對一道直線族包絡試題的探究

張曉陽

2014年高中數學聯賽安徽初賽第7題：設動點P（t，0），Q（1，t），其中參數t∈[0，1]，求線段PQ掃過的平面區域的面積.

設線段PQ掃過的平面區域為G，點P在x軸上運動，點Q在直線x=1上運動，所以x軸和直線x=1是區域G的邊界，解決問題的關鍵是獲得區域G的其他邊界.既然是區域邊界，必然可以用關于x，y的不等式表示.所以可以考慮使用不等式消去t.

解法一：直線PQ的方程為t（x-t）-（1-t）=0，參數t∈[0，1].

以上三種解法關鍵都在于求出直線族的包絡曲線方程，解法一需要一定的不等式技巧，解法二最簡短，但是如果曲線族方程不是關于t的二次式，要解析“包絡上任意一點使關于t的方程f（x，y，t）=0有且只有一解”就有一定的難度，解法一和二相對初等，而解法三需要用到極限思想或者導數知識.

在日常教學和解題過程中，有很多試題讓我們有“感覺”，如果深入剖析，持續不斷地思考，就必將可以使我們對問題有更深刻的認識，使思維得到歷練.以上是筆者在探究本文問題過程中的感受.