2013年安徽省中考數學第23題初探

岳東旭

備受關注的2013年安徽中考閱卷工作已經落下帷幕，我有幸被抽調參加阜陽市的中考數學閱卷工作，我批閱的恰巧是壓軸題第23題. 批閱之前我認真地將此試題及參考答案反復推敲，發現試題中第（3）問的第二個問題“若點E不在四邊形ABCD內部時，情況又如何？”的參考答案有待商榷. 現結合試題及參考答案將我的一點思考寫出來與大家共同探討.

一、試題來源

23.（14分）我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形”.如圖1，四邊形ABCD即為“準等腰梯形”. 其中，

（1）在圖1所示的“準等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；

（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，若EB = EC，請問：當點E在四邊形ABCD內部時（即圖3所示情況），四邊形ABCD是不是“準等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內部時，情況又將如何？寫出你的結論. （不必說明理由）

二、試題參考答案

（3）過點E分別作EF⊥AB，EG⊥AD，EH⊥CD，垂足分別為F，G，H（如圖7）.

∵ AE平分∠BAD，

∴ EF = EG.

又∵ ED平分∠ADC，

∴ EG = EH ，EF = EH，

又∵ EB = EC，

∴ Rt△BFE≌Rt△CHE，

∴ ∠3 = ∠4，

又∵ EB = EC，∠1 = ∠2，

∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4，即 ∠ABC = ∠DCB.

又∵ ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，

∴ ABCD為“準等腰梯形”.（12）

當點E不在四邊形ABCD內部時，有兩種情況：

當點E在四邊形ABCD的邊BC上時，四邊形ABCD為“準等腰梯形”；

當點E在四邊形ABCD的外部時，四邊形ABCD為“準等腰梯形”.（14分）

三、試題初探

1. 縱觀試題，簡要評析

本題作為壓軸題，以學生熟悉的等腰三角形和等腰梯形為背景自定義“準等腰梯形”的概念，閱讀量適中，起步低，學生容易上手，本題前兩問解法多樣，圖形簡潔，能綜合考查學生的直觀和理性思維. 第（3）問難度加大，兩個小問題層層遞進，變式自然，有一定的區分度. 另外，本題與2008年安徽中考數學卷的第22題有類似之處，是第22題的拓展. 時隔4年，我們不得不感嘆命題人的用心，試題穩中求變，既能考查學生應用數學基本知識解決新問題的能力，又能激發學生學習數學的興趣.

2.深入試題，提出質疑

可惜的是本題第（3）問中第二個小問題：“若點E不在四邊形ABCD內部時，情況又如何？”的參考答案有待商榷. 第二個問題需分為以下兩種情況進行討論：

① 當點E在四邊形ABCD的邊BC上時.

此時四邊形ABCD是“準等腰梯形”. 理由如下：如圖8，此種情況只需類比第（3）問的第一個小問題的證明過程就可以輕易解答，結論仍然成立. 這里不再贅述.

② 當點E 在四邊形ABCD的外部時.

對于此種情況，出現了兩種不同的理解.

第一種理解：是在圖8的基礎上將BC邊向上平移，平移過程中保持其他線段的相對位置不變，這樣點E就在四邊形ABCD外部了，顯然由平行線性質定理可得∠ABC = ∠BCD，且AD不平行于BC，所以當點E在四邊形外部時，四邊形ABCD仍然是“準等腰梯形”，即試題所給答案無任何異議. 此種理解方式并沒有錯誤，只是忽略了這樣的四邊形可能只是滿足題設的一種情況.

第二種理解：當點E在四邊形ABCD外部時，且點E同時是∠BAD的角平分線和∠CDA的平分線以及線段BC的中垂線這三條線的交點時，四邊形ABCD的邊AD∥BC，此時四邊形ABCD將不滿足“準等腰梯形”的概念. 所以這樣的四邊形不是“準等腰梯形”. 這種理解無疑是忽略了第三問“題干”中“由不平行于BC的直線截△PBC所得的四邊形ABCD……”，所以這個反例實際上在題目要求的范圍內是不存在的. 那么當點E在四邊形ABCD外部時，情況到底怎樣？是一定存在“準等腰梯形”，還是不一定存在“準等腰梯形”呢？

3. 構造圖形，解決問題

事實上，當點E在四邊形ABCD外部時，四邊形ABCD確實不一定符合“準等腰梯形”的概念. 下面筆者將利用構造圖形的方法給予證明.

