小學生數(shù)學思維能力培養(yǎng)的研究

宋曉東

數(shù)學思維能力的培養(yǎng)是小學數(shù)學課程目標的重要組成部分. 它是知識與技能、解決問題、情感與態(tài)度目標的核心部分，對人的發(fā)展具有重要的作用. 思維能力是一切能力的核心，它是通過對事物的感知、表象進行分析、概括、歸納而獲得事物本質(zhì)的能力. 思維能力是學習活動得以開展的先決條件，因為數(shù)學是其他學科的基礎，小學生數(shù)學思維能力的優(yōu)劣不僅僅決定了一個人數(shù)學學習能力的強弱，同時也關(guān)乎著一個人的全面學習能力如何，一個具有創(chuàng)新精神與實踐能力的人，他的思維能力是極為優(yōu)秀的，因此小學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，對于一個人、一個民族是否具有創(chuàng)造力至關(guān)重要.

數(shù)學思維能力的強弱不是數(shù)學活動表面的一種熱鬧，它在于思維活動本身的嚴謹性、深刻性、抽象性、敏捷性、靈活性、批判性和創(chuàng)造性. 培養(yǎng)學生具有優(yōu)秀的思維品質(zhì)，喜歡數(shù)學思考，享受數(shù)學學習，是我們亟待研究與解決的問題.

一、引導孩子從小喜歡數(shù)學

數(shù)學作為人類的一種文化，它的思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分，在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用. 因此每個人的成長離不開數(shù)學，它是學生全面發(fā)展的需要.

1. 學前數(shù)學避免小學化

我們作為數(shù)學教師，經(jīng)常會看到有些孩子不愛學數(shù)學，或者說學不好數(shù)學. 這里有智能類型的客觀因素，多數(shù)是因為過早地學習小學數(shù)學或者學習方式不當有關(guān). 一年級入學的新生現(xiàn)狀是基本接受了學前教育，由于我國教育正處于改革與發(fā)展之中，現(xiàn)行的學前班教學與小學教學基本不是有機銜接的關(guān)系，而是一種重復，數(shù)學學科教學尤為明顯. 多數(shù)孩子上小學后，一、二年級的內(nèi)容在學前已經(jīng)提前得到訓練，給學生造成一種“思考厭食癥”，削弱了思考的積極性. 另外數(shù)學學習內(nèi)容與方式的單一，使學生對數(shù)學學習逐漸失去了好奇心與積極探索的興趣.

愛迪生小的時候不適應學校教育，卻在媽媽的欣賞與培養(yǎng)下，成為具有1099項發(fā)明創(chuàng)造的世界發(fā)明之王. 愛因斯坦在小學時的一節(jié)手工課上，經(jīng)過自己的努力只做出了班上最丑的小凳子，后來卻成了20世紀最偉大的科學家. 這與教育是否順應了人的發(fā)展有關(guān). 小學階段尤其是學前數(shù)學應該是真正的興趣培養(yǎng)與啟蒙的基礎教學.

2. 尊重學生的思維特點

學生真正喜歡數(shù)學，能夠積極思考的真正內(nèi)在動因是，學習活動的開展應尊重學生最原始的思維特點，才能帶領(lǐng)學生身心愉悅地走進數(shù)學世界. 尤其在學前以及一年級時期，千萬不能因為他們所謂的不成熟或者不是數(shù)學化的思考而去主觀地改變他們的數(shù)學思考方式. 例如：在學習20以內(nèi)加減法時，9 + 6等于多少，學生最原始的思考方法是非常豐富的. （1）在第一個加數(shù)9或第二個加數(shù)6的基礎上接著數(shù)的方法. （2）9 + 1 = 10，10 + 5 = 15.（3）6 + 4 = 10，10 + 5 = 15.（4）扳著手指從1開始數(shù). （5）畫出圖形再數(shù)出來. （6）把9看成10，因為多看了1，再從6中減去1，10 + 5 = 15，等等. 這些方法的呈現(xiàn)不是簡單地追求算法多樣化，更重要的是全面了解學生的思維特點，有針對性地尊重、引導與優(yōu)化. 在我們教師看來，其中有些方法太麻煩，所以自然地將湊十法按照我們傳統(tǒng)的教學理念重視起來，甚至直接交給學生，忽略了孩子們原始的數(shù)學思考方法，他們的思維特點沒有得到尊重、認可與重視，就這樣學生被教師牽引著開始了數(shù)學思維之路. 從近期看，學生解決了某個問題，但不是他們自己的思考，這樣會在思維習慣、思維品質(zhì)的初步形成階段中，暗示給學生一種沒有自我的學習意識，不利于主動思考意識與能力的培養(yǎng)，沒有學生自我思想的盡情綻放，還會有興趣嗎？更談不上學生的個性發(fā)展與創(chuàng)新品質(zhì)的形成了. 可想而知學生的后續(xù)學習會逐漸走向無味，享受不到數(shù)學思考的樂趣.

