高職微積分教學的MM模式初探

潘鳳

【摘要】 微積分的教學是高職數學的挑戰. 由于微積分理論的高深，符號語言的抽象，解題方法的多樣，加上學生認知層次的有限，學生對微積分望而生畏. 筆者認為，將MM教學模式應用于微積分教學，可以激發學生的學習欲望，提高學生的認知水平，改善學生的固化思維，從而達到良好的教學效果.

【關鍵詞】 微積分；MM教學模式；數學認知

21世紀以來，世界各國將微積分引入職業學校數學課程. 然而微積分的教學卻面臨極大挑戰. 首先，高等數學思維與數學經驗的沖突. 其次，教師教學方式與內部動機的對立. 再有，強調重中之重與學無所用的矛盾. 高職微積分教育的最高目標是：以知識為載體，提煉“極限”中的返璞歸真思想，感受導數的演繹推理觀點，掌握積分計算的一般計算方法等，并運用這些思想、觀點、方法去分析、探究、解決今后學習工作上的難題. 而此最高目標的達成需要改變教育方式，實踐證明，MM教育方式是適合微積分教學的目標達成度最高的方式.

一、選擇MM數學教育方式的必然性

（一）MM教育方式掠影

MM教育方式，即數學方法論的教育方式，取“Mathematical

methodology education pattern”前兩個詞頭，是波利亞方法論在中國數學的實踐運用，是由無錫市教科所的徐瀝泉同志在1989年提出并付諸實踐. 該方式的理論精髓：運用數學方法論的觀點指導數學教學，即應用數學的發展規律、數學的思想方法、數學中的發現、發明和創新機制設計和改革數學教學的一種數學教學方式.[4]使用MM方式在數學教學的全過程中遵循“2238”原則，充分發揮數學教育的2個功能：科學技術功能和文化教育功能；自覺遵循2條原則：教學、研究、發現同步協調原則和既教證明又教猜想原則；瞄準3項具體目標：一般科學素養、社會文化素養、數學品質；恰當操作8個變量：返璞歸真教育、數學美育、發現法教育、數學家優秀品質教育、數學史志教育、演繹推理教育、合情推理教育、一般解題方法教育. 從而全面提高學生素質.

（二）大浪淘沙始見金——MM教育方式能實現有效教學

20世紀80年代至今，各種數學教育理論、教改方案、教學方法層出不窮，有“探究性學習”理論、“情境設置”方案、“活動課”教學方法等，然而探究無度、情境無限、活動無目的造成很多方法的片面使用. 因為數學教學內容的復雜性、相關度等的不同，教條主義已不適用，需要使用組合拳. 而MM教育方式正是幾十年來碩果僅存的數學教育方式，它不光存活，還在發展.

（三）MM教育方式對微積分教學的積極意義

對高職校的學生而言，微積分理論高深，符號語言抽象，解題方法多樣. 然而徐瀝泉認為：“學習數學的困難，并不是它本身的抽象形式，而是離開了它抽象的背景，離開了用似真推理來發現它的過程，離開了在受到挫折以后對反饋信息的分析，離開了生動活潑的創造發明的活動機制. ”[4]那么要問：這些背景、過程、分析、發明從哪里來？答案就是MM教育方式. 解決微積分教學的困難不是把難講的證明刪去，把抽象度高的理論忽略，把考試難度降低，如果這樣，只會縱容學生的好逸惡勞、偷工減料和知難而退的心理，造成學生素質的下降. 教師需要MM設計，把數學的精彩內容和完美形式呈現；除了培養學生學習知識之外，教給學生從“宏觀”到“微觀”的思想，讓學生感受微積分的神奇，解決初等數學沒有辦法解決的問題，從而產生學習微積分的自豪感.

二、微積分教學中“MM設計”原則

（一）情境引入恰當原則

由于微積分基礎對象復雜的結構，教學中需要創設相應的情境引導學生進入主題學習，然而只有恰當的情境才能激發學生的求知欲. 教師要根據微積分教學內容和要求，考慮學生的認知，創設良好的教學氛圍，運用適合學生理解的情境，最終促進學生知識的遷移.

（二）符號講解詳盡原則

符號是數學的語言，是數學簡潔抽象特點的重要因素. 只有在設計中對符號的講解細致深入，配以學生的書寫練習，才能真正對微積分符號達到了然于胸的程度. 極限符號“■”的講解不光要注重與英文單詞“limit”的聯系，更要關注字母的書寫. 可以用英文三線格給出正確的示范，讓學生感受字母相應的位置和大小狀況. 不定積分符號“ ∫”可從它的發明者萊布尼茨講起，發現其是由英文單詞“sum”的首字母“s”拉長得到，這樣不光對學生進行了數學史志教育，更感受了積分的內涵是求和.

（三）學生參與廣泛原則

學生是課堂的主體，然而微積分的教學容易變成教師的獨角戲. 在MM教育方式的指引下，為了實現發現法教育，需要設計出學生能夠廣泛參與的MM課堂. 布魯納（Bruner，1966）這樣說：“我們講授某個課程并不是為了形成有關該課程的小型百科全書，而是讓學生自己去思考……像歷史學家那樣去考慮問題，去參與獲得知識的過程. ”雖然微積分概念的講解學生的參與度極低，然而教師可以通過層層推進的問題幫助學生思考，用啟發創新的方式讓學生自己嘗試定義、命名，用黑板演練的形式加強學生符號書寫能力，從而提高參與課堂的廣泛度.

三、微積分教學中MM模式的使用

下面從微積分最重要的三個部分極限、導數、積分出發，探討一下學生對這幾部分的理解和認知，并給出MM設計案例，展現MM模式的效果.

