一題一課，低耗高效復習

洪棠云

摘要：數學家波利亞認為解題的重要技巧是需從各個方面、各個側面去嘗試，去變化或轉化問題。他在《怎樣解題》中指出：“變化問題使我們引進了新的內容，從而產生了新的接觸，產生了和我們問題有關的元素接觸的新的可能性。”筆者在中考復習教學中從一些簡單問題入手，添磚加瓦，設計問題串，嘗試磨題、說題、一題一課的教學實踐，體悟到了“原來學生的解題角度是這樣的啊”，進而反思自己的中考復習實效。

關鍵詞：變化問題；磨題；說題；一題一課；復習實效

近年來各地數學中考試題內容豐富、形式多樣，設計立意新、思維活。對于學生的思維廣度和深度的要求都有所增加，不少學生平時做了大量大量的題，但每次面對考試中的“生題”又束手無策；教師也同樣困惑，同類題型我已經正著講反著講還多次做過變式題，為什么學生就是掌握不了。本文通過自己在教學過程中的幾個實例談談自己的幾點收獲，希望能得到一些教學同仁的指點。

一、想法初成

[浙教版九年級上數學作業本1第34頁作業題第14題]

如圖，一塊直角三角形木板的兩直角邊BC，AC的長分別為1.5m，2m.要把它加工成面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖①，圖②所示.請你用所學過的知識說明哪位同學的加工方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可以保留）.

原題考查的知識點：相似三角形的性質和判定.

改編題1 現要從中裁出一個面積最大的內接矩形，有如圖①，圖②兩種裁法，問面積S1，S2的最大值分別為多少，它們相等嗎？

改編后的題不僅僅考查學生相似三角形的性質和判定知識，還滲透了方程函數思想：二次函數解析式的求法及最值的求法 .

改編題2 如圖③有一張邊長為10cm的正三角形紙板，若要從中剪出一個面積最大的矩形紙板，應怎樣剪？最大面積為多少？

這里把直角三角形改成了等邊三角形。

二、一題一課

大道至簡，要想提高課堂時間的利用率，讓學生走出題海，達到一題通片，首先教師必須要先走進題海，通過大量的做題悟題，發現“母題”，進而改題、編題。我在最近的題海搜羅中發現，點的坐標，它很奇妙，在我們初中數學四大模塊的知識體系中始終都有著它的身影。對此，我設計了一節公開課。

母題：[浙教版八上，作業本（1）P31，作業題5]

該題的考查目標：會根據圖形添加輔助線，利用正三角形的性質與勾股定理，用坐標表示圖形中的點。

這道題目看似簡單，但卻是一個很好的數學建模內容， 點的坐標，若放在不同的問題情境中，可設計出不同的題目，做到一題多變，一題通天下的妙用。以此問題為基礎可作如下探索：

環節1 一個點的坐標的妙用A（x，y）

（1，3）問：已知點A ， 你能根據這個條件編一道數學題嗎？

預設：1、關于變換的：關于x軸、y軸、原點對稱；

2、求線段AB、AC、OA；

3、求角度；

4、求函數：正比例函數、反比例函數；

5、構造特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）：在坐標軸上是否存在點E，使△AOE是等腰三角形/直角三角形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

類比上一環節，補充直角坐標系中任意兩點坐標求線段的公式，追問△AOB的形狀，在平面上找第四個點D，使以A、O、B、D為頂點的四邊形為平行四邊形。

例題如圖，拋物線

（1） 求該拋物線的解析式；

（2）與x軸另一個交點為點D，點Q為拋物線對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣一點M，使得以B、D、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）拋物線的頂點為點P，若在x軸上存在點E，使△ABD與△BPE相似，請求出點E的坐標；

（4）直線l：x=m，在（3）的條件下，過點E做EF⊥PE交直線l于點F且滿足PE：EF=1：2，試求m的值和此時點F的坐標.

此題考查了二次函數求解析式及其性質、平行四邊形的判定、相似三角形的性質和判定、全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質等知識.此題難度較大，分類討論是解此題的關鍵，注意數形結合思想與方程函數思想的應用.

三、反思成長

具有較強代表性和典型性的習題是數學問題的精華，教學中尤其是在初三總復習時，要善于“借題發揮”，編織知識網絡，整合思維模式，培養學生復合思維，形成網絡技能。走出題海戰術，真正做到輕負高效。

馬云說：“人一定要想清三個問題，第一你有什么，第二你要什么，第三你能放棄什么。”對于絕多數人而言，自己有什么很清楚，很容易評價自己的現狀。要什么，內心也有明確的想法，。最難的是，不知道或不敢放棄什么——這點恰能決定你想要的東西能否真正實現。復習課， 要復習的知識點非常多， 如果一節課內容太多， 最終往往容易眉毛胡子一把抓， 達不到預期的效果。而我的毛病就是對學生不放心，就想把自己所知道的知識全部傳授給學生，于是，一節課變得什么都是重點，然后學生搞不清楚什么是重點。

接下來，我要努力的方向是我要放棄什么，在問題設計時，要了解學生原有的知識水平與思維發展水平，并找到“最近發展區”與之結合，找準切入口，做到簡約生活，大道至簡。

參考文獻：

[1]《數學課程標準》（實驗稿）.北京師范大學出版社.2003年2月.

[2]波利亞.閻育蘇譯.怎樣解題[M].北京科學出版社，1982.

[3]2014年浙江省初中畢業生學業考試說明.浙江攝影出版社，2014年1月.

[4]《2013年全國中考試題精選》數學. 2013年7月.

（作者單位：溫州市蒼南縣靈溪鎮第十中學325800）