因此，在低年級的數(shù)學課堂教學中，一定給學生充分獨立思考的時間與空間，按照他們的思維特點思考他們自己的數(shù)學，認真傾聽他們對數(shù)學思考的解釋. 無論這思考有多么的離譜，都要重視或從某種角度給予肯定. 做教師的一定要舍得時間投入，盡管這種投入可能近期看不到結(jié)果，但它一定是學生終身受益的長效. 我們不能因為學生說得不完整甚至不清楚而忽略了他們對數(shù)學的原始思考；也不能因為擔心他們上課擺弄學具而省去了動手操作的過程，因為這是他們思考的輔助方式；更不能讓學生感覺到數(shù)學就是數(shù)字，就是計算，應在空間與圖形等其他領(lǐng)域中享受思考的樂趣. 在低年級的關(guān)鍵階段，多關(guān)注學生的思維特點與差異，讓其體驗到積極思考的快樂與自信. 隨著心智的發(fā)展，他們會慢慢地經(jīng)過教師的引領(lǐng)與自我判斷和優(yōu)化，形成自己的思考類型，真正喜歡數(shù)學、喜歡思考.

二、引導學生真正學會思考

愛迪生說：“沒有任何權(quán)宜之計可以讓人逃避真正的勞動——思考. ”數(shù)學思考是真正的數(shù)學學習. 要讓思考真正發(fā)生，真正促進學生的數(shù)學發(fā)展.

1. 合理安排“雙基”與“解決問題”的教學時間

我們的數(shù)學課堂重視“基礎知識與基本技能”的教學，由來已久. 盡管課程改革以來，我們的教學觀念有所轉(zhuǎn)變，但由于評價方式的單一，所以從一定意義上講，“雙基”教學依然是我們數(shù)學教學的重中之重. 因為學生的學習時間是有限的，所以用于簡單技能訓練的時間越長，有深度的數(shù)學思考、解決問題的時間就會相對減少，尤其是對過程開放的復雜問題的思考解決，探究、體驗的時間會大量減少，學生很難體會到思維的深刻性，自然就享受不到高質(zhì)量的數(shù)學思考的成果. 因此，學生感受不到思維能力提升帶給自己的自信與快樂. 而對數(shù)學開放性問題解決能力的培養(yǎng)，是數(shù)學學習的主要目標，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的途徑之一. 如果我們的數(shù)學教學，只培養(yǎng)了會快速、準確計算，能解決一些簡單問題或過程受限問題的學生，創(chuàng)新人才從何而來，民族發(fā)展的不竭動力何在？華東師范大學數(shù)學教育研究所張奠宙教授說過：“過多地打基礎，就像花崗巖基礎上蓋了個茅草房. ”“大廈是美麗的但是基礎更為重要，雖然基礎更為重要，但只有大廈才是美麗的. ”這富有哲理的話，正是對這種教學關(guān)系的一種詮釋.

國際數(shù)學教育大會做過的數(shù)學問題解決專題研究的數(shù)據(jù)能夠說明一定的問題.

