也談數的整除特征

張華

整除問題是整數內容最基本的問題.理解掌握整除的概念、性質及數的整除特征，可以簡單快捷地解決許多整除問題.本節主要探究一下整除的特征.

一、常見數的整除特征

大家都熟悉能被2，3，4，5，7，8，9，10，11，13，25，125等整除的數的特征.

1. 能被2，5，10整除的數的特征是末尾數字能被2，5，10整除.

2. 能被4，25整除的數的特征是末尾兩位數能被4，25整除.

3. 能被8，125整除的數的特征是末尾的三位數能被8，125整除.

4. 能被3，9整除的數的特征是所有數字之和能被3，9整除.

5. 能被7，11，13整除的數的特征是末三位數與其前面數字組成數之差能被7整除.

二、整除的一般特征

（mn 表示數字m，n組成的數字，a/b表示a整除b.）

（一）對于任意整數mn，其中n為i位整數，m為任意位整數，且m與n互質.整數ab，b為i位整數，a為任意位整數.則能被mn 整除的數ab 的特征是：mn 能整除末i位數b的m倍與其余數字組成的數a的n倍的差na - mb.

證明：mab = m（10ia + b）=10ima + mb = 10ima + na - na + mb = （10im + n）a - （na - mb）.

而mn /（10im + n）a，故mn /mab ？圳mn /（na - mb），又m與n互質，故m與mn 互質，所以mn /ab ？圳mn /m ab ？圳mn /（na-mb）.

比如：

1. 能被13整除的數的特征是末一位數與其余數字組成數的差能被13整除.

2. 能被41整除的數ab（b為一位整數，a為任意位整數）的特征是41能整除末尾數b的4倍與其余數字組成的數a的差a - 4b.

3. 能被307整除的數ab （b為一位整數，a為任意位整數）的特征是307能整除末尾數b的30倍與其余數字組成的數a的7倍的差7a - 30b；也可以是能被307整除的數ab（b為2位整數，a為任意位整數）的特征是307能整除末兩位數b的3倍與其余數字組成的數a的07倍的差07a - 3b.

判斷12894能否被307整除.

用第二個特征判斷：07 × 128 - 3 × 94 = 614，07 × 6 - 3 × 14 = 0，故307/12894.

（二）對于任意整數10im - n，其中n為i位整數，m為任意位整數，且m與n互質.整數ab，b為i位整數，a為任意位整數，則能被10im - n整除的數ab 的特征是：10im - n能整除末i位數b的m倍與其余數字組成的數a的n倍的和na + mb.

證明：mab = m（10ia + b）=10ima + mb = 10ima - na + na + mb = （10im - n）a + （na + mb）.

而（10im - n）/（10im - n）a，故（10im - n）/mab？圳（10im - n）/（na + mb）. 又m與n互質，故m與（10im - n）互質.所以（10im-n）/ab？圳（10im - n）/mab？圳（10im - n）/（na + mb）.

比如：

1. 能被7（7 = 10 × 1 - 3）整除的數ab（b為一位數）的特征是7能整除3a + b.

2. 能被29（29 = 10 × 3 - 1）整除的數ab（b為一位數）的特征是29能整除a + 3b.

3. 能被197（197 = 200 - 3 = 102 × 2 - 03 = 10 × 20 - 3）整除的數的特征是：

（1）197能整除末兩位數的2倍與截去末尾兩數后前面數字組成數的03倍的和；

（2）197能整除末尾數字的20倍與去掉末尾數后前面數字組成數的3倍的和.

如：判斷139673能否被197整除.

用第一個特征判斷：03 × 1396 + 2 × 73 = 4334，03 × 43 + 2 × 34 = 197，197/197，故139673能被197整除.

以上（一）（二）兩個一般特征對于所有的質數都是適用的，對于合數，只適用于m，n互質時，究竟選用兩種中的哪種，由具體的數來確定，盡量選使得m，n小的，易算的，特別是n的值要小.

（三）對于能被一個合數A整除的數的特征，可以將A分解質因數，若質因數都不同，只要能被所有質因數整除即可；若因數有相同的，可以寫成幾個互質因數的積，只要能被所有互質因數整除即可；若所有質因數都相同，即A=qi，q為質數，i為正整數，則只能被A整除，或者不能被qj（j∈Z，0 < j < i）整除，則不能被qi整除.

如：能被78整除的特征有既能被2整除，又能被3和13整除等多種方法.

一個數的整除特征，不是唯一的，除了上述的一般方法，還可能有其他的比較簡便的方法，這由具體數的特征確定.比如，由7/1001，可得到一種能被7整除的數的特征；由29/10005，23/10005可得能被29，23整除的數的特征是末四位數與其余數組成數的5倍的差能被29，23整除.

在有關整除的問題中，依據整除的特征有時可以簡便地解決問題.望感興趣的同仁指正并期待更深入的探究.

【參考文獻】

吳玉珍.談數的整除特征[J].常州工學院學報院，2005（6）.