圓外角三條性質的高效教學法

謝慧穎

1.圓外角的概念

在講解這樣一個概念時，傳統教學觀念中，是比較沉悶的，教師生怕學生聽不明白，理解不了.因此本文中，教師實施一種創新的教學法，高效課堂師生活動式教學法.

首先，筆者列出3個圖，圖1-1，圖1-2，圖1-3.

圖1-1圖1-2圖1-3

從圖1-1，圖1-2和圖1-3可以看到三個角，分別是∠APB，∠CPD和∠QPS.

由此，我們可以很直觀地得出來圓外角的概念，通過提問，讓學生舉手，自己來回答圓外角的定義.圖1-1、圖1-2和圖1-3給出了圓外角的三種情況，即：圓的兩切線或一切線、一割線或兩割線，相交圓外所形成的角.

2.圓外角的性質

正如第一節所講，在教師的引路下，學生自我主動地求知，明白了圓外角的含義.那么圓外角有什么性質呢？

教師先給出一個詮釋，圓外角的弧度=所夾兩弧度數差的一半，為了更形象地直觀體現，我們依舊列圖如下（圖2-1、圖2-2、圖2-3）：

圖2-1圖2-2圖2-3

在上面圖2-1、圖2-2和圖2-3中，我們很清楚地看到了兩個不同顏色的弧度（黃色和藍色），其弧度差的一半就是圓外角的弧度值.

但是這樣說，學生還是不能理解，為什么就是大弧減去小弧的一半呢？

帶著這樣的問題，教師繪制了第三個圖.（圖2-4）

如圖2-4所示（兩條切線產生的情況），筆者把A點、B點連接作出一條輔助銜接線AB，把PA線延伸成為一個長切線.這樣就得出2個弦切角∠1，對應弧為AFB和∠ABP，對應弧為AB.

由于外切角等于所對弧度的一半，因此∠1=1[]2AFB，∠ABP=1[]2AB.

由于外切角等于兩內角之和，于是可以得出：

∠P=∠1-∠ABP=1[]2AFB-1[]2AB=1[]2（AFB-AB）.

因此，得出圓外角兩條切線情況下的第一個性質：∠APB=1[]2（AFB-AB）.

圖2-4圖2-5圖2-6

接著，我們繼續看圖2-5，為了更全面地得出圓外角的性質，教師列出了圖2-5（一條割線和一條切線產生的情況），圖2-5中C點和D點進行了銜接作一條輔助線CD，PC線進行了延伸成為了一個長切線.這樣我們得出來了兩個角，一個弦切角∠2，對應弧CD和一個圓周角∠CDE，對應弧為CE.

由于外切角等于所對弧度的一半，因此∠2=1[]2CD，∠CDE=1[]2CE.

再加上，由于外切角等于兩內角之和，于是可以得出：

∠P=∠2-∠CDE

=1[]2CD-1[]2CE

=1[]2（CD-CE）.

因此，得出圓外角在一條切線和一條割線情況下的第二個性質：∠CPD=1[]2（CD-CE）.

繼續看圖2-6，為了了解圓外角的第三個性質，教師列出了圖2-6（兩條割線產生的情況），圖2-6中R點、S點進行銜接，作出了一條輔助線RS，這樣就得出兩個角，一個圓周角∠3，對應弧QS和另一個圓周角∠4，對應弧RT.

由于外切角等于所對弧度的一半，則∠3=1[]2QS，∠4=1[]2RT.

另，由于外切角等于兩內角之和，于是可以得出：

∠P=∠3-∠4

=1[]2QS-1[]2RT

=1[]2（QS-RT）.

因此，我們得出圓外角在兩條割線產生情況下的第三個性質：

∠QPS=1[]2（QS-RT）.

3.圓外角三條性質師生互動挖掘教學的高效思考

本文所講的課程為初中課本圖形與圓的章節中的知識點，圓外角由于切線和割線的不同或出現的不同，導致的圓外角屬性的不同.首先我們在圖1-1＼圖1-2和圖1-3中，我們都列出了三種情況下的圓外角，第一種就是出現兩條切線情況的圓外角∠APB，第二種就是出現一條切線和一條割線情況下的圓外角∠CPD，第三種就是兩條割線情況下的圓外角∠QPS.

這樣很形象，學生們都能找出來這三個圓外角，根據圖1-1、圖1-2，圖1-3.但是，當教師深入談到了這三個圓外角等于哪些弧度的差值時，學生們陷入了一片平靜.這個時候，教師通過多媒體現代教學設備在投影儀上列出了圖2-1、圖2-2和圖2-3.有部分同學根據教師所標注的弧顏色的不同，一下子探索起來，原來是這樣啊.

原來，圓外角的弧度數等于所夾兩條弧度差的一半，也就是圖2-1，圖2-2，圖2-3中，大弧減去小弧的一半啊，但是，為什么會這樣呢？怎么就知道它們的結果是這樣呢？學生一方面好似找到了答案，一方面又搞不明白為什么會這樣.

這樣的教學策略，以往來說，有教師也明白，也會去做，但在教學實踐過程不是講得太快，就是覺得這些僅僅是概念，學生背背就好了，不就針對學生的心理成長和接受能力的現狀，因此當教師自顧自地講時，學生連基礎的圓外角概念和屬性都不明白，又如何去訓練大量的考試習題，又如何去明白舉一反三的道理.