解決初中應(yīng)用題中列方程的思考方法

楊沙九

【摘要】 用圖示法、列表法、圖示列表法找出應(yīng)用題中的等量關(guān)系，是列方程解決實(shí)際問題最關(guān)鍵的一個(gè)步驟，本文就初中應(yīng)用題中列方程的思考方法做了探討與歸納.

【關(guān)鍵詞】 列方程；等量關(guān)系；圖示法；列表法；圖示列表法

列方程解應(yīng)用題的基本步驟是：審題，設(shè)元，組成代數(shù)式，找等量關(guān)系，建立方程，解方程和檢驗(yàn)并作答，其中最為關(guān)鍵的就是找出等量關(guān)系列方程. 因此，列方程解應(yīng)用題的思考方法，主要也就圍繞怎樣找出等量關(guān)系這一中心展開. 如何恰當(dāng)?shù)厥褂脠D示法、列表法、圖示列表法等思維方法來對(duì)實(shí)際問題加以分析，成為解決問題的關(guān)鍵. 下面就自己的教學(xué)實(shí)際，結(jié)合實(shí)例介紹幾種列方程的思考方法.

一、圖示分析方法

例1 甲、乙兩人同向而行，甲在前300米，已知甲每分鐘走80米，乙每分鐘走100米，經(jīng)過幾分鐘乙可以追上甲？

分析 按照題意畫出圖形：

從圖中可以看到，乙從出發(fā)點(diǎn)到追上甲的地方所走的路程 = 甲從出發(fā)點(diǎn)到被乙追上的地方所走的路程與300米的和.

根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系就可以列方程.

解 設(shè)經(jīng)過x分鐘乙追上甲. 在這時(shí)間內(nèi)乙走100x米，甲走80x米. 根據(jù)等量關(guān)系“乙走的路程 = 甲走的路程 + 300米”，可以列出方程：

100x = 80x + 300.

解得：x = 15（分鐘）.

答：經(jīng)過15分鐘乙可以追上甲.

這種分析方法通過示意圖直觀形象地分析了數(shù)量關(guān)系，相等關(guān)系一目了然，抓住了問題的關(guān)鍵，從而使列出方程變得容易掌握，使問題得到順利解決. [1]

二、列表分析方法

例2 一個(gè)農(nóng)場的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)小隊(duì)收割小麥，甲隊(duì)收小麥56000公斤，乙隊(duì)收小麥43200公斤，已知乙隊(duì)的麥田比甲隊(duì)少40畝，但平均產(chǎn)量比甲隊(duì)每畝多收100公斤，求每隊(duì)的麥田的畝數(shù)和每畝的平均收獲量.

分析 基本數(shù)量關(guān)系：

總收獲量 = 每畝平均產(chǎn)量 × 畝數(shù).

總收獲量：

甲隊(duì)：56000公斤——已知量，

乙隊(duì)：43200公斤——已知量，

每畝平均產(chǎn)量：

甲隊(duì)：未知量，

乙隊(duì)：未知量，比甲隊(duì)多100公斤.

畝數(shù)：

甲隊(duì)：未知量，

乙隊(duì)：未知量，比甲隊(duì)少40畝.

如果設(shè)甲隊(duì)有畝，甲隊(duì)每畝平均產(chǎn)量為y公斤，那么乙隊(duì)的每畝平均產(chǎn)量及畝數(shù)都可以用x，y的代數(shù)式表示出來，把它們列成下表：

根據(jù)基本關(guān)系式，即可列出方程組.

解 設(shè)甲隊(duì)有麥田x畝，每畝麥?zhǔn)整測公斤，那么乙隊(duì)的麥畝有（x - 40）畝，每畝收麥為（y + 100）公斤. 根據(jù)題意，列出下面方程組：xy = 56000，（x - 40）（y + 100） = 43200.

整理后，得xy = 56000，xy + 100x - 40y = 47200.

以（3）代入（1），化簡得x2 + 88x - 22400 = 0.（4）

由（4）、（3）得原方程組的解是：x1 = 112，y1 = 500. x2 = -200（不合題意舍去）.

當(dāng)x = 112時(shí)，x - 40 = 72；當(dāng)y = 500時(shí)，y + 100 = 600.

答：甲隊(duì)有麥田112畝，乙隊(duì)有麥田72畝；甲隊(duì)每畝平均收小麥500公斤，乙隊(duì)每畝平均收小麥600公斤.

可見列表分析法的特點(diǎn)是用列表的形式表示數(shù)量關(guān)系，找出應(yīng)用題中等量關(guān)系的思考方法，就顯得簡明快捷，是一種特殊分析法.

三、圖示列表綜和分析方法

例3 甲、乙兩站間的路程為360 km. 一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行駛48 km；一列快車從乙站開出，每小時(shí)行駛72 km.

（1）兩車同時(shí)開出，相向而行，多少小時(shí)相遇？

（2）快車先開25分，兩車相向而行，慢車行駛了多少小時(shí)兩車相遇？（見原通用教材）[2]

分析 基本數(shù)量關(guān)系：

慢車行程 + 快車行程 = 兩站路程 ③

（1）設(shè)兩車行駛了x小時(shí)相遇，再分析相等關(guān)系③的左邊和右邊，便可得到下表：

這個(gè)表可以用圖4-3（1）這樣的示意圖表示出來.

解 （1）設(shè)兩車行駛了x小時(shí)相遇，那么慢車行駛了48 km，快車行駛了72 km. 根據(jù)題意，得48x + 72x = 360.

解這個(gè)方程：120x = 360，x = 3.

答：兩車行駛了3小時(shí)相遇.

答：慢車行駛了2小時(shí)45分兩車相遇.

這種分析法的特點(diǎn)是通過示意圖及列表直觀形象地分析了數(shù)量關(guān)系，找出應(yīng)用題中的等量關(guān)系，分析過程連貫、完整，層次清晰，貼近學(xué)生的理解力.

總而言之，列方程解應(yīng)用題的方法很多，這里主要介紹的是圖示法、列表法以及圖示列表分析法等三種分析手段讓學(xué)生掌握列方程解應(yīng)用題的一般規(guī)律. 用以上的思考方法使得應(yīng)用題中比較復(fù)雜的列方程形象化，直觀化，簡單化，使題意中等量關(guān)系較模糊不清的列方程明確化、清新化. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”. 在運(yùn)用“圖形結(jié)合數(shù)量”關(guān)系列方程解應(yīng)用題時(shí)，讓學(xué)生從題意中畫“形”理解知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生從題意中通過“形”總結(jié)歸納出“數(shù)”量關(guān)系，然后再將“數(shù)”運(yùn)用于“形”中，只有將兩者有機(jī)結(jié)合，學(xué)生才能對(duì)知識(shí)理解得更深入.