分類思想在初中數學教學中的運用

一、滲透分類思想，養成分類的意識

人群的分類、物品的分類這種分類思想在日常生活中隨處可見，學生也潛移默化地受到其影響。教師可以利用學生的這一認識基礎，把生活中的分類思想遷移到數學教學中來，挖掘教材內容，把握滲透的契機。如數的分類、絕對值的意義、不等式的性質等的教學，都是滲透分類思想的大好機會。

如比較兩個有理數的大小，可分為正數和正數、正數和零、正數和負數、負數和零、負數和負數幾類情況來比較。結合“有理數”這一章的教學，教師可以反復滲透，強化數學分類思想，使學生逐步形成分類意識，并能掌握一些分類的基本原則，如分類的對象是確定的、標準是統一的。如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現遺漏、重復等錯誤。

二、學習分類方法，增強思維的縝密性

在教學中滲透分類思想時，教師應讓學生了解，所謂分類，就是選取適當的標準，根據對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后解答每一子類的問題，所以掌握合理的分類方法就成為解決問題的關鍵。常用的分類方法有以下幾種：

1.根據數學的法則、性質或特殊規定進行分類

在學習不等式時 ，對于不等式兩邊同時乘一個數，我們需要分類研究這個數大于0、等于0、小于0這三種情況對應不等式解的情況，才能得到正確的不等式的解。

例1.解關于x的不等式：ax+3>2x+a 。

分析：通過移項不等式，化為（a-2）x>a-3的形式。然后，根據不等式的性質，可分為a-2>0、a-2=0和a-2<0三種情況。最后，分別解三個不等式。

2.根據圖形的特征或相互間的關系進行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；直線和圓根據直線與圓的交點個數，可分為直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

例2.（2002年河南中考題）等腰三角形一個腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是多少？

分析：本題根據圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類。做高CD，可得腰上的高是根據幾何圖形的點和線出現不同的位置進行分類的 。

三、引導分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習題都需要分類討論，所以教師應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題只有通過分類討論，才能得到完整、正確的結論。在教學中，分類討論還有利于幫助學生概括、總結出規律性的東西，從而增強學生思維的條理性和縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩類：一類是涉及代數式、函數或方程，根據字母不同的取值情況，分別討論、解決問題；第二類是根據幾何圖形的點和線出現的不同位置，逐一討論、解決問題。

例3.已知函數y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m是實數）。如果函數的圖像和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這是從函數分類的角度討論的，分 m-1=0 和 m-1≠0 兩種情況來解決問題。

例4.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是含30°角的直角三角形。△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD。求：①畫出四邊形ABCD；②求四邊形ABCD的面積。

分析：在含30°角的直角三角形ACD中，我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊兩類情況來研究。以AC為斜邊和等邊三角形ABC拼成的四邊形ABCD（DDAC=30°和DDAC=60°）。這兩種圖形算出的四邊形ABCD面積相同，故歸納為同一類。AC為直角邊又可分為兩種不同的情況進行計算，解得SABCD=3。

由上述例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得異常簡單，解題思路非常清晰，解題步驟簡單明了。利用現有教材，教師應努力滲透分類思想，力求幫助學生初步掌握分類方法，再結合其他數學思想方法的學習，綜合運用幾種思想方法，為學生提供足夠的學習材料，啟發學生積極思維。相信長此下去，一定能使學生在認識層次上引起重視，取得事半功倍的學習效果。

（作者單位：江西省九江市星子縣第二中學）