（一）極限思想

極限思想貫穿微積分始終，是學習微積分的敲門磚. 柯爾尼（Cornu）指出：“極限教與學的困難不僅在于極限概念本身的豐富性和復雜性，還在于僅憑定義本身并不足以生成理解該概念所需的認知要素. ”[2]為了降低難度，課本刪去了“ε - N”精確定義，只有“描述性”定義. 然而如何幫助學生理解這種思想，需要精心設計，合理解讀，適時思考. 以“數列極限概念”為例，簡述MM設計過程：首先介紹牛頓和萊布尼茨發明了微積分以及它的用途，對學生進行數學家優秀品質教育、數學史志教育；從“生活中的極限”出發，讓學生暢所欲言，展現他們對“極限”最本真的認知，是一種返璞歸真；多媒體演示割圓術等古代極限思想，讓學生模糊感受數學當中極限這個詞的意義，初步對比與自己所想“極限”的異同；學生討論得出前面給出例子中最重要的信息：一個量變化，另一個量的變化趨勢，數學中“極限”是一個過程，這遵循了教學、研究、發現同步協調原則；使用數軸法讓學生觀察當n趨于無窮時數列an的變化趨勢，用發現法幫助學生從不同場景中抽取共性的能力；給出數列的描述性定義，強調極限的寫法、讀法和字母大小位置的分配，并提問對“無限趨近”的理解；師生共議得出無限趨近是越來越接近，且接近的過程不會停止；通過考察數列求極限的例題，讓學生說過程、寫出極限表示、適度練習. 該節課學生積極參與、熱烈討論、認真書寫，達到教學應有的效果.

（二）導數應用

研究表明，學生對簡單函數的求導運算掌握得不錯，在于能夠記得公式和運算法則. 然而關于導數的深層次的理解還相當欠缺，舉個最簡單的例子：為什么（sin x）′ = cos x？答：公式就這么給的. 這也就造成了導數記公式，應用背步驟，考試背題目，毫無探索、發現、掌握的樂趣. 用MM模式設計導數，能夠讓學生知其然更知其所以然，通過獲得知識的努力感受成功的喜悅. 下面就以（sin x）′ = cos x為例給出MM設計：首先教師根據定義證明（sin x）′ = cos x；其次，對結論剖析：涉及兩個函數，一個函數為f（x） = sin x，另一個函數為f（x） = sin x的導（函）數f′（x） = cos x；再有，從函數的觀點討論導函數如何得來的，每一個點x0，就有過x0切線的斜率值即k0，根據導數定義，k0 = f ′（x0），x0與f′（x0）形成一種對應關系，構成新的函數y1 = f′（x），我們稱為導（函）數；最后，選取定義域為[0，2π]的函數圖像（圖1），作出切線斜率變化的趨勢分析，師生共同完成表格，并觀察表格中的一、三兩行猜想得出結論：f′（x） = cos x，即（sin x）′ = cos x. 該設計既教證明又教猜想，為的是讓學生感受思維的過程，體會結論得之不易的艱辛，領悟簡單公式蘊藏的深刻聯系. 經過此番講解，學生對求某點切線斜率也就得心應手了，因為導數公式求得的就是導（函）數，有了導（函）數就能求得某點的導數值，即切線斜率值. 不光如此，在后續的導數應用的章節中學生也能夠自己分析得出很多重要的結論.

（三）原函數概念

積分與微分互為逆運算，然而貝里（Berry）和尼曼（Nyman）發現學生把積分看成是一系列的運算技巧，這也造成了如果不打破常規，尋求可行的教學方式，學生只會成為照搬結論、不會思考的公式的奴隸. 原函數是積分中一個重要的概念，下面就從原函數出發探討MM設計：從最熟悉的公式（x2）′ = 2x與d（x2） = 2xdx出發，復習導數與微分：

從圖示發現兩函數間有關系，已經知道2x稱為x2的導（函）數，如今也給x2取個名字，叫2x的原函數；給出原函數定義后，師生共同探討原函數的個數；從d（x2） = 2xdx出發，以小組接龍形式回答d（x2 + 3），d（x2 - 5），d（x2 + 2.5），d（x2 - 7850）的結果，并說出誰是誰的原函數，誰是誰的導數，讓學生更清楚原函數的概念；學生發現2x的原函數有無數多個，并舉出了不同的實例；進一步設問：你能用一個表達式表示這無數多個原函數嗎？學生思維活躍，x2 + n，x2 - n，x2 ± k，x2 ± C等答案紛紛出爐，最后得出結論x2 + C（C為常數）. 有了上述分析，學生自己很輕松地得出原函數族定理，獲得極大的成就感，覺得神圣不可侵犯的定理也可以自己思考得出.

總之，在嘗試“MM教育方式”下，高職數學的微積分教學在不斷地尋求突破、找到捷徑、取得效果. 萬里長征開頭難，為了學生數學素養的綜合提升，需要堅持不懈地貫徹MM的“2238”原則，將數學應有的教育功能完美呈現.

【參考文獻】

[1]羅伯特·斯萊文.教育心理學[M].北京：人民郵電出版社，2011.

[2]李士锜，吳穎康.數學教學心理學[M].上海：華東師范大學出版社，2011.

[3]鄭毓信.數學方法論[M].南寧：廣西教育出版社，2007.

[4]徐利治，徐瀝泉.MM教育方式簡介[J].自然雜志，2008.

[5]劉妍妮.微積分的地位和作用[J].今日科苑，2009.