（ⅰ）當點E在四邊形ABCD外部時，四邊形ABCD可能是“準等腰梯形”.

如圖9，點P是圓E外一點，過點P做圓E的兩條切線PB，PC，點B，C為切點，作圓E的另一條切線AD交PB，PC于A，D兩點，點F是切點，且AD不平行于BC. 連接BC，由切線長定理知，PB = PC，所以∠ABC = ∠BCD，點E顯然應在四邊形ABCD的外部. 連接BE，CE，FE，由切線的性質定理，得BE⊥AB，CE⊥DC，EF⊥AD，且BE = CE = EF. 所以AE，DE分別是∠BAD和∠CDA的角平分線，點E在線段BC的中垂線上. 此時四邊形ABCD和點E滿足第三問的題設條件：點E在四邊形ABCD外部，AE，DE分別是∠BAD和∠CDA的角平分線，BE = CE.這里容易證明∠ABC = ∠BCD. 圖9既為當點E在四邊形ABCD外部時，四邊形ABCD仍是“準等腰梯形”.

（ⅱ）當點E在四邊形ABCD外部時，四邊形ABCD可能不是“準等腰梯形”.

如圖10，在圓E外找一合適的點P，過點P做圓E的兩條切線PF，PG，點F，G為切點，且∠P = 45°，作圓E的另一條切線AD（控制∠PAD ≠ 90°）交PF，PG于點A，D，點H是切點. 作BC⊥DG，使得點C在線段DG上，點C是垂足，交PF的延長線于點B，再過點C作CM⊥PA，點M是垂足，找到線段BC的中點N，連接MN，EN，由垂徑定理和等腰直角三角形的性質，可知點M，N，E三點共線，此時點E顯然在四邊形ABCD的外部，且BE = EC. 連接GE，HE，FE，則GE⊥DC，HE⊥AD，EF⊥AB，且GE = HE = EF. 所以AE，DE分別是∠BAD和∠CDA的角平分線. 此時四邊形ABCD和點E滿足第三問中題設條件“在由不平行于BC的直線截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD = ∠ADC的平分線交于點E， 且EB = EC”，但∠ABC = 45°，∠BCD = 90°，所以∠ABC ≠ ∠BCD，不符合“準等腰梯形”的概念. 即此圖形說明當點E在四邊形ABCD外部時，四邊形ABCD不是“準等腰梯形”.

綜上，當點E在四邊形ABCD外部時，四邊形ABCD不一定是“準等腰梯形”.

俗話說：問題越辯越明. 以上是我對本題第（3）問第二個小問題的思考，拋磚引玉，歡迎各位同仁批評指正！

四、試題對今后數學教學的啟示

1. 教學過程中加強數學思想方法的滲透

培養學生的數學思維能力，只講解題方法，只重視題型訓練是不夠的，要想以不變應萬變，提高學生的數學思維能力，必須注意數學思想方法的教學，例如解決本題的構造法.

2. 落實過程性教學

一方面課堂教學中不能只滿足于學生對所學知識結論的理解和記憶，一定要讓學生經歷知識的產生過程，另一方面是重視平時課堂教學要穩扎穩打，不搞突擊訓練.

3. 重視學生創新能力的培養

平時教學中培養學生具體問題具體對待的思想，不生搬硬套題型，鼓勵學生對同一問題提出不同的看法，培養學生的發散思維和創新能力.

4. 重視手腦結合

隨著新課改的深入，對學生動手操作能力要求越來越高. 這里需要指出的是不能為了動手而動手，為了操作而操作，僅僅只做表面功夫. 要指導學生在動手的同時動腦，讓動手操作與動腦思考有機地結合起來.