數學解題應試“十計”

六六三十六計，數中有術，術中有數。筆者在教學中發現了一些既實用，又有趣的解題技巧，在這里一一闡述，以起到拋磚引玉的作用。

一、“借刀殺人計”——特值法

對于部分選擇題和填空題，用常規方法解答可能會費時費力。如果通過特殊的數據、式子、模型、圖像、位置、函數等去處理，往往會柳暗花明。

例1：（2013年高考陜西卷〈理〉）設[x]表示不大于x的最大整數， 則對任意實數x，y，有（ ）

A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x]

C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]

解析：本題可以通過取特殊值，把抽象的、較難的高斯代數式轉化為較簡單的數字代換運算。

對于A選項， 設x=-1.8，則[-x]=1，-[x]=2，所以A選項是錯的；對于B選項，設x =-1.4，[2x]=[-2.8]= -3，2[x]=-4，所以選項B是錯的；對于C選項，設x =y=1.8，[x+y]=[3.6] =3，[x]+[y]=2，所以C選項也是錯的。故D選項是對的。

二、“無中生有計”——構造法

在解題時，有時僅憑題設的已知條件難以解答，我們可以通過構造模型、反例、函數、數列、向量、不等式等方法去解決，這就是構造法。

例2：（2013年高考湖南卷〈理〉）設函數f（x）=ax+bx-cx，其中c>a>0，c>b>0 。a，b，c是△ABC的三條邊長，求證 x∈（-∞ ，1），f（x）>0 。

解析：構造函數，令

，則 ， 因為c>a>0，c>b>0 。所以 ， ，即 ，所以

是單調遞減函數，所以在（-∞ ，1）上 ，F（x）>F（1）= -1 ，又a，b，c是△ABC的三條邊長，∴a+b>c F（x）>F（1）= -1>0，所以 x∈（-∞ ，1），f（x）>0 。

三、“擒賊先擒王計”——觀察規律（通項）法

在做題的過程中，我們可以通過題干信息抓住問題的本質，尤其是在數列中，如果找到“通項”這位“本質”的話，一切就有規律可循了。

例3：已知數列{an}滿足a1=2，an+1=3an+3n+1-2n（n∈

N*）。（1）設 ，證明：數列{bn}為等差數列，并求數列{an}的通項公式；（2）求數列{an}的前n項和 Sn。

解析：（1）∵

，

∴{bn}為等差數列。又b1=0，∴bn=n-1 。∴an=（n-1）·3n+2n。

（2）設Tn=0·31+1·32+…+（n-1）·3n，

則：3Tn=0·32+1·33+…+（n-1）·3n+1

四、“反客為主計”——換元法、更換變量法

例4：已知函數f（x）=ax2+2x+1≤0對一切|a|≤1恒成立，求x的范圍。

解析：我們可將“a”這個“客”，反為重變量這個“主”。令 g（a）=x2a+2x+1一次函數，只需列出式 子 ，解出x即可。

五、“美人計”——圖像法（數形結合思想）

通過“數”中蘊含的“形”，作出圖形，利用圖像的形象、直觀、美觀能達到解決問題的效果。

例5：（2013年高考湖南卷〈理〉）函數f（x）=2lnx的圖像與函數g（x）=x2-4x+5的圖像的交點個數為（ ）

A.3 B.2

C.1 D.0

解析：本題考查函數與方程的應用以及函數圖像的應用。因為g（x）=x2-4x+5=（x-2）2+1，所以作出函數f（x）=2lnx與g（x）=x2-4x+5的圖像，由圖1可知兩函數圖像的交點個數有2個，故答案為B。

