高等幾何可以提高我們解決問題的能力，促進我們在大幾何學范疇內討論問題，理解問題，而不是單純的記住問題，可以對于所學的知識用到實處，提高學生的能力。

四、總結

綜上所述，高等幾何對初等幾何而言，有著重要的指導作用，在中學生學習幾何知識的過程中，如果學會了高等幾何，那么在對于初等幾何的思路將會更加開闊和解法多樣化，而且在邏輯方式和三維空間分析能力上將會有大幅度的提升。高等幾何對于中學生而言，有助于加深對初等幾何的理解和概括能力，從而對于其中的問題將會有更加清晰的思路，這不再是掌握和模仿課本上的初等幾何知識，卻是提高思考問題的方式和解法，可以把這種方式應用到別的學科，這些類比、等效、相似等等方式，可以促進中學生的空間想象能力，提升辯證唯物主義的思想，提高思想覺悟和邏輯思維，對于學生有大幅度的成績提升。

參考文獻：

[1]周明旺.髙等幾何對初等幾何教學的指導作用[J].通化師范學院學報，2012，33（4）： 76-77.

[2]王孝振，羅桂芳，肖蓬等.高等幾何在初等幾何中的應用例說[J].福建中學數學，2011， （7）：34-35.

[3]馬麗君.高等幾何與初等幾何的關系[J].南昌教育學院學報 ，2013，（10）：130-131.