中美小學生在四類問題上的平均得分（用百分數(shù)表示）：

從統(tǒng)計表中能夠看到中國“雙基”教學的成功之處，中國學生在計算及簡單問題解決上比美國學生占絕對優(yōu)勢，但這種優(yōu)勢并沒有在過程開放的復雜問題解決上表現(xiàn)出來. 同時也能看到中國學生數(shù)學能力呈現(xiàn)的是下降趨勢，美國學生的數(shù)學能力是平緩上升的. 簡單問題和過程受限的復雜問題的解決可以用標準算法或某一算法的變形，然而過程開放的問題解決卻沒有標準算法. 花大量時間在基礎知識與基本技能的訓練上，勢必會造成思維習慣循規(guī)蹈矩、機械與膚淺，影響數(shù)學思考能力的真正提高. 我們不能將自己囿于在中國的教育群山之中，應該相信“他山之石可以攻玉”. 所以合理安排“雙基”與“解決問題”的教學時間，讓“雙基”真正成為“解決問題”的基礎知識，成為“解決問題”的能力源泉，解決問題的能力能夠在“雙基”的基礎上不斷提升、創(chuàng)新、發(fā)展.

（1）減少單純的計算與技能訓練，增強技能訓練的思考性

用創(chuàng)新的辦法使該方面的學習變得生動、具體、思考性更強. 例如：四則混合運算的學習，我們的現(xiàn)行教材已經(jīng)非常重視結(jié)合具體的問題情境理解運算的順序，我們一定要讀懂教材，避免進行大量的純數(shù)字的計算練習. 例如：將計算順序的理解與解決生活中的問題相結(jié)合，體會先算乘除后算加減，有括號的先算括號里的運算法則. 或者引導學生根據(jù)算式編問題來理解運算順序.

（2）在提出問題、解決問題中培養(yǎng)學生的思維能力

提出問題、分析問題、解決問題是數(shù)學思考的載體，同時通過數(shù)學思考達到真正解決問題的目的. 引導學生從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題、思考問題，學會數(shù)學化地思考，逐漸認識到數(shù)學內(nèi)容是現(xiàn)實世界的抽象、概括，達到認知上的一種飛躍. 具備了發(fā)現(xiàn)問題的意識與能力，才會有創(chuàng)新性思考能力的提高. 在即將頒布的數(shù)學課程標準中，將會增加“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”的培養(yǎng)目標，如此，將來才會在世界的經(jīng)濟舞臺上出現(xiàn)更多的“中國制造”.

2. 在獨立思考、合作交流中提升數(shù)學思維能力

數(shù)學家華羅庚說：“獨立思考能力是科學研究和創(chuàng)造發(fā)明的一項必備才能. 在歷史上任何一個較重要的科學上的創(chuàng)造和發(fā)明，都是和創(chuàng)造發(fā)明者的獨立地深入地看問題的方法分不開的. ”

獨立思考能夠張揚學生的個性、獨特性、愛好、專長，發(fā)展學生的個體思維能力. 獨立思考也是合作交流的基礎，不會人云亦云，不會失去思維的主動性、獨特性. 所以在教學中，我們應該充分尊重學生，給學生創(chuàng)設一種安全、和諧的心理氛圍，保證他們能夠身心放松地進行獨立思考. 例如：不隨意打擾學生思考問題，不急于評價正在表達中的優(yōu)點與錯誤，保證獨立思考與表達的完整、連貫，對學生具有獨特性的思考予以肯定鼓勵.

在獨立思考的基礎上，組織學生合作、交流，在合作交流中實現(xiàn)自我，提升自我. 通過交流表達、傾聽，完善自己的思考.

3. 尊重學生思維表征的個性特征

思維表征是學生思維過程的表述，有言辭表征、符號表征、圖示表征、算數(shù)表征、代數(shù)表征、半抽象策略表征等. 我們的課堂教學往往重視算數(shù)與代數(shù)表征的運用，忽視了其他表征對學生思考能力的表達與提升. 因為學生的思維品質(zhì)不同，決定了表征的不同. 不是每名學生都能較早地完成由具體形象思維向抽象思維的過渡，所以應當允許學生使用他們能夠理解的表征形式表達他們的思考過程，這樣學生的思考對他們來說能夠得到清晰的認證，有助于思維能力的提高. 例如：教學中有的同學在解決問題時，尤其是解決開放性問題時，他們能通過思考得到答案，但卻不會用教師期望的式子表達，那么就應該鼓勵他用言辭的形式把過程寫出來或說出來，或者用表格、圖畫的辦法表示出來，然后再引導、幫助他們用數(shù)學模型表示出來. 再如：學生在計算從一個時刻到另一個時刻的經(jīng)過時間時，受計算教學的影響，很多同學會把兩個時刻相減，在他們不會將時刻轉(zhuǎn)化為時間再相減的時候，應該允許學生用語言文字和流程圖示表達出經(jīng)過時間.

