區分平方根與算數平方根

平方根與算術平方根是初中數學的兩個重要概念，它們定義相近，聯系緊密，學生很容易混淆，所以學生在學習時要特別注意它們的概念及其相關性質。

一、平方的逆運算——開平方

教師問：“3的平方等于幾？”

學生回答：“等于9。”

教師繼續問：“什么數的平方等于9 ？”粗心的學生會答：“3的平方。”細心的學生會說：“-3的平方也等于9。”

求3的平方等于幾的運算叫做平方，求什么數的平方等于9的運算叫做開平方，兩者互為逆運算，和加與減、乘與除互為逆運算的原理相同。但是，3的平方等于9，而9開平方后等于3或-3，這和加與減、乘與除等逆運算的結果具有的唯一性不同。正是這個不同，造成了學生的困擾，所以需要教師認真對待。

二、平方根的定義

一般來說，不為零的兩個數互為相反數時，它們的平方是同一個正數，所以一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數。0的平方等于0，所以0的平方根只有一個，那就是零。任何實數的平方都不會是負數，所以負數（在實數范圍內）沒有平方根。綜上所述，正數開平方的結果是兩個數，這兩個數互為相反數；零開平方的結果還是零；負數（在實數范圍內）不能開平方。

三、符號“ ”和算術平方根的區別

正數有兩個平方根，它們一正一負互為相反數，我們把正的那個數稱作算術平方根，并把它記

作 ，讀作a的算術平方根，正數a的兩個平方根就寫作 和- ，也可以寫成± 。如果a是負數，那么就沒有意義了，所以算術平方根具有非負性，即

≥0（a≥0）。

學生要注意：千萬不能把“ ”看作是開平方的運算符號。如“ ”讀作根號9，它代表9的算術平方根，即9的算術平方根是3，但千萬不能把 讀作9開平方，不能把-3看作是9的平方根。

四、 = |a|

我們都知道（+a）2=a2，（-a）2=a2，所以a2的平方根有兩個，即+a和-a，那么a2的算術平方根呢？粗心的學生會說是+a，而細心的學生會說 代表a2的算術平方根，它是+a和-a中正的那一個，而+a不一定是正數，-a也不一定是負數，所以 究竟等于+a還是-a，要看a的正負而定：①當a>0時，+a>0，所以 =+a；②當a<0時，+a<0，-a>0，所以 =-a；③當a=0

時，+a=-a=0，所以 =0。由上述結果可知， 與a的絕對值（即|a|）完全相等，所以我們得到以下結論：① =|a|=a（a>0）；② =|a|=-a（a<0）；③ = |a|=0（a=0）。

五、平方根與算數平方根的不同作用

解題中遇到開平方時，就必然涉及平方根和算術平方根。這就要求學生能非常清楚地理解其定義，對它們的聯系與區別要爛熟于心。下面的例題能讓我們更好地區分平方根與算數平方根。

例1.求下列各數的算術平方根

（1）1.21 （2）4-1 （3）（- ） 2 （4）

解：（1）∵1.12= 1.21

∴ 1.21的算術平方根是1.1，即 =1.1。

（2）∵4-1= ， 且 （ ） 2=

∴4-1的算術平方根為 ，即 = 。

（3）∵ 表示求4的算術平方根

∴ =2

∵（- ） 2 =（-2） 2=4，而2 2=4

∴（- ） 2的算術平方根是2，即 （- ） 2 =2

（4）∵ 表示16的算術平方根

∴ =4

∴ = =2，即 的算術平方根是2。

例2.求下列各式中的x

（1）4x2=121 （2）（2x+3）2-16=0

解：（1）∵x2=

∴ x= ±

（2）∵（2x+3）2=16，2x+3=±4

∴x= 或x=-

例3.設等式 a（x-a）+ a（y-a）= x-a- a-y成立，其中a、x、y是兩兩不同的有理數，求 。

解：∵ 若 a（x-a）+ a（y-a）= x-a- a-y成立

∴

由（1）（3）得a≥0由（2）（4）得a≤0 ∴a=0。

即0= x- -y ∴ x= -y 即x=-y。

∴

。

（作者單位：江西省贛州市南康區三益中學）