對中學數學思想方法教學的幾點認識

汪淳樸

近年來，我國有關數學思想方法的教學研究不斷地深入和拓廣，解決了不少教學實際問題，積極地推動了數學教育改革的進程. 盡管越來越多的中學數學教師認識到數學思想方法的意義，但理念并不代表實踐，在數學教學中注重知識的傳授與記憶和模仿，而忽視數學思想方法的滲透和教學的問題仍比較普遍. 有的老師將中學數學思想和方法混為一談，把數學思想說成方法，而把數學方法說成數學思想. 這些現象的原因之一就是一些數學教師未真正理解數學思想方法的內涵，未真正認識數學思想方法的意義.

一、什么是數學思想方法

1. 什么是數學方法

“方法”一詞，其語義學解釋是指關于某些調節原則的說明，這些調節原則是為了達到一定的目的所必須遵循的，是從實踐或理論上把握現實的，為解決具體課題而采用的手段或操作的總和. 美國的《哲學百科全書》將方法解釋為“按給定程序達到既定成果必須采取的步驟”. 我國《辭源》中解釋“方法”為“辦法、方術或法術”. 從科學研究的角度來說，方法是人們用以研究問題、解決問題的手段和工具，這種手段和工具與人們的知識經驗、理論水平密切相關，是指導人們行動的原則.

基于以上解釋，我認為數學方法就是提出、分析、處理和解決問題的概括性策略.

2. 什么是數學思想

“思想”字面解釋為客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果. 《中國大百科全書》認為“思想”是相對于感性認識的理性認識成果. 《蘇聯大百科全書》指出“思想是解釋客觀現象的原則”. 綜合起來看，思想是認識的高級階段，是對事物本質的高度抽象的、概括的認識. 而數學思想是數學中的理性認識，是數學知識的本質，是數學中的高度抽象、概括的內容，它蘊含于運用數學方法分析、處理和解決數學問題的過程之中. 也就是說，數學思想是對數學對象、數學概念和數學結構及數學方法的本質性的概括性的認識.

認識了數學思想和方法的概念之后，我們來澄清一些中學數學教師對數學思想和方法認識的幾個誤區.

二、思想方法教學中的幾個誤區

1. 是“方法”還是“技能”

由于方法和技能都是解決問題的常用程序，因此方法一詞在日常教學中常常與技能混為一談. 許多本應屬于技能的具體操作，如公式法、配方法、割補法等經常性的被一些老師在教學課堂上或發表的文章中納入方法范疇. 實際上，數學方法應該是具有一定的抽象度，是為分析、處理和解決數學問題提供策略，但一般不提供解決問題的程序.

2. 是“思想”還是“方法”

一些文章常將數學教學中常用的方法稱為思想，如初中解方程組用的代入法、高一數學求函數解析式用的換元法等稱為“思想”，造成數學思想數量大、內容多，不利于數學教學中的運用. 其實，數學思想是數學的本質，是對數學規律的理性認識. 這種認識更具普遍性，可以應用于更廣泛的數學領域，更進一步講，許多數學思想可能滲透于許多行業中. 而數學方法雖然也是理性認識，但因其概括性較數學思想弱，所以其遷移范圍遠，不如數學思想廣，而更多的是運用于某一數學領域.

三、中學數學教學中常用的數學思想和方法

1. 數學方法

在中學數學教學中應重視的教學方法包括：數學模型法、數形結合法、函數法、分類討論法、變換法等.

（1）數學模型法

數學模型是數學抽象化產物，是對現實原始的概括反映. 其原型可以是具體對象及其關系，也可以是數學對象及其關系. 中學數學中的數學模型可以是數、式、方程、空間等. 按其功能可分為兩類：概念型，指將客觀事物或現象直接抽象成數學概念，如自然數、奇數、整式、代數式和空間等；方法型，指將客觀事物或現象間的關系抽象成數學中的公式、運算法則等. 概念型和方法型數學模型的建立，一般都需要借助于數學符號，如自然數集“N”、映射“f： A→B”等.

（2）數形結合法

華羅庚先生指出：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微. ”數和形作為數學的兩個基本對象，是現實世界的數量與空間形式的反映. 在中學數學中，利用數形結合法可將代數與幾何問題相互轉化，幾何又給代數概念以幾何解釋，賦予那些抽象概念以直觀的形象. 如一元二次不等式及解法的教學中，利用數形結合不僅避免了學生機械記憶公式，還有助于培養學生的數表結合意識，將孤立的數學知識聯系起來，并有意識地用數形結合的方法處理和解決數學問題.

（3）函數法

函數在數學的發生、發展中起著舉足輕重的作用，在中學，函數也是一個包容性很強的概括性知識，因此函數法是中學數學中從運動變化的觀點來認識和處理問題的一個重要方法. 利用函數法可以分析中學數學的許多內容，如數、式、方程、不等式、數列、曲線與方程等.

（4）分類討論法

分類討論法是當問題含有多種可能的情況，人們難以對它進行統一處理時，只能按其出現的各種情況分類進行討論，分別得出與分類相應的結論，綜合這些結論，便得到原來問題的解答. 在中學數學教學中，分類討論法被廣泛使用，幾乎貫穿于全部教學過程中，其運用分類討論法有下面幾種常用情況：由定義引起的分類討論，由運算引起的分類討論，由性質引起的分類討論，由圖形位置引起的分類討論和由結論引起的分類討論.

（5）變換法

中學數學中，常把復雜的數學問題變換成與之等價的一個或幾個較為簡單的數學問題，從而使原問題得到解決. 在運用變換法處理問題時，既可以變換問題的條件，也可以變更問題的結論，還可以運用幾何變換方法，對圖形的形狀、大小加以變化.

這樣，余弦定理應用范圍擴大了.

2. 數學思想

在中學教學中，集合思想、數學結構思想、對應思想和化歸思想幾乎包括了中學數學的所有內容，而且結合中學生的思維能力和實際生活經驗，這幾種數學思想有可能被他們理解和掌握.

（1）集合思想

在生活實踐中，人們常把具有某種共同屬性的事物放在一起，視為一個整體，對它們做統一的研究和處理，這種整體思想在數學中就是集合思想，集合思想體現于所有數學分支中. （2）數學結構思想

在中學數學中，進行數學結構思想的教學，主要是強調數學知識間的廣泛關聯性. 這種廣泛關聯性主要體現為兩個方面：

第一，各種數學模型的建立，表面上它們可能毫不相干，然而利用數學結構的思想卻可以把它們統一在結構觀點中，如將函數作為一條紅線串聯數學知識時，就體現了數學結構的思想.

第二，知識間的相互轉換性，數學表層知識之間可利用變換法相互轉換，數學知識間的轉換均是通過某個變換實現的，并且轉換法則對于某些數學結構來說是封閉的，如整數對于加法運算就是封閉的，即任意兩個整數相加所得的數仍是整數.

（3）化歸思想

在中學數學分析、處理和解決問題時，常常將較復雜的問題向易解決的問題方向轉化，即化繁為簡、化難為易、化未知為已知. 化歸思想主要體現于運用數學方法處理和解決數學問題之中. 如運用數學模型法將實際問題轉化為數學問題，就體現了實際問題數學化的化歸思想.

上面僅是中學數學中的一些重要的數學思想和方法. 還有如對應思想、優化思想、概率統計思想在中學數學教學中也有不同程序的體現. 一般的數學思想方法與實際生活中的思想方法有許多類似之處. 學生只有學會了“點石成金”“漁魚”的策略和方法，才會在高速發展的科學知識面前運籌帷幄、應對自如.