淺析如何進行數學認知結構的構建

沈燕

摘要：學生學習數學的過程實際是一個數學認知的過程，在這個過程中，學生在教師的指導下把教材知識結構轉化為自己的數學認知結構。數學認知結構是數學知識結構與學生心理結構相互作用的產物，是學生已有的數學知識在頭腦里的組織形式，是一個不斷發展變化的動態結構，是一個多層次的組織系統。

關鍵詞：構建；數學認知；能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0039

數學學習的過程，是數學知識認知的過程，也是學生在教師的引導下，將數學知識轉化成帶有主觀意識的數學認知結構的過程。什么是數學認知結構呢？數學認知結構，就是學生按照自己對數學知識理解的深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點組成的一個具有內部規律的整體結構。由于數學認知結構與主觀意識相結合，因此，不同學生的認知結構存在差異，有著各自的特點。在進行教學時，教師要針對不同的教學內容，依據學生認知結構的水平和心理特點，通過觀察、動手操作、歸納、比較、交流、探究和反思等活動，使學生在親歷知識形成的過程中進一步發展和豐富認知結構。

數學認知的構建體現在以下三個方面：

一、理論構建

數學理論知識主要包含數學概念、定理、公式。從根本上說，數學知識來源于現實生活，是具體事物的抽象。不同的數學知識具有不同的特征，再加上學生自身的認知差異，所以，有的學生宜選擇通過接受方式來構建；有的學生宜選擇通過探究學習的方式進行構建。

接受知識方式構建有兩層含義：一是指有的內容不易探究、發現，需要教師在課堂教學中加以呈現；二是指學生對于有些內容的理解有限，在不能完全理解的情況下，要先接受下來，進行相應的訓練，并在以后的學習中逐步加深理解。數學知識具有以下特征：

1. 知識的超驗性和經驗性。數學是研究抽象對象的產物，在日常生活經驗上有遠近之別，如立體幾何中的圖形與生活關系密切，學生可以在自己的經驗基礎上探究并構建起這些數學知識。這些知識具有經驗性。有的是人類理性的結晶，遠離學生的生活和知識經驗。如對于無理數、虛數等概念，學生很難通過自己的經驗探究、發現這些數學知識。這些知識具有超驗性。

2. 知識的合情性和演繹性。數學知識的獲得，是經過不完全歸納、試驗、猜測等探索與合情推理的過程。由于學生的知識水平與心理發展特征的局限，有些數學知識不宜證明。在初步理解的基礎上，學生可先接受下來，到知識有了一定的積累、認知水平有了一定的提高后，再進行證明，這是合乎情理的，如不等式的對稱性：若a>b，則b

初中的數學學習主要是讓學生了解數學簡單的應用，到了高中才強調它的證明與應用。數學知識的特征影響并決定著知識構建方式的選擇：知識特征不同，知識構建方式就不同。經驗性、演繹性的知識，適于開展探究學習方式的構建。在探究學習中，教師要給學生充分的活動機會，讓學生作為主體去活動，自主實踐、自主探索，充分調動多種感官，主動地對學習材料進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理，親身經歷探索的過程，使學習過程成為學生“再創造”、“再發現”的過程；另一方面，不同的學生，在知識背景、生活經驗以及認知風格、思維水平、學習能力上存在著一定的差異，教師要給予學生獨立思考、自主探究的時間和空間，讓學生的個性化想法在多樣化的活動中得以充分展現。

二、思想構建

“授人以魚，不如授之以漁。授人以魚只救一時之急，授人以漁則可解一生之需。”學生學習數學的最終目的除了學習數學理論知識外，最重要的就是樹立數學思想，學會解決問題的方法。數學思想方法作為數學教育的重要內容，已日益引起人們的注意和重視。數學思想的應用，潛移默化地培養了學生的思維能力，使學生能更快捷地獲取知識、更透徹地理解知識；使學生學會學習，為學生走上社會，用科學的思想方法觀察社會、自然打下良好的基礎；使他們終身有益，真正體現出“數學思想”是數學的靈魂、數學的精神、數學的素質。

數學思想的構建是一個長期的過程，需要教師在日常教學過程中有意識地培養學生的數學思想方法。通過長期的滲透，學生才會慢慢地構建數學思想。數學思想主要有：數學語言、符號思想；等價轉化、換元思想；數形結合思想；類比思想；分類思想；函數與方程思想等。

以數形結合思想為例。作為教師，平時應如何滲透并引導學生構建數形結合思想呢？數形結合思想就是數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數含義又揭示其幾何意義。華羅庚曾經說過，“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”數形結合主要有兩個方面的內容：即以形助數、以數解形。以形助數常用的有：借助于數軸；借助于函數圖象；借助于單位圓；借助于直線的有關概念；借助于三角形。總之，無論是解析幾何、立體幾何、函數問題，當學生無法入手時要盡量與“形”聯系。

以數解形常用的有：借助于解析幾何軌跡所遵循的數量關系、微量坐標運算解決平面圖形問題；借助于空間向量的坐標運算解決立體幾何中的證明計算問題。教師在平時的課堂教學中應滲透數形結合思想，使學生優化解題思路、提高數學創新意識、發展解題能力。

三、能力構建

數學基礎知識是形成數學能力的基礎。沒有基礎知識就根本談不上數學能力。數學能力的形成要以知識為依托。教師要在教學過程中注意學生的學習過程，使學生掌握知識的過程成為構建數學能力的過程。

數學能力包括：數學觀察能力、數學記憶能力、數學建模能力、數學思維能力及空間想象能力。其中，數學觀察能力和數學記憶能力是數學能力的先導；數學建模能力是數學能力的基礎；數學思維能力是數學能力的核心；空間想象能力是數學能力的延展。

教師在平時的教學中要注意為學生開發有利的學習環境，讓學生參與一切有益的學習實踐活動，對學生進行有目的的專題訓練，這對學生能力的構建至關重要。例如，空間想象能力是通過實例來凈化思維，把空間中的實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進行分析推理。其它能力的構建都必須在學習、理解、訓練、應用中得到發展。為了構建這些能力，教師需要精心設計“智力課”和“智力問題”。例如對習題解答里的一題多解、舉一反三的訓練歸類、應用模型、利用電腦等多媒體教學等，都是為數學能力培養開設的好課型。在這些課型中，學生務必要全身心投入、全方位智力參與，最終達到各方面能力全面發展的效果。

數學認知是學生的主觀意識與數學知識的有機結合體。因此，在數學認知結構構建的過程中，學生是活動的主體，教師僅僅是組織者和引導者。在數學教學中，教師應努力創設有關學習的情境，針對不同學生，設計多類型、多層次的學生活動；通過學生的合作、交流和探究來不斷完善數學知識結構和能力結構，提高學生學習數學的知識水平，達到培養學生數學素質的目的。

總之，只要教師遵循認知過程的規律、靈活運用多種教育教學方法、貫徹數學認知結構理論，教師就可以順利地、成功地提高學生的數學素養，構建學生的數學認知結構。