分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

漢桂英

普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施要求我們教師在教學(xué)中將培養(yǎng)學(xué)生的能力放在首要地位. 數(shù)學(xué)思想的滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中也尤為顯得重要. 分類(lèi)討論是我們?cè)诮鉀Q某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的一種邏輯方法，分類(lèi)討論也是一種數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用這種思想在解題時(shí)可以分解題目研究對(duì)象，進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)化題目難度，可以幫助發(fā)展學(xué)生的思維能力. 因此，有關(guān)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中始終占有重要地位.

所謂分類(lèi)討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別研究得出每一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答. 實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的一種數(shù)學(xué)策略.

下面，舉例說(shuō)明分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 一、選定適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)

進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，首要解決的是：對(duì)誰(shuí)分類(lèi)，即分類(lèi)對(duì)象是什么？其標(biāo)準(zhǔn)是什么？對(duì)于一道數(shù)學(xué)題目，首先認(rèn)真審題，研究要分類(lèi)討論的對(duì)象，分類(lèi)的對(duì)錯(cuò)好壞確定題目解法的最終結(jié)果，直接影響解題的成敗. 分類(lèi)時(shí)尤其要注意不能有重復(fù)，更不能有遺漏，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)也應(yīng)當(dāng)一致.

例1 一條直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線(xiàn)方程為（ ）.

A. x + y - 7 = 0 B. 2x - 5y = 0

C. x + y - 7 = 0或2x - 5y = 0

D. x + y - 7 = 0或2x + 5y = 0

分析 此題需要確定直線(xiàn)方程的形式可否寫(xiě)成截距式，所以需要分類(lèi)討論截距是否為0，否則會(huì)漏解.

二、討論時(shí)應(yīng)注意每個(gè)分類(lèi)的前提條件，綜合作答時(shí)，也要注意每個(gè)分類(lèi)討論的條件

分類(lèi)的目的是為了化繁為簡(jiǎn)，再逐一討論解答每一類(lèi)問(wèn)題，而討論時(shí)應(yīng)緊扣分類(lèi)這個(gè)前提，此時(shí)，相當(dāng)于給問(wèn)題增設(shè)了題設(shè)條件，因而，使問(wèn)題得到解決. 較復(fù)雜的題目會(huì)出現(xiàn)多級(jí)分類(lèi)，討論時(shí)應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)，書(shū)寫(xiě)時(shí)條理要清晰.

例2 已知集合A = {x|x2 = 1}，B = {x|ax = 1}，若B？哿A，求實(shí)數(shù)a 的取值集合.

分析 由于A = {-1，1}，所以分兩種情況討論.

解 （1）B = ？準(zhǔn)，此時(shí)a = 0；

三、分類(lèi)討論思想是一種解題策略

分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常常用到的一方法，但對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是覺(jué)得很繁瑣又是很難掌握的，這需要教師在教學(xué)過(guò)程中有耐心，循序漸進(jìn)地養(yǎng)成良好的分類(lèi)討論意識(shí)，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和靈活性的最終目的. 但是高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想不是只有這一種，在實(shí)際解題過(guò)程中如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程思想、化歸的思想等解題思想方法就可以避免麻煩的分類(lèi)討論，或者簡(jiǎn)化分類(lèi)討論的對(duì)象，從而更加準(zhǔn)確、快速地解決問(wèn)題. 所以在教學(xué)中一定避免讓學(xué)生機(jī)械記憶，盲目套用，在解題過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生選擇正確的解題思路，向?qū)W生介紹一些探索問(wèn)題的方向和方法.

例3 實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程kx2 + 2|x| + k = 0有實(shí)數(shù)解？

對(duì)于數(shù)學(xué)題目何時(shí)需要分類(lèi)討論，則要根據(jù)題中所給條件而定，并沒(méi)有硬性的規(guī)定，更沒(méi)有直接可以套用的公式和規(guī)律. 我們只有在教學(xué)時(shí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)，不斷改進(jìn)方法，才能使學(xué)生正確合理地應(yīng)用分類(lèi)討論. 在解題時(shí)，應(yīng)注意挖掘題目中的極個(gè)別情形進(jìn)行分類(lèi)討論. 例如：“方程ax2 + bx + c = 0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為Δ = b2 - 4ac時(shí)忽略了個(gè)別情形：當(dāng)a = 0時(shí)，方程雖然有解但不能轉(zhuǎn)化為Δ ≥ 0；又如：設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)，不能直接設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，當(dāng)直線(xiàn)與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)無(wú)斜率，應(yīng)另行考慮，這樣直線(xiàn)方程要分有斜率和沒(méi)有斜率兩類(lèi)情形討論；再如：等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式也是分為q = 1和q ≠ 1兩類(lèi)情形給出的，等等類(lèi)似問(wèn)題都需要分類(lèi)考慮.

在解數(shù)學(xué)題中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是很有益的. 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，還要注意發(fā)展學(xué)生的個(gè)性心理，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)，敢于創(chuàng)新勇于探索的精神. 要將分類(lèi)討論思想靈活運(yùn)用于數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，不是一朝一夕就能做到的. 這需要把這種思想滲透在自己的教學(xué)中，也就是要長(zhǎng)期不間斷地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)去觀察、分析各類(lèi)具體問(wèn)題. 在解題教學(xué)過(guò)程中為學(xué)生留下思維的時(shí)間和空間，才能將數(shù)學(xué)思想真正融會(huì)在解題過(guò)程中.