論復變函數與積分變換在電學中的作用

【摘要】復變函數與積分變換是電學專業理論分析的基礎工具，在電學專業中對于系統狀態的分析、頻率的分析、場的分析以及圖像信號處理等起到了舉足輕重的作用.本文通過復變函數與積分變換在系統狀態分析、場的分析以及圖像信號處理三方面來論證復變函數與積分變換在電學計算和算法的顯耀作用，并指出隨著科技進步，復變函數與積分變換在電學中所起的作用將越來越重要.

【關鍵詞】復變函數；積分變換；系統斂散性；復勢；數字圖像處理

1.復變函數與積分變換在系統分析和信號分析中的作用

在電學專業中，相位整個概念隨處可見，而相位經常是多值的，這就應用到了復變函數論中的單葉區域和多葉區域的各方面內容，尤其是在去相位模糊的時候，復變函數論中單葉和多葉之間的映射起到了關鍵作用.

在電學專業中，系統狀態例如系統的各種響應特性，以及以各種響應特性分析得到的系統的斂散性等是整個專業中最為根本的問題.尤其是在信號與系統和數字信號處理這兩門最為重要的專業課程中，復變函數和積分變換尤為重要.在系統分析和信號分析中主要應用到的內容大致有解析函數的冪級數、泰勒級數和洛朗級數.在電學系統分析中，最為常用的是泰勒級數和洛朗級數，泰勒級數是典型的單邊級數，而洛朗級數是典型的雙邊級數.對于級數的域的分析和各項系數的分析是分析系統斂散性的關鍵，在現階段也是最基本的工具.因此對于一個解析函數的冪級數展開、泰勒級數的展開還有洛朗級數的展開以及各項系數的求解在電學中都是極為重要的.

冪級數：

∑∞n=0cn（z-a）n=c0+c1（z-a）+c2（z-a）2+……

其中，c0，c1，c2……為復常數.若此冪級數在某點z1（z1不為0）收斂，則它必在圓K：|z-a|<|z1-a|（即以a為圓心，通過圓周z1的圓）內絕對收斂且內閉一致收斂.即如果系統的零點在以a為圓心、通過圓周z1的圓外，則系統是收斂的.

泰勒級數及泰勒定理：

設f（z）在區域D內解析，a∈D，只要圓K：|z-a|

f（z）=∑∞n=0cn（z-a）n

其中系數：cn=12πi∫Γρf（ζ）（ζ-a）n+1dζ=fn（a）n！其中（Γρ：|ζ-a|=ρ，0<ρ

洛朗級數：

f（z）=c0+c1（z-a）+c2（z-a）n+…+c-1z-a+c-2（z-a）2+…

其中：r<|z-a|0）

cn=12πi∫Γρf（ζ）（ζ-a）n+1dζ

由上式可見，洛朗級數為雙邊級數，并且f（z）在以a為圓心，從r到R的圓環內處解析.泰勒級數為洛朗級數的特殊形式，即在r=0條件下的洛朗級數.而使z=a為f（z）的0點或者極點.

分析零點和極點對于數字信號處理中FIR和IIR濾波器的設計都有著很重要的意義，并且零點和極點的對消法是設計只具有相移特性的全通濾波器的唯一方法.因此對于一個系統響應的洛朗級數展開式以及系數求法在整個電學系統分析和信號分析中都起著舉足輕重的作用.

復變函數論中柯西定理，柯西積分公式等內容，以及留數理論及其應用對于簡化復雜的計算過程，對于分析系統穩定性等方面都有著重要意義.積分變換中的傅里葉變換，拉普拉斯變換是電學中對于系統分析和信號分析的最基本工具，它們直接將時域和頻域聯系起來，是最有利的數學變換工具.

2.復變函數與積分變換在電磁場與電磁波中的作用

復變函數論中有復勢這一概念，而復勢對于分析電場的電勢、磁勢等都有重要意義.例如電場的場強：

E（x，y，z）=Exi^+Eyj^+Ezz^

E（x，y，z）中的三個坐標分量分別為：Ex，Ey，Ez.在交變電場中，這三個量除了與時間t有關，每一項還與其他兩個坐標分量上的電場有一定關系，因此，Ex，Ey，Ez不是不相關的，它們是存在一定關系的，E（x，y，z）是解析的，并且是調和函數.因此，解析函數的性質與調和函數的性質對于電磁場中的很多計算問題都有重要意義.

在電磁場中很重要的安培環路定理應用的就是柯西積分公式，另外電磁場中的各種矢量計算也都離不開復變函數論整個有力的工具.

3.復變函數與積分變換在數字圖像處理中的作用

數字圖像處理是近年來電學專業中得到突飛猛進的發展的一個學科，它的主要處理對象為二維信號.

復變函數論中的共形映射部分是圖像檢測、圖像匹配等方面，現階段一些比較流行的算法的基礎.例如圖像檢測中要找到一條直線，一條在直角坐標系下的直線通過某種變換在極坐標系下重合成了一個點，只要對符合這個點的參數點在直角坐標系下進行連接，必可以得到所要找的直線.

另外在圖像平滑時，被最廣泛的應用的是復變函數論中調和函數的平均值定理.

在圖像中，圖像越清晰，圖像所包含的高頻分量越多，圖像越模糊，圖像所包含的低頻分量越多.因此，通過積分變換中的離散傅里葉變換可以去除不想要的高頻以使圖像變得模糊，或者可以去除不想要的低頻使圖像更加清晰.

在調和函數中，經常運用到的就是拉普拉斯算子，這個算子應用的圖像處理中可以接近完美的提取圖像邊緣.例如采用圖像中的5點：

對X方向求圖像f（i，j）步長為1的兩個微分：

將上兩式組合，得到X方向的拉普拉斯算子：

對Y方向求圖像f（x，y）步長為1的兩個微分：

將上兩式組合，得到Y方向的拉普拉斯算子：

得到算子矩陣：

此矩陣即為圖像f（i，j）拉普拉斯算子梯度，其最后得到模為：

令最后的邊緣圖像為L（i，j）為：L（i，j）=|4.結 論

復變函數與積分變換是數學專業的一門重要課程，但是其在電學中的應用意義已經遠遠超越數學理論范圍.在電學中的各個分支，無論是強電還是弱電，無論是系統分析還是信號處理，無論是基本理論研究還是電學新發展理論研究，復變函數與積分變換都起著基礎工具的作用.它在電學專業中的系統分析，信號分析，各種場的分析，以及圖像分析中，隨著研究的深入，將起到越來越重要的作用.

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