4. 引導學生經(jīng)歷從無序到有序的思考過程

有序思考可以讓思路更清晰，優(yōu)化思考方式，提高思考效率. 所以，具體解決問題中，應該引導學生逐步學會有條理地思考問題.

例如：將10、20、30、40、50、60、70、80這8個數(shù)填入小圓圈中，使每個大圓圈上的數(shù)相加的和相等（兩個大圓圈，兩個數(shù)字公用）. 大多數(shù)學生完成這道題的初始方法應該是嘗試，其實嘗試的方法也是很好的一種數(shù)學思維方法，是學生必經(jīng)的一個學習過程，關(guān)鍵是教師應該抓住這個嘗試的契機，引導學生反思、總結(jié)后，學習有序思考. 因為數(shù)學學習最重要的不是讓學生記住了多少數(shù)學概念、性質(zhì)，會算多少道題，而在數(shù)學學習過程中形成的思想、方法對人成長所起的作用才是終身受益的. 在即將頒布的《數(shù)學課程標準》的目標中也加進了基本思想、基本方法，由“雙基”變成了“四基”. 這樣的問題就可以利用現(xiàn)代信息技術(shù)，動畫演示有序的思維過程. 引導學生觀察題中是兩個大圓，而且要將這8個數(shù)分成兩組，這兩組中有兩個數(shù)是重復的，每組數(shù)的和相等. 這兩組數(shù)的和與這8個數(shù)的和會有什么樣的關(guān)系？學生會發(fā)現(xiàn)：“這兩組數(shù)的總和比8個數(shù)的和多出兩個數(shù)字相加的和. ”動畫演示，先將這兩個大圓分開，算出8個數(shù)的總和除以2得到每個大圓的和是180. 然后再將這兩個大圓相交，可以任意選兩個數(shù)公用，這樣對于每個大圓來說都增加了一個數(shù)，算出這兩個數(shù)的差是多少除以2，然后從其他三個位置的數(shù)中找到差時這個數(shù)的兩個數(shù)字調(diào)換位置就可以了. 經(jīng)歷了這個過程，學生就會對有序的數(shù)學思考方法在解決問題中的作用有更深刻的認識，激發(fā)學生面對紛繁復雜的問題時，會冷靜思考，尋找有效的思維方式、方法.

三、注重學生數(shù)學猜想能力的培養(yǎng)

數(shù)學猜想是人們根據(jù)已有數(shù)學知識和經(jīng)驗，運用非邏輯的思維方法，憑借直覺而作出的假設和預測. 它是人們探索數(shù)學規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的手段和策略，培養(yǎng)小學生的數(shù)學猜想能力，不僅能夠調(diào)動學生學習的積極性、主動性，促使學生主動獲取知識，而且有利于培養(yǎng)學生的直覺思維、探索精神和創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的推理能力.

例如：學習平面圖形的面積時，學習了長方形與正方形的面積之后，學習平行四邊形、三角形、梯形的面積時，可以引導學生猜想，要探究的圖形面積與學過的圖形面積會有什么關(guān)系呢？怎樣計算它的面積呢？學生通過猜想、驗證，逐步達到合情猜想，促進思維的積極與主動. 牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn). ”學生天性好奇心強，富于幻想，教學中教師要抓住這一心理特點，創(chuàng)設合適的問題情境，引導與鼓勵學生進行數(shù)學猜想，發(fā)展思維能力.

四、尊重數(shù)學的科學性

愛因斯坦說：“為什么數(shù)學比其他一切科學受到特殊尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其他一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，而且經(jīng)常處于會被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險之中；數(shù)學之所以有高聲譽，還有另一個理由，那就是數(shù)學給予精密自然科學以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學，這些科學是達不到這種可靠性的. ”因此，教師對數(shù)學的理解一定要準確和通透. 例如概念教學，概念的教學應該是數(shù)學教學的重點，同時也是難點，除了揭示每一個概念的內(nèi)涵和外延，還要讓學生理解概念之間的關(guān)系. 這對邏輯思維正在形成的小學生來說，尤為重要.