六、“反間計”——代入排除法（針對選擇題的迷惑項）

在解答涉及范圍的選擇題時，我們可以從四個選項中，找一個滿足條件的值代入進行檢驗，看其是否符合題目要求，然后利用排除法選出正確答案。

例6：（2013年高考四川卷〈理〉）函數

的圖像大致是（ ）。

解析：當x<0時，x3<0，3x-1<0，所以

，故排除B；由于函數值不可能為0，故可

以排除C；因為y=3x-1與y=x3相比，指數函數比冪函數增長快，隨著x的增大，增長速度越大，所以x→+∞， →0，所以D不正確，故選A。

七、“樹上開花計”——反證法、反設法（探究性問題解法）

為了求證某個結論是否正確、某個條件是否存在，我們可以先假設它存在，然后結合題意進行推理，逐步論證。這種把不知是否成立的條件當成成立的條件的策略，就是“樹上開花”之計。

例7：設{an}是公比為q的等比數列。（1）推導{an}的前n項和公式；（2）設q≠1，證明數列{an+1}不是等比數列。

解析： （1） 分兩種情況討論：

①當q=1時，數列{an}是首項為a1的常數數列，故 Sn=a1+a1+…+a1=na1…①

②當q≠1時，Sn=a1+a2+…+an-1+an qSn=qa1+qa2+…+qan-1+qan…②

用①式減去②式可得：（1-q）Sn=a1+（a2-qa1）+（a3-qa2）…+（an-qan-1）-qan=a1-qan 。

從而得出 。

綜上可知，

（2） 用反證法：設{an}是公比q≠1的等比數列， 假設數列{an+1}也是等比數列，則：

①當 n∈N*，an+1=0成立，則{an+1}不是等比數列；

②當 n∈N*，使得an+1≠0成立，則

，可得：a1qn+1=ca1qn-1+c 恒成立，

與題目條件q≠1矛盾，所以假設數列{an+1}是等比數列不成立。也就是說，當q≠1時， 數列{an+1}不是等比數列。

八、“連環計”——裂項相消法

在數列求知、數列不等式的證明中，我們常通過拆分通項，利用相鄰若干項的可消性，裂項相消，以致最終結果只含首末兩項或有限的幾項，從而得出答案。

例8：在數1和100之間插入n個實數，使得n+2個數構成遞增的等比數列，將n+2個數的乘積記作Tn ，再令an=lgTn，n≥1。（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=tanan·tanan+1 ，求數列bn=的前n項和Sn 。

解析：（1）t1，t2……tn+2構成遞增的等比數列，其中 t1=1，tn+2=100，則Tn=t1·t2·……·tn+1·tn+2…… ① Tn=tn+2·tn+1·……·t2·t1 ……②

①×②并利用等比數列性質tn+2·t1=tn+1·t2……=t1·tn+2=102，得Tn2=（tn+2·t1）·（tn+1·t2）·……·（t1·tn+2）=102（n+2），an=lgTn=lg10n+2=n+2，n≥1

（2）由（1）可知，bn=tanan·tanan+1 =tan（n+2）·tan（n+3），n≥1，又 ∵

所以數列{bn}的前項和為

九、“苦肉計”——分類討論法

當我們不能全盤考慮某個問題時，可以按某個標準把它分類，將整體分解為部分，化整為零，各個擊破，再統一結果。

例9：解關于x的不等式 （a≠1）。

解析：原不等式等價于 ∵ a≠1

∴等價于： （*）

當a>1時，（*）式等價于

∵ ∴ 或x>2

當a<1時，（*）式等價于

由 可知：

當0

當a<0時， ，∴ ；

當a=0時，當 ，∴x∈φ

綜上所述，當a<0時，原不等式的解集為（ ，2）；當a=0時，原不等式的解集為φ；當01時，原不等式的解集為（-∞， ）∪（2，+∞）。

十、“金蟬脫殼計”——轉化與化歸法

例10：若點P到點直線x=-1的距離比它到點（2，0）的距離小1，則點P的軌跡為（ ）。

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

解析：把“點P到點直線x=-1的距離比它到點（2，0）的距離小1” 轉化為“點P到直線x=-2的距離等于它到點（2，0）的距離”，得出的是拋物線。

（作者單位：江西省萍鄉市蓮花中學）